第七章 連續機率分配

本章重點 連續型隨機變數 機率密度函數 常用之連續型機率分配 常態分配 二項分配 vs. 常態分配

離散型隨機變數的機率分配 x 1 3 5 7 加總 f(x) 1/16 3/16 5/16 7/16 f(x) 7/16 = f(7) = P(X=7) 1 3 5 7 x

連續型隨機變數 資料尺度 區間尺度 比例尺度 特性 不可數 在任一區間有無數多個數值（樣本點為緊密連接） 任何一點的機率為零

資料個數很大 組距很小 相對次數直方圖 機率曲線

機率密度函數 p.d.f ( probability density function)

f(x) 之意義 特別注意*** 0≦f(x) ≦ ∞ f(c) ≠P(X=c)=0 機率 = 機率密度函數曲線的某一區間之面積

面積 = P(1/4 < X < 1/3) =? f(x) f(x)=2 2 f(1/4)=2 f(1/3)=2 1/2 x 1/2 x 1/4 1/3

連續型隨機變數的機率分配 f(x)=x/24 f(x) 面積 = P(3<X<5)=P(3≦X<5)=P(3<X≦5) 7/24 = f(7) ≠ P(X=7) = 0 f(x)=x/24 x 1 3 5 7

機率分配函數f(x)代表高度 離散型隨機變數 連續型隨機變數 機率 P(X=a) = f(a)=高度 機率 P(X=a) = 0 機率 P(a<X<b)=面積

常態分配（高斯分配） 設 X 為連續隨機變數，若其 p.d.f. 為： 則稱此 f(x) 為常態分配；表示為：

常態分配的特質

常態分配圖 f(x) x

平均數相同、標準差不同 f(x) x

平均數不同、標準差相同 f(x) x

常態分配的機率範圍

X Z 2 3 4 5 6 -1.4142 -0.7071 0.7071 1.4142

標準化常態分配

標準化 標準化 標準化

標準常態機率分配表

標準常態分配圖 f(z) Z = 0.54 0.2054 - a b z

P( -∞ < Z < 0) = P( 0 < Z < ∞) = 0.5 P(- a < Z < 0 ) = P( 0 < Z < a) P(-a<Z<b) = P(-a<Z<0) + P(0<Z<b) = P(0<Z<a) + P(0<Z<b) P( 0 < Z < a ) = P( 0 < Z ≦a )

利用標準常態分配求常態分配的機率 Z~N(0, 1)

利用標準常態分配求常態分配的機率 Step 1: 平移 ( X – μ) f(x) a-μ b -μ a b

利用標準常態分配求常態分配的機率 Step 2: 推擠 ( X – μ) / σ f(x) a-μ b -μ

二項分配與常態分配 X ~ b (n, p) 連續性調整