吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时： 64 ( 第四十八讲 ) 离散数学

例 设 S 是一个非空集合， ρ （ s ）是 S 的幂集合。 不难证明 :(ρ(S),∩, ∪,ˉ, ,S) 是一个布尔代数。 其中： A∩B 表示 A ， B 的交集； A ∪ B 表示 A ， B 的并集，表示 A 的余集。此 代数也称为集合代数。 例 设 S 是命题公式的集合，不难证明 （ S ，∧，∨，  ， F ， T ）是一个布尔代 数，也称为命题代数。

例 设 B n 是由 0 ， 1 做分 量的所有 n 元向量集合。 对任意 a ， b ∈ B n ， 令 a= （ a 1 ， … ， a n ）， b= （ b 1 ， … ， b n ），我们定义 B n 上的运算如下： a · b= （ a 1 · b 1 ， a 2 · b 2 ， … ， a n · b n ） a+b = （ a 1 +b 1 ， a 2 +b 2 ， … ， a n +b n ） = 不难证明：（ B n ， · ， + ， ¯ ， 0 n ， 1 n ）是一个布 尔代数，其中 0 n 表示 n 个 0 做成的 n 元向量， 1 n 表示 n 个 1 做成的 n 元向量。此代数也称为开关 代数。 下面，如不特别指出，我们在本节提到的布尔代 数都是有限布尔代数。

定义 任给一个布尔代 数（ B ， · ， + ， ¯ ， 0 ， 1 ）。 若 B 的一个子集 S 包含 0 ， 1 ， 且（ S ， · ， + ， ¯ ， 0 ， 1 ）仍是 一个布尔代数，则称 S 为 B 的子代数。 例 设 S = {a ， b ， c} ， 则（ ρ （ S ）， ∩ ，∪， ˉ ，  ， S ）是一个布 尔代数。 若设 S 1 ={ ,{a},{b ， c},{a ， b ， c}} ， 则（ S 1 ， ∩ ，∪， ˉ ，  ， S ） 是（ ρ （ S ）， ∩ ，∪， ˉ ，  ， S ）的子代 数。

若设 S 2 ={ ,{a},{b},{a,b},{a,b,c}} ， 则 S 2 在 ∩, ∪下是 ρ （ S ）的子格， 但（ S 2,∩, ∪,ˉ, ,S ）不是布 尔代数，因此不是 （ ρ （ S ）， ∩ ，∪， ˉ ，  ， S ）的子代数 。显然， {a} ， {b } ， {a ， b } 在 S 2 中没有 余元素。 若设 S 3 ={  ， {a}} ， 则（ S 3 ， ∩ ，∪， ˉ ，  ， {a} ）是布尔代数, 但不是 (ρ(S),∩, ∪,ˉ, ,S) 的子代数，因为 S 3 不含 ρ （ S ）中的最大元素 S 。

定理 设（ B, ·,+, ¯,0,1 ） 是布尔代数。于是， B 的子集 S 是 B 的子代数的充要条件是 S 在运算 · ， + ， ¯ 下是封闭的。 证明：必要性。若 S 是 B 的子代数， 则显然 S 在 · ， + ， ¯ 之下是封闭的。 充分性。若 S 在 · ， + ， ¯ 下封闭， 则任取 a ∈ S ，于是有 ∈ S a+ = 1 ∈ S a · = 0 ∈ S 即 S 包含 0 ， 1 。又因 S 在运算 · ， + ， ¯ 之下封闭， S 中元素也是 B 中元素，而 B 是布尔代数，故 S 中元素对于运算 · ， + ， ¯ 满足公理 H 1 ～ H 4 ，所 以（ S ， · ， + ， ¯ ， 0 ， 1 ）是布尔代数，由定义 ， S 是 B 的子代数。

8.5.2 有限布尔代数的表示理论 定义 设（ B ， · ， + ， ¯ ， 0 ， 1 ）是 布尔代数， e 1 ， … ， e n 是 B 中有 如下性质的一组元素 对任意 a ∈ B ，都可唯一地表示为 a =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n 其中  i 或为 0, 或为 1, （ i = 1, …,n ）。则称 e 1, …,e n 为布尔代数 B 的一组基底，并称 此布尔代数为 n 维的。 由该定义可得到如下结论：

结论 设 e 1 ， … ， e n 为 布尔代数 B 的一组基底，则 对于  i  {1, … n} ， e i ≠0 。 证明：用反证法。若有 e i = 0 ， 则一方面， e i = 0e 1 + 0e 2 + … +0e i + … + 0e n ， 另一方面， e i = 0e 1 + 0e 2 + … +1e i + … + 0e n ， 而 e i ∈ B ，且表示方法不唯一。这与定义中 任意 a ∈ B ，都可唯一地表示为 a =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n 矛盾。因此， e i ≠0 ， i=1 ， … ， n 。

结论 设 e 1 ， … ， e n 为 布尔代数 B 的一组基底，则对于  i,j  {1, … n} ，如果 i≠j ， 那么 e i ≠e j 。 证明： 用反证法。若存在 i≠j ，而 e i ≠e j ，不妨设 i<j ， 则有 e i =0e 1 +0e 2 + … +1e i + … +0e j + … +0e n ， e i =e j =0e 1 +0e 2 + … +0e i + … +1e j + … +0e n ， 显然与 e i 表示方法唯一矛盾。

例 设 S 30 是 30 的所有正 因数做成的集合。对任意 a ， b ∈ S 30 ，规定运算 a + b 为 a 、 b 的最小公倍数， a · b 为 a 、 b 的最大公约数。则 （ S 30 ， · ， + ， ¯ ， 1 ， 30 ）是布 尔代数， 1 是其最小元素， 30 是其最大元 素。该布尔代数的基底为 2 ， 3 ， 5 ： 1 = 1 · 2+1 · 3+1 · 5 ， 2 = 30 · 2+1 · 3+1 · 5 ， 3 = 1 · 2+30 · 3+1 · 5 ， 5 = 1 · 2+1 · 3+30 · 5 ， 6 = 30 · 2+30 · 3+1 · 5 ， 10 = 30 · 2+1 · 3+30 · 5 ， 15=1 · 2+30 · 3+30 · 5 ， 30=30 · 2+30 · 3+30 · 5 。