確率と統計2011 - 確率編- 平成23年10月13日(木)

記述統計から推測統計へ 今日はまずいろいろな現象を観察してみましょう。 サイコロ振り 確率と統計2011 (4回目)

サイコロ振り サイコロを １０回振ったとき １００回振ったとき １００００回振ったとき 表．サイコロを１０００回振って出た目の度数分布表 出る目 １ ２ ３ ４ ５ ６ 合計 頻度 １７１ １６０ １７０ １５３ １８０ １６６ １０００ 平均値＝3.509　　分散＝＿＿＿ 自分で計算してみよう！ 確率と統計2011 (4回目)

推測のための統計の構造 サンプリング 標本 推測 母集団 確率と統計2011 (4回目)

さて、．．． 今日から「確率」の話しをします。 高校までの「確率」の知識は必要ありません。 この授業で「確率」の基礎を身に付けましょう。 とても難しい話? も少ししますが、そこは聞いているだけでもまずは結構です。わかる人はもちろんしっかり理解してください。 確率と統計2011 (4回目)

ある質問 イタリアのある貴族がGalileo(1564-1642)にこう尋ねた。 「３つのサイコロを投げるとき、その目の和が９になる場合と、１０になる場合の数は等しいと思っているので、そのどちらに賭けても同じであると気にしなかったが、実際には１０になる方が少し多く感じられるのはどうしたことか？」 Galileoに代りあなたは答えられますか？ 確率と統計2011 (4回目)

それでは本題に入りましょう。 確率と統計2011 (4回目)

不規則現象（偶然現象） 例： サイコロ投げの結果 コイン投げの結果 明日の天気 測定誤差 雑音 手書き文字・発話音声 確率と統計2011 (4回目)

確率はこのような不規則現象（偶然現象）を取り扱う、数学の１分野である。 以下では、まず確率の基本用語を定義しよう。 確率と統計2011 (4回目)

用語の定義 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even) 確率と統計2011 (4回目)

ちょっと一言 現代ギリシア文字(24文字)の本当の読み方 Α α アルファ Ι ι イョタ Ρ ρ ロ Β β ヴィタ Κ κ カパ Α α アルファ Ι ι イョタ Ρ ρ ロ Β β ヴィタ Κ κ カパ Σ σ ς シグマ Γ γ ガンマ Λ λ ラムザ Τ τ タフ Δ δ ゼルタ Μ μ ミ Υ υ イプシロン Ε ε エプシロン Ν ν ニ Φ φ フィ Ζ ζ ズィタ Ξ ξ クシ Χ χ ヒ Η η イタ Ο ο オミクロン Ψ ψ プシ Θ θ シタ Π π ピ Ω ω オメガ 留学生の諸君へ：　日本ではギリシャ文字の読み方が人によりバラバラです。 　　　　　　　　　　　　 通常はギリシア文字を英語読みしたものを採用しています。 確率と統計2011 (4回目)

試行 実験や観測において、繰り返えされる行為のこと。 例えば、コイン投げで、 「表が出たか裏が出たかを調べる」 行為。 例えば、コイン投げで、 「表が出たか裏が出たかを調べる」 行為。 確率と統計2011 (4回目)

標本点ω 試行により起こる結果のこと。 例えば，コイン投げでは、 「表が出る」 とか 「裏が出る」 といった試行の各結果のこと。 例えば，コイン投げでは、 「表が出る」　とか 「裏が出る」 といった試行の各結果のこと。 　<注>標本点を根元事象と呼ぶこともある。 確率と統計2011 (4回目)

標本空間Ω すべての標本点からなる集合のこと。 例えば、コイン投げでは、 { H, T } ただし、 H: 表が出る T: 裏が出る を表す。 確率と統計2011 (4回目)

まず、ここまでのことを例題で確認しよう。 確率と統計2011 (4回目)

例題１ サイコロ投げ 試行： サイコロを投げ、出る目を記録する。 例題１　サイコロ投げ 試行：　サイコロを投げ、出る目を記録する。 標本点：　 １の目が出る (①と記す) ２の目が出る (②と記す) ３の目が出る (③と記す) ４の目が出る (④と記す) ５の目が出る (⑤と記す) ６の目が出る (⑥と記す) 標本空間： Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ } 確率と統計2011 (4回目)

例題２ ２個のコイン投げ 試行： コイン２個を同時に投げ、 出る面を記録する。 例題２　２個のコイン投げ 試行：　コイン２個を同時に投げ、 　　　　　出る面を記録する。 標本点：　 「表が出る 」をH、「裏が出る」をTと記すと、 HH, HT, TH, TT 標本空間： Ω={ HH, HT, TH, TT } 確率と統計2011 (4回目)

例題３ くじ引き 設定： 当たり１枚、はずれ２枚 試行： くじを１枚引く 例題３　くじ引き 設定： 当たり１枚、はずれ２枚 試行： くじを１枚引く 標本点： A, H1, H2 A: 当たりくじ H1, H2: はずれくじ 標本空間： Ω={ A, H1, H2 } 確率と統計2011 (4回目)

例題４ じゃんけん 設定：２人、１回勝負 試行：じゃんけんをし、それぞれが何を 出したかを記録する。 例題４　じゃんけん 設定：２人、１回勝負 試行：じゃんけんをし、それぞれが何を 出したかを記録する。 標本点： (G, G), (G, C), (G, P), (C, G), (C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P) 標本空間Ω={ (G, G), (G, C), (G, P),(C, G), (C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P) } 確率と統計2011 (4回目)

例題５　２個のサイコロ投げ 試行： 標本点： 標本空間： 自分で考えてみよう！ 確率と統計2011 (4回目)

例題６ 壺からの球の取出し(1) 設定：赤球２個、白球１個。 試行：球を１個取り出し、球の色を記録する。 標本点：①, ②, ① 例題６　壺からの球の取出し(1) 設定：赤球２個、白球１個。 試行：球を１個取り出し、球の色を記録する。 標本点：①, ②, ① 標本空間Ω={ ①, ②, ① } 確率と統計2011 (4回目)

例題7 壺からの球の取出し(２) 設定：赤球２個、白球１個。 ２個を同時に取り出す。 試行：球を2個取り出し、球の色を記録する。 例題7　壺からの球の取出し(２) 設定：赤球２個、白球１個。 　　　　２個を同時に取り出す。 試行：球を2個取り出し、球の色を記録する。 標本点：{①, ②}, {①, ①}, {②,①} 標本空間 Ω={ {①, ②}, {①, ①}, {②,①} } 確率と統計2011 (4回目)

用語の定義(2) 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even) 確率と統計2011 (4回目)

用語の定義 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even) 確率と統計2011 (4回目)

事象 標本空間Ωの部分集合のこと。 例えば、コイン投げでは、 {H}, {T}, {H, T} などはすべて事象である。 {H}は「表が出る出来事」と解釈でき、 {H,T}は「表が出るか裏が出る出来事」と解釈できる。 確率と統計2011 (4回目)

単一事象と複合事象 単一事象：要素が１個の事象 複合事象：要素が２個以上の事象 例えば、Ω={HH, HT, TH, TT}に対して、 単一事象： {HH}, {HT}, {TH}, {TT} 複合事象： {HH,HT}, {HH,TH}, {HH,TT}, 　{HT,TH}, {HT,TT}, {TH,TT}, 　{HH,HT,TH},{HH,HT,TT},{HH,TH,TT}, HT,TH,TT} 確率と統計2011 (4回目)

ここまでのことをまとめると… 確率と統計2011 (4回目)

例題８　コイン投げ 標本空間Ω={H, T} 事象の集合F={φ, {H}, {T}, Ω} {H}: 単一事象 {T}: 単一事象 φ: 空事象 Ω: 全事象 確率と統計2011 (4回目)

例題９ ２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} 例題９　２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT}, {HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω} 確率と統計2011 (4回目)

例題９ ２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} 例題９　２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT}, {HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω} 確率と統計2011 (4回目)

ここまで準備ができれば後は簡単。 確率を定義しよう！ 確率と統計2011 (4回目)

確率の定義 ある試行で起こりうる単一事象の総数（標本点の個数と同じ）がNで、これらの単一事象がすべて同じ確からしさ（蓋然性）で起こるものとする。このとき、ある事象Aがｎ個の単一事象からなるならば、その事象Aの起こる確率は、 P(A) = n / N である。 確率と統計2011 (4回目)

確率の定義（２） P(A)=#A / #Ω ただし、#Sとは集合Sの要素の個数を表す。 確率と統計2011 (4回目)

例題１０　サイコロ投げ Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ } １の目が出る確率： P({①}) = #{①} / #Ω = 1 / 6 奇数の目が出る確率： P({①,③,⑤}) = #{①,③,⑤} / #Ω = 3 / 6 = 1 /2 ５以上の目が出る確率： P({⑤,⑥}) = 2 / 6 = 1 / 3 確率と統計2011 (4回目)

例題１０　サイコロ投げ(2) ⑤ ① ③ ⑥ ② ④ 確率と統計2011 (4回目)

自由研究　Galileo問題 ３個のサイコロを投げるとき、その目の和をTとする。このとき、 P(T=10) = P(T=9) ? P(T=10) < P(T=9) ? P(T=10) > P(T=9) ? 実際にサイコロを投げて調べてみよう。 （理論値は次回説明します。） 確率と統計2011 (4回目)

確認 来週は休講です。 次回までに「レポートNo.1」を 　やっておいてください。 確率と統計2011 (4回目)