DSP Лекция 2 Digital Signal Processing

DSP Дискретные сигналы и системы Классификация сигналов и системКлассификация сигналов и систем Дискретные сигналы (последовательности)Дискретные сигналы (последовательности) Дискретные линейные системы с постоянными параметрамиДискретные линейные системы с постоянными параметрами Устойчивость и физическая реализуемость ДЛСУстойчивость и физическая реализуемость ДЛС Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентамиЛинейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами Представление дискретных сигналов и систем в частотной областиПредставление дискретных сигналов и систем в частотной области

DSP Дискретные сигналы и системы ЛППсистемаЛППсистема (1.7)

DSP Дискретные сигналы и системы Примеры свертки:

DSP Дискретные сигналы и системы Устойчивость и физическая реализуемость Устойчивой назовем систему, в которой каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал. Линейная система с постоянными параметрами устойчива тогда и только тогда, когда Достаточность. Если x(n) – ограничена, то есть |x(n)|<M и (1.9) справедливо, тогда Следовательно, y(n) ограниченная. Необходимость. Если S= , то для ограниченного входного сигнала (1.9)

DSP Дискретные сигналы и системы Необходимость (продолжение) выходной сигнал при n=0 равен то есть y(0) – не ограничено. Физически реализуемая система – это система, у которой изменения на выходе не опережают изменения на входе. Поэтому отклик y(n 0 ) зависит только от x(n) для n  n 0 Это требует, чтобы при n<0. Такую систему называют еще каузальной (causal - причинный). Для нее

DSP Дискретные сигналы и системы Пример. Пусть ЛПП – система имеет импульсную характеристику Поскольку при n<0, система физически реализуема. Вычислим Если бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму но, если, ряд расходится. Следовательно, система устойчива только при |a|<1 – система устойчивая |a|>1 – система неустойчивая

DSP Дискретные сигналы и системы Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Важную роль играет подкласс ЛПП – систем, для которых вход x(n) и выход y(n) удовлетворяют линейному разностному уравнению N-го порядка с постоянными коэффициентами вида Общепринято предполагать, что такое разностное уравнение (1.10) характеризует физически реализуемую систему, и мы будем придерживаться этого положения, хотя в общем случае это не так. Например, разностному уравнению 1-го порядка при удовлетворяют как так и (1.10) (1.11)

DSP Дискретные сигналы и системы Первое решение соответствует физически реализуемой системе, второе нет. Без добавочной информации разностное уравнение (1.10) неоднозначно определяет соотношение между входом и выходом. Например, если уравнению (1.11) удовлетворяет y 1 (n) при х(n) =х 1 (n), то ему также удовлетворяет решение вида у(n) = у 1 (n) +k a n, где k - произвольная постоянная. В общем случае к любому решению (1.10) можно прибавить составляющую, удовлетворяющую однородному разностному уравнению (с нулевой правой частью), и эта сумма также будет удовлетворять (1.10). Решение однородного уравнения имеет вид если z k – совокупность простых корней характеристического уравнения

DSP Дискретные сигналы и системы Константы A k определяются начальными условиями. Для кратных корней решение записывается иначе. Для физически реализуемой системы разностное уравнение можно переписать в виде Таким образом, n-е значение выхода можно вычислить, зная n-е значение входа и соответственно N и М прошлых значений выхода и входа. Как и в случае свертки, разностное уравнение не только дает теоретическое описание системы, но может быть основой для реализации системы.

DSP Дискретные сигналы и системы Пример. Положим х(n)=  (n) при нулевых начальных условиях y(-1)=0. Тогда решение y(n)=h(n) будет импульсной характеристикой: Таким образом

DSP Дискретные сигналы и системы Пример получения разностного уравнения и его решения из области денежных платежей. Банк предоставил ссуду в размере долларов, которая должна быть возвращена через 30 лет равными ежемесячными взносами размером p долларов. Выплачиваемый процент установлен на уровне 15% в год от невозвращенной суммы. Каковы должны быть ежемесячные платежи и общая возвращенная банку сумма денег? Пусть Р(n) - неоплаченная часть ссуды, оставшаяся после выплаты n-го ежемесячного взноса. Тогда будет иметь место следующее соотношение (разностное уравнение): P(n) = (1+r)P(n -1) – p, для n = 1, 2, 3, …, 360, где r = 0,15/12 = 0,0125 – ежемесячная норма процента. Первоначально Р(0) = и мы хотим найти значение p, при котором Р(360) = 0.

DSP Дискретные сигналы и системы Пример (продолжение). Запишем последовательные решения: Из последнего соотношения, полагая Р(360) = 0, имеем долларов. Полная сумма возврата за ссуду составит величину 360*р = ,22 долларов.

DSP Дискретные сигналы и системы Типы импульсных характеристик ЛПП систем. ЛПП может иметь импульсную характеристику как конечной, так и бесконечной длительности. Будем называть системы с конечной импульсной характеристикой - КИХ-системами, а системы с бесконечной импульсной характеристикой - БИХ-системами. Если в (1.10) положить N=0, так что тогда оно совпадает со сверткой и соответствует КИХ- системе с импульсной характеристикой Для БИХ-системы должно быть N>0.

DSP Дискретные сигналы и системы Представление дискретных сигналов и систем в частотной области. Особо важную роль для дискретных сигналов и систем играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные последовательности, поскольку в установившемся состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал ЛПП- системы является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемыми системой. Пусть входная последовательность х(n) =e j  n для -  < n< . Тогда выходной сигнал ЛПП-системы Если ввести (1.13) то (1.14)

DSP Дискретные сигналы и системы ЛПП-система Рис Получение частотной характеристики системы Частотная характеристика системы. H(e j  ) называется частотной характеристикой системы, у которой импульсная характеристика равна h(n). е j  n – собственная функция ЛПП-системы. В общем случае H(e j  ) - комплексная функция H(e j  ) = H Re (e j  )+j H Im (e j  )= | H(e j  ) |e jarg[H(.)]. | H(e j  ) |={[H Re (e j  )] 2 +[H Im (e j  )] 2 } 1/2 – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы arg H(e j  )=arctg { H Im (e j  )/ H Re (e j  )} - фазо-частотная характеристика (ФЧХ) системы

DSP Дискретные сигналы и системы Частотная характеристика системы (продолжение). Частотная характеристика также выражает отклик на синусоидальный сигнал Отклик на равен Если h(n) - действительная функция, то отклик на сигнал является комплексно-сопряженным с откликом y 1 (n): Поэтому результирующий отклик

DSP Дискретные сигналы и системы Частотная характеристика системы (продолжение). - значение фазо-частотной характеристики системы на частоте  0. Пример расчета частотной характеристики. Рассмотрим систему с импульсной характеристикой Рис Импульсная характеристика системы.

DSP Дискретные сигналы и системы Пример расчета частотной характеристики (продолжение). Частотная характеристика равна Рис АЧХ и ФЧХ системы.

DSP Дискретные сигналы и системы Свойства частотной характеристики 1.Частотная характеристика H(e j  ) является функцией непрерывной частоты , и это периодическая функция частоты  с периодом 2 . Это свойство следует непосредственно из определения, так как e j(  k = e j  k. Поэтому для полного описания H(e j  ) достаточно задать ее на интервале -  (0  2  ) 2.Для действительных h(n) АЧХ системы -  H(e j  )  - четная функция , а ФЧХ – argH(e j  ) – нечетная функция  на интервале - . В этом случае интервал задания H(e j  ) сокращают до 0 .

DSP Дискретные сигналы и системы Преобразование Фурье. Поскольку H(e j  ) - периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.13) и представляет H(e j  ) в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики h(n). Отсюда следует, что h(n) могут быть определены через H(e j  ) как коэффициенты Фурье периодической функции т. е. где (1.17) (1.18)

DSP Дискретные сигналы и системы Преобразование Фурье (продолжение). где Эти равенства можно также трактовать как представление последовательности h(n) в виде суперпозиции (интеграла) экспоненциальных сигналов, комплексные амплитуды которых определяются выражением (1.18). Таким образом, (1.17) и (1.18) являются парой преобразований Фурье для последовательности h(n), где (1.18) играет роль прямого, а (1.17) обратного преобразования Фурье. (1.17) (1.18)

DSP Дискретные сигналы и системы Преобразование Фурье (продолжение). Представление последовательности преобразованием (1.18) будет справедливо для любой последовательности. Поэтому для произвольной последовательности х(n) определим прямое преобразование Фурье дискретного времени (ДВПФ) соотношением а обратное преобразование Фурье - соотношением X(e j  ) = | X(e j  ) |e jarg[X(e j  )] – спектральная характеристика последовательности x(n). | X(e j  ) | - амплитудно-частотный спектр, arg[X(e j  )] – фазо-частотный спектр. Если то спектральная характеристика X(e j  ) последовательности х(n) существует. (1.20) (1.19)

DSP Дискретные сигналы и системы Преобразование Фурье (продолжение). Возможность представления последовательности как суперпозиции комплексных экспонент является очень важным качеством при анализе линейных систем с постоянными параметрами. Так как отклик на каждую комплексную экспоненту получается умножением на H(e j  ), то Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно Этот результат может быть получен путем применения преобразования Фурье к свертке (1.21)

DSP Дискретные сигналы и системы Пример. Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем имеет частотную характеристику Так как H(e j  ) является периодической функцией, то это соотношение определяет частотную характеристику для всех . Такая система удаляет из входного сигнала все компоненты в диапазоне частот Рис Частотная характеристика идеального дискретного фильтра нижних частот.

DSP Дискретные сигналы и системы Пример (продолжение). Импульсная характеристика h(n) определяется по (1.17): Рис Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот с частотой среза  ср. =  /2. Это физически нереализуемый и неустойчивый фильтр.

DSP Дискретные сигналы и системы Таблица 1.1. Некоторые важные свойства ДВПФ. Последовательность ДВПФ x(n) x(n-m) x(n)e j   n x(n)y(n) X(e j  ) X(e j  )e -j  m X(e j(  -   ) ) X(e j  ) H(e j  )