主讲教师：陈殿友 总课时： 124 第八讲 函数的极限

第一章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 § 3 函数的极限 在上一节我们学习数列的极限，数列 {x n } 可看作自变量 为 n 的函数： x n =f(n),n ∈ N +, 所以，数列 {x n } 的极限为 a, 就是 当自变量 n 取正整数而无限增大 ( 即 n→∞) 时, 对应的函数值 f(n) 无限接近于某个确定的数 a ，把数列极限概念中的函数 为 f(n) 而自变量的变化过程为 n→∞ 等特殊性撇开，就可以 引出函数极限的一般概念。 在自变量的某一变化过程中，如果对应的函数值无限 接近于某个确定的数，那末这个确定的数就叫做在这一变 化过程中函数的极限。这个极限是与自变量的变化过程密 切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限也就 表现为不同的形式。

一、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式 : 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限看作函数 f(n) 当 n→∞ 时的极限，这里的自 变量的变化过程是 n→∞. 而函数极限的自变量的变化为：

一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为 A ) 边长为 ( 真值 : 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 , 要求 确定直接观测值精度  : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义 1. 设函数 在点 的某去心邻域内有定义, 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释 : 极限存在 函数局部有界 这表明 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 1. 证明 证:证: 故 对任意的 当 时,时, 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 2. 证明 证:证: 欲使 取则当 时, 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 3. 证明 证:证: 故取当 时, 必有 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

主讲教师：陈殿友 总课时： 124 第九讲 函数的极限

2. 保号性定理 定理 1. 若 且 A > 0, 证 : 已知 即 当 时, 有 当 A > 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 (< 0) 则存在 ( A < 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若则存在使当 时, 有 推论 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 2. 若在 的某去心邻域内, 且 则 证 : 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域, 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, ( 同样可证的情形 ) 思考 : 若定理 2 中的条件改为 是否必有 不能 ! 存在 如 假设 A < 0, 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 左极限与右极限 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 3. ( P38 题 8 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 4. 设函数 讨论 时 的极限是否存在. 解 : 利用定理 3. 因为 显然所以不存在. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义 2. 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释 : 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数

例 6. 证明 证:证: 取 因此 注:注: 就有 故欲使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地，如果 则直线 y=c 是函数 y=f(x) 的 图形的水平渐近线.

直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线. 两种特殊情况 : 当时, 有 当 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 又如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 函数极限的 或定义及应用 2. 函数极限的性质 : 保号性定理 与左右极限等价定理 思考与练习 1. 若极限 存在, 2. 设函数 且 存在, 则 例3例3 作业 练习 1.2 Th1 Th3 Th2 是否一定有 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 ？ 第一章