1 第 9 章 差错控制编码 9.1 引言 9.2 纠错编码的基本原理 9.3 常用的简单编码 9.4 线性分组码 9.5 循环码 9.6 卷积码

2 9.1 引言 差错控制编码的基本方法 在发送端被传输的信息序列上附加一些 监督码元, 这些多余码元与信息码元之间 以某种确定的规则相互关联 ( 约束 ), 接收端 按照既定的规则检验信息码元与监督码 元之间的关系.

3 常用差错控制方法 检错重发 前向纠错 发收 检错码 应答信号 发收 纠错码

4 混合纠错 发收 纠检错 应答信号 常用检错重发系统 : 停发等候重发, 返回 重发和选择重发

5 停发等候重发 TITI 23 发 接收 ACK NAK 发现错误 这是一种半双工的通信方式, 原理简单, 效率低.

6 返回重发 … 发 接收 发现错误 NAK 从码组 2 开始重发 ( 传输效率最高, 需复杂的控制, 收、发数据缓存 ) 选择重发 重发码组 2

7 9.2 纠错编码的基本原理 分类 按差错控制编码的功能：检错码、纠错 码、纠删码。 按信息码元和附加的监督码元之间的检 验关系：线性码、非线性码。 按信息码元和监督码元之间的约束方式： 分组码、卷积码。

8 例： 3 位二进制数构成的码组 表示天气 全用 用4种用4种用2种用2种 用4种用4种用2种用2种 000 晴晴晴 100 雪 001 云 101 霜阴 010 阴 110 雾雨 011 雨云 111 雹雨

9 如不要检（纠）错，传输 4 种不同的 信息，用两位码组就够了，这两位码 代表所传信息，称为信息位，多增加 的称为监督位。 将信息码分组，为每组信码附加若干监督码的 编码，称为分组码。在分组码中，监督码元仅 监督本码组的中的信息码元。 分组码用（ n ， k ）表示， n — 码组长度， k — 信息位数， n – k = r 监督位数。 1 的数目称为码组的重量，两个码组对应位上 数字不同的位数称为码组距离（汉明距离）。 各码组间距离的最小值为最小码距 d 0

10 d 0 的大小直接关系着编码的检，纠错 能力。 为检测 e 个错码，要求 d 0 ≥ e + 1 为纠正 t 个错码，要求 d 0 ≥2 t + 1 为纠正 t 个错码，同时检测 e 个错码，要求 d 0 ≥ e + t +1 B d0d0 B A 12 B A 12 B B 34 5 d0d0

11 A B1 t e 若随机信道中，发送 “0” 和发送 “1” 时的 错误概率相等，为 P ，且 P<<1, 则码长为 n 的码组恰好发生 r 个错码的概率为 :

12 当 n=7 P=10 -3 时 P(1) ≈7×10 -3 P(2) ≈2.1×10 -5 P(3) ≈3.5×10 -8 可见, 采用差错控制编码, 即使仅能纠 正这种码组中的 1 ~ 2 个错误, 也可以使 误码率下降几个数量级.

常用的简单编码 奇偶监督码 无论信息位有多少, 监督位只有一位, 使码 组中 “ 1 ” 的数目为偶 ( 或奇 ) 数. 接收端 这种码能够检测奇数个错码, 适用 检测随机错误

14 二维奇偶监督码 把上述奇偶监督码的若干码组排列成矩 阵, 每一码组写成一行, 然后, 再按列的方向 增加第二维监督位

15 恒比码 每个码组均含有相同数目的 “ 1 ” ( 和 “ 0 ” ). 由于 “ 1 ” 的 数目与 “ 0 ” 的数目之比保持恒定, 故得此名. 正反码 是一种简单的能够纠正错码的编码, 监督位数 目与信息位数目相同, 监督位与信息位相同或相 反, 由信息码中的 “ 1 ” 的个数而定.

线性分组码 线性分组码中信息码元和监督码元是用线性方 程联系起来的. 线性码建立在代数学群论基础上, 线性码各许用码组的集合构成代数学中的群, 因 此, 又称群码. 主要性质 任意两许用码组之和 ( 模 2 和 ) 仍为一许用码组. ( 封闭性 ) 码的最小距离等于非零码的最小重量

17 奇偶监督码是一种最简单的线性码, 偶 校验时 S 称为校正子, 又称伴随式. S=0 无错,S=1 有 错. 一般, 由 r 个监督方程式计算得 r 个校正子, 可以用来指示 2 r -1 种错误, 对于一位误码来 说, 就可以指示 2 r -1 个误码位置. 对于 (n,k) 码, 如果满足 2 r -1≥n 则可能构造出纠正一位或 一位以上错误的线性码.

18 设分组码 (n,k) 中 k=4, 为纠正一位错码, 要求 r≥3, 则 n=k+r=7 S1S2S3S1S2S3 错码位置 S1S2S3S1S2S3 001a0a0 101a4a4 010a1a1 110a5a5 100a2a2 111a6a6 011a3a3 000 无错

19 计算监督 位 判断 错码 位置 按上述方法构造的纠正单个错误的线性 分组码称为汉明码。 码长 n=2 r – 1 信息位 k= 2 r – 1 – r 监督位 r （1）（1） （2）（2）

20 编码速率 = （ 1 ）改写为 表示成矩阵形式 = PIrIr

21 简记为 或 H 称为监督矩阵， H 确定，则编码时监督 位和信息位的关系就完全确定了。 P 为 r × k 阶 I r 为 r × r 阶单位方阵 具有 [ P I r ] 形式的 H 矩阵称为典型阵。 （ 2 ）改写为： =

22 或 Q 生成矩阵 G AG

23 具有 形式的生成矩阵称 为典型生成矩阵。 由典型生成矩阵得出的码组 A 中， 信息位不变，监督位附加其后， 这种码称为系统码。

24 发送码组 A 在传输过程中可能发生误码， 设接收到的码组为 B=[b n-1 b n-2 … b 0 ] 则 B – A = E E= [e n-1 e n-2 … e 0 ] 错误图样 也可写作 B=A+E

25 接收端计算校正子为 错误图样与校正子之间有确定的关系

26 例 设 且有 3 个接收码组 验证 3 个接收码组是否发生差错？ 若在某码组中有错码，错码的校正子是什么？ 然后再指出发生错码的码字中，哪位有错？

27 解： 1 ）若无错，则错误图样为 0 ， S 为 0 B 1 无错 B2错B2错 B3错B3错 2） ∵2） ∵ S 2 =H 第 1 列 ∴ E=[ ] 第 1 位错 同理 S 3 =H 第 3 列 ∴ E=[ ] 第 3 位错

28 线性码的重要性质 封闭性 任意许用两个码组之和仍为许用码组 两个码组之间的距离必是另一码组的重 量, 故最小码距即码的最小重量 ( 除全 0 码 外 )

循环码 循环码原理 循环码是一种重要的线性分组码, 易于实 现, 性能较好. 循环码除具有线性码的一般性质外, 还具 有循环性, 即循环码中任一码组循环一位 以后, 仍为该码中的一个码组. 一长为 n 的码组可表示成码多项式

30 码多项式的按模运算 若 F(x) = N(x) Q(x) + R(x) 则 F(x) ≡ R(x) ( 模 N(x) ) 例

31 在循环码中, 若 T(x) 是一个长为 n 的许用码组, 则 x i T(x) 在按模 x n +1 运算下, 也是一个许用码组. 即 若 则 T′(x) 也是一个许用码组

32 在循环码中，一个（ n ， k ）码有 2 k 个 不同码组 假设用 g （ x ）表示一个前 k-1 位皆为 0 （第 k 位不为 0 ）的码组 则 在循环码中，除全 0 码外，再没有连续 k 位均为 “ 0 ” 的码组，即连 “ 0 ” 的长度最多只 能 k-1 位。因此 g （ x ）必须是一个常数项 不为 “ 0 ” 的 n-k 次多项式 生成多项 式

33 g(x),xg(x),x 2 g(x), … x k-1 g(x) 都是码组, 且线性 无关, 故循环码的生成矩阵 G 可写成 假如输入信息码元 m k-1 m k-2 … m 0 则

34 所有码多项式 T(x) 都可被 g(x) 整除, 而且, 任一次数不大于 k-1 的多项式乘 g(x) 都 是码多项式. 生成多项式 g(X) 的确定 ∵ T(x) = h(x) g(x) 又 g(x) 为一个码组, 故 x k g(x) 在模 x n +1 运算下 也为一码组, 故可写成 =1

35 故 g(x) 是 x n +1 的一个 n – k 次因式, 此即寻 找 g(x) 的方法. 例 都可作为 (7,3) 循环码的生成多项式

循环码的编、解码方法 编码步骤 根据给定的（ n,k) 选定生成多项式 g(x), 即 从 x n +1 的因子中选一 n-k 次多项式作为 g(x). 所有码多项式 T(x) 都可被 g(x) 整除, 据此 对给定的信息位 m(x) 进行编码. 1. 信息码后附加 n-k 个

37 监督位 信息位 例 (7,3) 循环码 m(x)=x 2 +x, g(x)= x 4 +x 2 + x+1 解 r(x)

38 a + b + cd + 输入 m 输出 f e S （ 7 ， 3 ）码编码器 m a b c d e f f=m f=e

39 循环码的解码 将接收码组 R(x) 用 g(x) 去除, 若未发生错误, R(x) 能被 g(x) 整除, 发生错误则有余项.

卷积码 在编码器复杂性相同的情况下, 卷积 码的性能优于分组码. 卷积码把 k 个信息位编 n 位,k 和 n 通常很小, 特别适宜于串行形式传输, 延时小. n 个码元与当前段的 k 个信息位有关, 而且 与前 N-1 段的信息有关, 编码过程相互关联 的码元为 Nn 个. N 或 nN 称为卷积码的约束长度, 常把卷积码记作 (n,k,N)

输入 b i cici 输出 bicibici 卷积码编码器 k=1, n=2, N=6

42 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 + 一级 移存 + S 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S 1 + 门限电路 (2,1,6) 卷积码门限译码器 输入 bibi cici 重算 c i 输出 校正子 “1” 的个数 ≥3?

43 假定 b1 以前各码元均未发生错误, 则 (1)

44 (1) 式经线性变换 这是一组正交于 E(b 1 ) 的正交校验方程, 在 所考察的 12 个码元 (b 1 ~b 6,c 1 ~c 6 ) 中错误不多 于 2 个的条件下, 仅当 E(b 1 )=1, (2) 式才有可 能有 3 个或 3 个以上方程等于 1. 门限电路门 限设为 3, 此时, 门限电路输出 “ 1 ”, 纠正 b 1 错 误, 同时送到受 E(b 1 ) 影响的各级校正子移 存器纠正其中错误. (2)

45 监督矩阵 H 假定 b 1 进入编码器之前，各级移存器 处于 “ 0 ” 状态 则 即

46 H 1 用矩阵表示为 … n n-k

47 H 1 ：截短监督矩阵 自第 7 行起，每行结构相同，只是每 行的起始比上一行多两个 “ 0 ” 。 一般，卷积码的截短监督矩阵形式为：

48 I n-k — n-k 阶单位方阵 P i — （ n-k ） ×k 矩阵 0 — n-k 阶全零方阵 基本监督矩阵 h=[ P N 0 P N-1 0 P N-2 0 … P 1 I n-k ] 只要给定 h ， H 1 随之确定。

49 生成矩阵 G 基本生成矩阵 g g=[ I K Q 1 0 Q 2 0 Q 3 … 0 Q N ] 截短生成矩阵 I k — k 阶单位方阵 Q i =P i T — k × （ n-k ）矩阵 0 — k 阶全零方阵

50 卷积码的图解表示 （ 3 ， 1 ， 3 ）卷积码编码器 a 状态 m 1 m 2 为 00 ， b 状态 m 1 m 2 为 01 ， c 状态 m 1 m 2 为 10 ， d 状态 m 1 m 2 为 11 。 M 3 M 2 M 输入序列 m j mjmj y1，jy1，j Y2，jY2，j

51 （ 3 ， 1 ， 3 ）卷积码的树状图 a a b a b c d a b c d a b c d b c d a b c d a b c d a b c d a

52 （ 3 ， 1 ， 3 ）卷积码的网格图 a b c d

53 （ 3 ， 1 ， 3 ）卷积码的状态图 aa b b cc da a b c d

54 在前述编码器中，若起始状态为 a ，输入序 列为 ，求输出序列和状态变化路径 a b c d

55 对于（ n ， k ， N ）卷积码的一般情况， 有如下结论： 对应于每组 k 个输入比特，编码后产生 n 个输出比特。 树状图每个节点引出 2 k 条支路。 网格图和状态图都有 2 k(N-1) 种可能的状态， 每个状态引出 2 k 条支路，同时也有 2 k 条支 路从其它状态或本状态引入。