TRANFORMASI PEUBAH ACAK DENGAN FUNGSI PAMBANGKIT MOMEN Materi Pokok 23 TRANFORMASI PEUBAH ACAK DENGAN FUNGSI PAMBANGKIT MOMEN Fungsi Pembangkit Momen Fungsi Peubah Acak Misalkan X1, X2, …,Xn merupakan contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang f(x) dan fungsi kepekatan peluang gabungan X1, X2, …,Xn adalah h (x1,x2,…,xn) untuk Y1 = u1 (X1, X2, …,Xn) dan akan dicari g(y1) yang merupakan fungsi kepekatan peluang Y1. Bila fungsi pembangkit momen bagi Y1 ada maka untuk peubah acak kontinu dapat ditulis

Dan jika fungsi pembangkit momen bagi Y1 terlihat merupakan fungsi pembangkit momen tertentu maka dengan sendirinya fungsi kepekatan peluang bagi Y1 dapat ditentukan. Contoh 1 Ambil peubah acak X1 dan X2 bebas dan mempunyai fungsi masa peluang sama yaitu: Cari sebaran peluang Y = X1 + X2

Untuk X1 =1, 2, 3, dan X2 = 1, 2, 3 maka nilai Y = 2, 3, 4, 5, 6 dan sebaran peluang Y dengan mudah dilihat dalam tabel sebaran peluang gabungan: f (x1, x2) X2 1 2 3 X1

Sehingga sebaran peluang Y = X1 + X2 adalah: Cara dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dapat dilakukan tanpa merinci sebaran peluang gabungannya. Fungsi pembangkit momen Y = My(t) y 2 3 4 5 6 g (y)

Fungsi massa peluang bagi Y adalah g(y) =

Contoh 2 Ambil X1 dan X2 peubah acak bebas dengan sebaran masing-masing normal = N dan N carilah fungsi kepekatan peluang g(y) bila Y = X1 - X2 dengan fungsi pembangkit momen Fungsi pembangkit momen Y = M (t)

Karena X1 dan X2 bebas

Ganti t dengan –t untuk memperoleh

Teorema 1. Ambil X1, X2,…,X3 sebagai peubah acak saling bebas dan secara berturut-turut memiliki sebaran normal N (1, 12), N (1, 22), … dan N (n, n2). Peubah acak Y = k1 X1 + k2 X2 + …. + kn Xn dengan k1, k2, …., kn adalah konstanta real akan menyebar secara normal dengan nilai tengah k1 1 + k2 2 + …. + kn n dan ragam k12 12 + k22 22 + …. + kn2 n2 Jadi peubah acak

Buktinya dengan menggunakan fungsi pembangkit momen My (t) = M (t)

Teorema 2. Jika X1, X2, …., Xn adalah peubah acak bebas dengan fungsi pembangkit momen Mi(t), i = 1, 2, 3, …., n maka fungsi pembangkit momen dengan a1, a2, …., an adalah real konstan maka Fungsi pembangkit momen Y = My (t)

Corollary (Akibat Logis) Jika X1, X2, …., Xn hasil pengamatan contoh acak dengan fungsi pembangkit momen M(t) maka Fungsi pembangkit momen Teorema 3. Jika X1, X2, …., Xn merupakan peubaha cak yang saling bebas dan masing-masing menyebar Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r1, r2, …., rn maka peubah acak Y = X1 + X2 + ….+ Xn menyebar Khi-Kuadrat dengan derajat bebas (r1 + r2 + ….+ rn) atau Y ~ X12 (r1 + r2 + ….+ rn)

Teorema 4. Ambil X1, X2, …., Xn sebagai contoh acak berukuran n dari suatu populasi yang menyebar normal N (, 2) maka peubah acak menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas n.