C OMPUTING POLYNOMIALS WITH FEW MULTIPLICATIONS 張弘暐 江宗翰 指導教授 : 張經略

作者 : Shachar Lovett ECCC(Electronic Colloquium on Computational Complexity)

目的 改進計算多項式的時間複雜度 將 upper bound 接近 lower bound

Lower bound : 原先 Upper bound : 新 Upper bound : n 項多項式 degree ≤ d

例 : n = 3, d = 5 n 項多項式 degree ≤ d

MONOTONE ( 單調函數 ) x ≤ y if and only if f (x) ≤ f (y) M(n,d) = multiplications

目標 A 、 B 為兩種 monotone n 項多項式 degree ≤ d 的排 列方法 找出一組 A 、 B 使得 A+B 為一種 n 項多項式 degree ≤ d 的排列方法 目標 : |A| 、 |B| ≤

方法 令 A = M(S,d/2) B = M(T,d/2) |S| = |T| = (n+1)/2 |S ∩T| = 1

|S| = |T| = (n+1)/2 |S ∩T| = 1 S (n+1)/2 T S ∩T

成果 A = M(S,d/2) B = M(T,d/2) |S| = |T| = (n+1)/2 代入 M(n,d) = M((n+1)/2,d/2) = ≤ ≤ 滿足目標 : |A| 、 |B| ≤