بنام خدا

معرفي روشهاي اصلاح شده در بهينه سازي کولوني مورچه ها و پيشنهاد يک local optimization

معرفی مسئله TSP روش هاي متفاوت بهينه سازي هوشمند بهينه سازي کولوني مورچه ها سير تحولي و تکاملي اين الگوريتم ACSMACSGMACS Local optimization ها محدودیت ها پیشنهاد یک local optimization مقایسه و نتیجه گیری

در مسائل بهينه سازي با تعداد زياد پارامتر، روش هاي قديمي کارايي چنداني ندارند در مسائل بهينه سازي با تعداد زياد پارامتر، روش هاي قديمي کارايي چنداني ندارند وقت وقت هزينه زياد هزينه زياد بررسي تمامي فضاي جواب تقريبا غير ممکن است بررسي تمامي فضاي جواب تقريبا غير ممکن است بنابراین از روش هاي ديگري استفاده شود که به صورت هوشمند گستره فضاي جستجو را کاهش دهند. بنابراین از روش هاي ديگري استفاده شود که به صورت هوشمند گستره فضاي جستجو را کاهش دهند. الگوبرداري از سيستم ها و فرايند هاي طبيعي و بيولوژيک در انجام چنين فرايند هايي موفق تر عمل مي کنند. ازجمله به الگوريتم هاي ژنتيکي، شبکه هاي عصبي و بهينه سازي کولوني مورچه ها (Ant Colony Optimization=ACO) می توان اشاره کرد.

مسئله TSP حل اين مسئله، مخصوصا وقتي تعداد شهرها زياد باشد، با روشهاي تحليلي ممکن نيست. TSPدر مختصات دو و سه بعدی و ATSP TSPدر مختصات دو و سه بعدی و ATSP مسائل Eil51 وKroa100 sof/TSPLIB95/TSPLIB.html

مفاهيم مربوط به ACS

ACS توسط M. Dorigo و L.M.Gambardella برای اولين بار مطرح شد. مشاهده شده است که مورچه ها معمولا بعد از گذشت مدت زماني، کوتاه ترين مسير را براي دستيابي به غذا مي يابند و به صورت دسته جمعي از اين مسير استفاده مي کنند. مکانيزم حاکم بر رفتار آنها به اين صورت است که هر مورچه به سمت هدف مورد نظر (غذا) حرکت مي کند و در مسير حرکت خود ماده اي به نام فرمون(pheromone) بر جاي مي گذارد. ضمنا فرمون به جاي مانده در مسير با نرخ ثابتي تبخير مي شود و مورچه هاي ديگر را به سمت خود جذب مي کند. مشاهده شده است که مورچه ها معمولا بعد از گذشت مدت زماني، کوتاه ترين مسير را براي دستيابي به غذا مي يابند و به صورت دسته جمعي از اين مسير استفاده مي کنند. مکانيزم حاکم بر رفتار آنها به اين صورت است که هر مورچه به سمت هدف مورد نظر (غذا) حرکت مي کند و در مسير حرکت خود ماده اي به نام فرمون(pheromone) بر جاي مي گذارد. ضمنا فرمون به جاي مانده در مسير با نرخ ثابتي تبخير مي شود و مورچه هاي ديگر را به سمت خود جذب مي کند.

به طور همزمان تعداد زيادي مورچه به اين کار پرداخته و مسير هاي مختلف را آزمايش مي کنند. بنابراين مورچه ها به مسيري همگرا خواهند شد که فرمون در آن از غلظت بيشتري برخوردار است.

در ابتدا که فرموني وجود ندارد مورچه ها در دو راهي ها هيچ رجحاني براي انتخاب يک مسير خاص ندارند

با توجه به احتمالات، به طور متوسط تعداد مورچه هايي که در هر يک از دو جهت به راه خود ادامه مي دهند، مساوي است.

اما به دليل تبخير، باگذشت زمان مسيرهاي کوتاه تر، حاوي فرمون بيشتري خواهند بود و بيشتر مورچه ها به سمت مسير هاي کوتاه تر جذب مي شوند.

در واقع مورچه هاAgent هاي ساده اي هستند که با ارتباط فرموني خود يک حافظه گسترده (distributed) ايجاد مي کنند و با بهره گيري از فرمون و اين حافظه، جواب مسئله را به صورت شراکتي به دست مي آورند. در واقع مورچه هاAgent هاي ساده اي هستند که با ارتباط فرموني خود يک حافظه گسترده (distributed) ايجاد مي کنند و با بهره گيري از فرمون و اين حافظه، جواب مسئله را به صورت شراکتي به دست مي آورند.

ما مسئله هاي TSP متقارن در مختصات دو بعدي را مورد بررسي قرار داده ايم. ابتدا تعداد شهرها را مشخص مي کنيم، هرشهر با يک جفت مرتب ( xi, yi ) نشان داده مي شود. d(r,s) فاصله اقليدسي بين دو شهر r و s مي باشد. حال تعداد مشخصي مورچه را به طور تصادفي در شهر هاي موجود قرار مي دهيم و مورچه ها طبق قانون حرکتي که در زير توضيح داده مي شود، شهر بعدي را انتخاب مي کنند. در اين انتخاب دو معيار به طور همزمان مد نظر قرار مي گيرند: ما مسئله هاي TSP متقارن در مختصات دو بعدي را مورد بررسي قرار داده ايم. ابتدا تعداد شهرها را مشخص مي کنيم، هرشهر با يک جفت مرتب ( xi, yi ) نشان داده مي شود. d(r,s) فاصله اقليدسي بين دو شهر r و s مي باشد. حال تعداد مشخصي مورچه را به طور تصادفي در شهر هاي موجود قرار مي دهيم و مورچه ها طبق قانون حرکتي که در زير توضيح داده مي شود، شهر بعدي را انتخاب مي کنند. در اين انتخاب دو معيار به طور همزمان مد نظر قرار مي گيرند: 1. فاصله تا شهر بعدي 2. مقدار فرمون در مسير منتهي به شهر بعدي

در ابتداي الگوريتم فرمون موجود در تمامي مسيرها برابر فرض شده ومقداري در بازه [0,1] به آن اختصاص داده مي شود. سپس شهر مقصد يا شهرs با توجه به معيارهاي بالا، از فرمول زير محاسبه مي شود:

بنابراين با فرض اينکه در لحظه فعلي مورچه k ام در شهر rقرار دارد و s يکي از شهر هايي است که مورچه k ام از آن عبور نکرده است، احتمال انتخاب شهر s به عنوان شهر بعدي از رابطه زير محاسبه مي شود:

وجود S2 تا حدي به الگوريتم حالت تصادفي تزريق مي کند و بدون وجود S2احتمال همگرايي الگوريتم به مينيمم موضعي بالا خواهد بود چرا که استفاده از S2 فضاي جستجو را گسترش مي دهد و به الگوريتم کمک مي کند که تا حدي از دام مينيمم موضعي برهد. براي بدست آوردن جواب بهينه، مقادير پارامتر ها بايد به نحو مناسبي انتخاب شوند. مقادير مناسب تاحد زيادي وابسته به مسئله خواهند بود اما طبق نتايج شبيه سازي هاي انجام شده مقادير q0 = 0.9 و β = 6 منجر به نتايج مناسبتري شدند.

با حرکت مورچه ها مقدار فرمون در مسير هاي پيموده شده، در دو مرحله تغيير مي کند: 1- Global updating 1- Global updating 2- Local updating 2- Local updating

Global updating هر بارکه همه مورچه ها به شهري که سفر خود را ازآنجا آغاز کرده بودند، بازگشتند (تمامtour ها به پايان رسيدند) طول مسير ها را بدست مي آوريم و مسير هر کدام از مورچه ها را که کوتاه تر از بقيه بود، انتخاب مي کنيم. به منظور انجام global updating ابتدا فرمون تمامي مسير ها را به يک نسبت کم مي کنيم (در بحث حاضر در اين مرحله مقدار فرمون تمامي مسير ها در 0.9 ضرب شده است.) و مقداري فرمون به تمام edge هايي که عضو بهترين مسير هستند اضافه مي کنيم. مقدار فرموني که بايد به edge هاي مسير بهينه افزوده شود،r,s) )pheromoneΔ، با عکس طول کوتاه ترين مسير برابرخواهد بود.

پارامتر α تضعيف فرمون (تبخير) در مرحله global updating مي باشد و طول کوتاه ترين مسير طي شده تا اين مرحله از الگوريتم مي باشد. پارامتر α تضعيف فرمون (تبخير) در مرحله global updating مي باشد و طول کوتاه ترين مسير طي شده تا اين مرحله از الگوريتم مي باشد.

Local updating Local updating براي اينکه علاوه بر بهترين مورچه به ديگر مورچه ها هم اهميت قايل شويم و بتوانيم از اطلاعات با ارزش مسير آنها استفاده کنيم local updating را طراحي مي کنيم يعني هرگاه يک مورچه از شهري به شهر ديگر مي رود، بايد در مسير پيموده شده مقداري فرمون طبق فرمول زير تزريق شود و در عين حال به طور همزمان بايد عمل تبخير نيز اعمال شود. ρ براي شبيه سازي تبخير مورد استفاده قرار مي گيرد. درصورتي که مورچه اي از edge اي عبور کند، فرمون آن edge افزايش مي يابد. ρ براي شبيه سازي تبخير مورد استفاده قرار مي گيرد. درصورتي که مورچه اي از edge اي عبور کند، فرمون آن edge افزايش مي يابد.

مقدارΔpheromone ، با روشهاي مختلفي مقدار دهي مي شود 1.روش Q-learning مخصوص حالتي است که الگوريتم ميزان تزريقي را خودش ياد مي گيرد.اطلاعات بيشتر در مرجع[2] آمده است. در اين روش مقدار فرمون تزريقي برابر خواهد بود با: ضريب γ در آن مقداري ثابت و در بازه [0,1] است ضريب γ در آن مقداري ثابت و در بازه [0,1] است.2روش ديگر آن است که Δpheromone را مساوي (مقدار ثابت) قرار دهيم..3روش سوم مساوي قرار دادن آن با صفر مي باشد(حذف local updating(..3روش سوم مساوي قرار دادن آن با صفر مي باشد(حذف local updating(.

طبق شبيه سازي هاي انجام شده روشهاي اول و دوم هر دو نتايج خيلي بهتري نسبت به روش سوم بدست مي دهند چرا که حذف کردنlocal updating باعث مي شود الگوريتم خيلي سريع به مينيمم موضعي همگرا شود.

الگوريتم هاي اصلاح شده

MACS ( Multiple Ant Colony System) در اين روش از ايده کولوني هاي موازي استفاده شده است و سعي در جلوگيري از همگرايي به مينيمم هاي موضعي دارد. روش ACO از فيدبک مثبت استفاده مي کند اما در MACS مي توان با تغيير پارامتر ها، فيدبک منفي را هم وارد الگوريتم کرد. در اين روش M کولوني مورچه داريم که در هرکدام m مورچه موجود مي باشد و (h,k) مورچه k ام است که به کولوني h ام تعلق دارد. در زمان t، Mm مورچه بين شهر ها در حال حرکت مي باشند. هر مورچه در بازه زماني[t,t+1] ، از شهر i به شهر j مي رود. در اين روش از ايده کولوني هاي موازي استفاده شده است و سعي در جلوگيري از همگرايي به مينيمم هاي موضعي دارد. روش ACO از فيدبک مثبت استفاده مي کند اما در MACS مي توان با تغيير پارامتر ها، فيدبک منفي را هم وارد الگوريتم کرد. در اين روش M کولوني مورچه داريم که در هرکدام m مورچه موجود مي باشد و (h,k) مورچه k ام است که به کولوني h ام تعلق دارد. در زمان t، Mm مورچه بين شهر ها در حال حرکت مي باشند. هر مورچه در بازه زماني[t,t+1] ، از شهر i به شهر j مي رود.

نحوه انتخاب شهر j در زير توضيح داده مي شود: اگر را ميزان فرمون edge(i,j) در کولوني h ام در زمان t بگيريم و ضريب تبخير و طول tour طي شده توسط مورچه ي (h,k) باشد، بعد از n بازه ي زماني ميزان فرمون بين شهرهاي و j در کولوني h ام برابر است با :

در واقع در اين الگوريتم local updating نقش موثرتري را ايفا مي کند چرا که به دليل تعدد کولوني ها، تعداد ant ها بالا رفته و فضاي جستجو وسيع تر شده است و در واقع احتمال از دست دادن مسير هاي مناسب در اثر به دام افتادن در مينيمم هاي موضعي، بسيار پايين مي آيد. در واقع در اين الگوريتم local updating نقش موثرتري را ايفا مي کند چرا که به دليل تعدد کولوني ها، تعداد ant ها بالا رفته و فضاي جستجو وسيع تر شده است و در واقع احتمال از دست دادن مسير هاي مناسب در اثر به دام افتادن در مينيمم هاي موضعي، بسيار پايين مي آيد.

π ميزان تمايل به انتخاب شهر j است(که در اثر ارتباط بين کولوني ها شکل مي گيرد.) α ميزان تاثير کولوني lبر h را نشان مي دهد، يعني اگر مثبت باشد، کولوني l برh روي کولوني تاثير مثبت خواهد داشت (افزايش فرمون) و اگر منفي باشد، فيدبک منفي ايجاد خواهد شد(کاهش فرمون) و اگر صفر باشد، کولوني l بر کولوني h تاثيري نخواهد داشت. Cپارامتر باياس است و هميشه ميزا ن ثابتي از تمايل را در کولوني باياس مي کند. d هم طول edge(i,j) است.

پس قانون احتمال براي انتخاب شهر مقصد به صورت زير در مي آيد:

GMACS (Genetically Modified ACS): بررسي ها در جهت کشف روابط ميان پارامترها با هم و تاثير آنها بر سرعت همگرايي، منجر به استفاده از GMACS شد. استفاده از الگوريتم ژنتيکي باعث مي شود که مقدار پارامتر ها بهبود يابد و مسير هاي کوتاه تر توسط مورچه ها ايجاد شود.

ارزش هر مورچه برابر است با تفاضل طول مسيري که آن مورچه در تکرار قبلي طي کرده و بهترين طول بدست آمده توسط مورچه هاي ديگر. fitness function براي هر مورچه برابر است با ارزش هر مورچه، تقسيم بر متوسط ارزش در ميان جمعيت مورچه ها. fitness function براي هر مورچه برابر است با ارزش هر مورچه، تقسيم بر متوسط ارزش در ميان جمعيت مورچه ها.matingCrossovermutation

راه حل پيشنهادي براي تصحيح مسير هاي متقاطع

به سادگي اثبات ميشود که در جواب بهينه مسئلهTSP، هيچ برخوردي ميان edge ها وجود نخواهد داشت داريم aa'+bb' >ab'+ba' داريم aa'+bb' >ab'+ba'

بــااعمال روش ACO به مسئله TSP و بررسي iteration هاي مختلف مشاهده مي شود که تقريبا درتمامي مراحل بين بعضي edge ها، تقاطع وجود دارد که باعث مي شود سرعت همگرايي کاهش يابد و يا در اغلب موارد در مينيمم موضعي به دام بيفتد. مشکل اصلي در اين ارتباط که با احتمال بالا رخ مي دهد اين است که مسير انتهايي که بين آخرين شهر و اولين شهر وجود دارد، باعث ايجاد تقاطع مي شود. مشکل اصلي در اين ارتباط که با احتمال بالا رخ مي دهد اين است که مسير انتهايي که بين آخرين شهر و اولين شهر وجود دارد، باعث ايجاد تقاطع مي شود.

روشی که مورد استفاده قرار مي گيرد روش opt-2 است. در opt-2 هر edge اي با همه edge هاي ديگر مورد مقايسه قرار مي گيرد. در هر مقايسه دو edge مورد مقايسه حذف مي شوند در نتيجه مسير کلي جواب به دو مسيرک جدا از هم تقسيم مي شود. به دوطريق مي توان اين مسيرک ها را به يکديگر وصل کرد تا مسير بسته شود. هر بار با امتحان هر دو شيوه اتصال، آرايشي انتخاب مي شود که طول کمتري را بدست دهد.

در روش پيشنهادي در اين مقاله اولا با اجراي يک الگوريتم خاص فقط مسير هايي را مورد بررسي قرار مي دهيم که با هم تقاطع داشته باشند. ثانيا با تقسيم صفحه به Set (مجموعه) هاي مختلف وبررسي تقاطع در هر يک از مجموعه ها، سرعت عملياتي را افزايش مي دهيم. ثانيا با تقسيم صفحه به Set (مجموعه) هاي مختلف وبررسي تقاطع در هر يک از مجموعه ها، سرعت عملياتي را افزايش مي دهيم.

اين الگوريتم را با شکل ساده زير توضيح مي دهيم.

نتایج مربوط به مسائل eil51 و kroa100 را در زیر می بینیم: می بینیم: با رویکرد realtime بعد از 80 tour نتایج با opt-2 بعد از tour 1800 نام مسئله Best result=42.71 Average= Best result = 42.5 Average=42.796Eil51 Best result = Average=215.1 Best result = Average= kroa100

بنابراین اين روش با قرار دادن شهرها در چندين مجموعه و جلوگيري از مقايسه هاي اضافي که در انجام مي گيرد،در بحثهای realtime سرعت بالاتري نسبت به آن دارد.

با تشکر از حوصله شما بزرگواران امير حسين تمجيدي امير حسين تمجيدي علي اکبر آقامحمدي علي اکبر آقامحمدي گروه کنترل دانشکده برق وکامپيوتر دانشگاه تبريز