תורת הקבוצות חלק ב'

קבוצה בת מניה הגדרה: קבוצה אינסופית X היא ניתנת למניה אם יש התאמה חד-חד ערכית בין X לבין .

משפט משפט: כל קבוצה אינסופית מכילה קבוצה שניתנת למניה. הוכחה: תהי X קבוצה אינסופית. נבנה קבוצות סופיות Y i  X באינדוקציה כדלקמן: בסיס :.Y 0 =  צעד האינדוקציה: נניח שבנינו Y n, אזי X / Y n  , שכן X היא אינסופית ו- Y היא סופית. כלומר קיים y n+1  X / Y n. מגדירים : Y n+1 = Y n  {y n+1 }..

הוכחה - המשך Y n = {y 1,y 2,…,y n }. נגדיר: Y =  Y n = {y 1,y 2,…} ההתאמה החד-חד ערכית בין Y לבין  היא: Y n+1  n n=1 ∞

סימון בקבוצה בת מניה נסמן ע"י a n את האיבר שמתאים ל- n. אזי, ניתן לרשום את הקבוצה בצורה {a 0,a 1,…}.

דוגמא תהיינה A ו- B קבוצות בנות מניה זרות. אזי A  B היא קבוצה בת מניה. ההתאמה היא A = {a 0,a 1,…} B = {b 0,b 1,…} A  B = {a 0,b 0,a 1,b 1,…} a n  2n b n  2n + 1

משפט משפט: תהי A קבוצה בת-מניה ותהי B תת קבוצה אינסופית של A. אזי B היא בת מניה. הוכחה: אפשר להניח כי A = . נסדר את האיברים של B: B = {i 0,i 1,…}, i 0 < i 1 <  ונגדיר את ההתאמה חד-חד ערכית בין B ו -  ע"י {(i n,n) : n =0,1,…}

דוגמא אם A קבוצה סופית, B קבוצה בת מניה ו - A  B = , אזי A  B היא קבוצה בת-מניה. A = {a 0,a 1,…,a k } B = {b 0,b 1,…} A  B = {a 0,a 1,…,a k,b 0,b 1,…} a n  n b n  k + n + 1

משפט: הקבוצה {0,1}  איננה בת-מניה. הוכחה: נניח בסתירה כי {0,1}  ניתנת למניה, ויהי {0,1}  = {α 0,α 1,…} מיון של {0,1} . α 0 = a 00 a 01 a 02 … α 1 = a 10 a 11 a 12 … α 2 = a 20 a 21 a 22 …... α n = a n0 a n1 a n1 … … הסדרה α = 1- a 00, 1- a 11, 1- a 22,…,1-a nn,… איננה מופיעה במיון כי היא שונה מכל α n במקום ה- n'י.

טענה טענה: אם יש התאמה חד-חד ערכית בין A ו- B ויש התאמה חד-חד ערכית בין C ו- D, אזי יש התאמה חד-חד ערכית בין A  C ו - B  D. הוכחה: תהיינה  1 התאמה חד-חד ערכית בין A ו- B, ו-  2 התאמה חד-חד ערכית בין C ו- D. נגדיר את היחס   (A  C)  (B  D) ע"י (a,c)  (b,d) אם a  1 b ו - c  2 d. ברור ש -  הוא התאמה חד-חד ערכית.

דוגמא יש התאמה חד-חד ערכית בין [0,1] לבין [0,1]  [0,1]. מספיק למצוא התאמה חד-חד ערכית בין {0,1}  לבין {0,1}   {0,1} . נגדיר a 0 a 1 a 2 a 3 …  (a 0 a 2 a 4 …, a 1 a 3 a 5 …) [0,1]  [0,1]  {0,1}   {0,1}   {0,1}   [0,1]

עוצמה הגדרה: נאמר שלקבוצות A ו- B יש אותה עוצמה, ונסמן |A| = |B| אם קיימת העתקה חד-חד ערכית בין A לבין B. התכונות הבאות מתקיימות: רפלקסיביות: |A| = |A| סימטריות: אם|A| = |B| אזי |B| = |A| טרנזיטיביות: אם |A| = |B| ו- |B| = |C| אזי |A| = |C|

עוצמה - דוגמאות |A|  |2 A | אם A ו- B בנות מניה, אזי |A| = |B|. |[0,1]| = |(0,1)|

עוצמה הגדרה: נאמר שעצמה של קבוצה A גדולה או שווה לעצמה של קבוצה B, ונסמן :|B|  |A|, אם קיימת תת-קבוצה C של A כך ש- |B| = |C|. דוגמא : |[0,1]| |N| . דוגמא: אם A קבוצה אינסופית ו- B קבוצה סופית, אזי |B|  |A| וגם |A|  |B|.

משפט: אם |B|  |A| ו - |A|  |B| אזי |A| = |B|. הוכחה: תהי B 1  B כך ש- |A| = |B 1 | ותהי A 1  A כך ש- |B| = |A 1 |. תהי f : A  B 1 התאמה חד-חד ערכית בין A לבין B 1 ותהי g : B  A 1 התאמה חד חד ערכית בין B לבין A. בפרט, B 1 = f(A) ו- A 1 = g(B).

הוכחה - המשך תמונת המצב: A B g(B) f(A) x y g(y) f(x)

הוכחה - המשך אנו נגדיר התאמה חד-חד ערכית h:A  B בין A לבין B. לשם כך אנו נגדיר זוגות (A n,B n ), n=0,1,…, באינדוקציה כדלקמן: B 0 = BA 0 = A B n+1 = f(A n )A n+1 = g(B n )

טענה : A n+1  A n ו - B n+1  B n. הוכחה: אינדוקציה על n. בסיס: n=0. A 1 = g(B)  A (=A 0 )B 1 = f(A)  B (=B 0 ) צעד האינדוקציה: נניח כי A n+1  A n ו - B n+1  B n אזי : f(A n+1 )  f(A n ) ו - g(B n+1 )  g(B n ), כלומר B n+2  B n+1, ו - A n+2  A n+1.

הוכחה - המשך על פי ההגדרה, f:A n  B n+1 היא התאמה חד-חד ערכית בין A n לבין B n+1 ו - g:B n  A n+1 היא התאמה חד חד ערכית בין B n לבין A n+1. …  A 2  A 1  A 0 = A …  B 2  B 1  B 0 = B

הוכחה - המשך תהינה D=  A n ו - E=  B n. A0A0 B0B0 A1A1 A2A2 A3A3 B1B1 B2B2 B3B3 ED n=0 ∞∞

הוכחה - המשך תחילה נוכיח כי x  f(x) היא התאמה חד-חד ערכית בין D לבין E. יהי x  D. אזי : x  A n, n=0,1,…. לכן f(x)  B n, n=1,2,…, שגורר f(x)   B n = E. יהי y  E. אזי y  B n, n=0,1,…, לכן y  f(A n ),n=1,2,…, שגורר y   f(A n ) = f(  A n ) = f(D). כלומר, קיים x  D כך ש- y = f(x). ∞∞ n=0 ∞

הוכחה - המשך A = (A 0 /A 1 )  (A 1 /A 2 )  (A 2 /A 3 )  …  D B = (B 0 /B 1 )  (B 1 /B 2 )  (B 2 /B 3 )  …  E משום ש - f :A n  B n+1, f :A n+1  B n+2 הן התאמות חד-חד ערכיות, f :A n / A n+1  B n+1 / B n+2 היא גם כן התאמה חד-חד ערכית ובצורה דומה: g :B n / B n+1  A n+1 / A n+2 היא התאמה חד-חד ערכית.

הוכחה - המשך AB B 0 /B 1 B 1 /B 2 B 2 /B 3 A 0 /A 1 A 1 /A 2 A 2 /A 3 A 3 /A 4 B 3 /B 4 ED f g f g f

הוכחה - המשך ההתאמה החד-חד ערכית h:A  B מוגדרת באופן הבא: אם a  A 2n / A 2n+1 אזי h(a) = f(a). אם a  A 2n+1 / A 2n+2, אזי h(a) = g -1 (a) אם a  D, אזי h(a) = f(a).