1 Slide Slide 第 4 章 機率導論

2 Slide Slide 機率導論 4.1 實驗、計數法則，以及機率指派 4.2 事件與事件機率 4.3 機率的基本關係 4.4 條件機率 4.5 貝氏定理

3 Slide Slide 機率  管理者經常要根據不確定性的分析結果來進行決 策，例如： 1. 若提高商品價格，商品銷售額下降的機會有多少？ 2. 新的裝配方法對提高生產力的可能性有多少？ 3. 計畫準時完成的可能性有多少？ 4. 新投資會獲利的機會有多大？

4 Slide Slide 圖 4.1 機率是發生可能性的 一種數值衡量 發生的可能性提高 機率： 事件幾乎不可能發生事件發生與否的可能性相同事件很有可能發生 第 4 章機率導論 第 141 頁 圖 4.1

5 Slide Slide 4.1 實驗、計數法則以及機率指派 實驗 (experiment) 是「產生有清楚定義的結果 的一個過程」 的一個過程」 樣本空間為一實驗的各種可能結果所成的集合。樣本空間為一實驗的各種可能結果所成的集合。 樣本點 (sample point) ，即其為樣本空間的一 個元素。 個元素。 第 4 章機率導論 第 141 頁

6 Slide Slide 實驗、計數法則以及機率指派  以下為實驗及實驗結果的一些例子。 第 4 章機率導論 第 141 頁

7 Slide Slide 實驗與其樣本  例如 : 1. 擲一枚硬幣，定義 S 為其樣本空間，則 S 為 S = { 正面，反面 } 2. 檢驗一零件，其樣本空間為 S = { 不良品，良品 } 3. 擲一顆骰子，樣本空間為 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 第 4 章機率導論 第 頁

8 Slide Slide 計數法則、組合以及排列實例  樹狀圖 (tree diagram) 是協助我們瞭解多重步驟實驗結果的 圖形。  圖 4.2 是擲兩枚硬幣的樹狀圖 第 4 章機率導論 第 頁 圖 4.2

9 Slide Slide 計數法則、組合以及排列實例  表 4.1 彙整 KP&L 公司擴廠專案各種可能的完成 時間，而圖 4.3 以樹狀圖顯示 9 種可能結果 ( 樣本 點 ) 。 第 4 章機率導論 第 143 頁 表 4.1

10 Slide Slide 圖 4.3 KP&L 專案的樹狀圖 第 4 章機率導論 第 144 頁 圖 4.3

11 Slide Slide 機率指派  機率指派的基本要求 1. 指派到任一實驗結果的機率值必須介於 0 與 1 之間。 假設 E i 表示第 i 個實驗結果，而 P (E i ) 表示該事件發生 的機率，則 對所有 i 而言 0 ≤ P(E i ) ≤ 1 2. 所有實驗結果出現機率的總和必須等於 1.0 。假設一樣 本空間含有 n 個實驗結果，則 P(E 1 ) ＋ P(E 2 ) ＋ … ＋ P(E n ) ＝ 1 第 4 章機率導論 第 頁

12 Slide Slide 機率指派 古典法 相對次數法 主觀法 指派機率適用於各實驗結果出現的可能性皆相 等時。 取得資料來估計各實驗結果發生次數的比例。 採用主觀法對實驗結果指派機率時，諸如經驗 直覺等任何可用資訊皆可使用。 第 4 章機率導論 第 146 頁

13 Slide Slide 古典法實例  如果一實驗可能出現 n 個結果，則各實驗結果發 生的機率各為 1/n 以擲一骰子為例 樣本空間 : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 每一實驗結果被指派的機率值各為 1/6 實例 第 4 章機率導論 第 146 頁

14 Slide Slide 相對次數法實例 連續 20 天的上午 9 點，在醫院 X 光 部門記錄等待檢驗的病人數目， 得到以下的結果。 第 4 章機率導論 第 146 頁

15 Slide Slide 相對次數法實例  以上的資料顯示，在 20 天中的 2 天，等待人數為 0 ；有 1 個病人等待檢驗的天數是 5 天等等。利用 相對次數法，我們可以指派沒有病人在等待的機 率為 2/20 ＝ 0.10 ； 1 個病人在等待的機率為 5/20 ＝ 0.25 ； 2 個病人在等待的機率為 6/20 ＝ 0.30 ； 3 個病 人在等待的機率為 4/20 ＝ 0.20 ； 4 個病人在等待的 機率則為 3/20 ＝ 0.15 。如同古典法，相對次數法也 自然會滿足式 (4.3) 以及式 (4.4) 的基本要求。 第 4 章機率導論 第 146 頁

16 Slide Slide 主觀法 適用的情況是，實驗結果出現的可能性並不相等， 而且無法得到相對次數的資料。採用主觀法對實驗 結果指派機率時，諸如經驗直覺等任何可用資訊皆 可使用。 當考慮所有可用的資訊之後，指派的機率值表示 我們對某特定實驗結果將發生的信心程度 (degree of belief)( 以 0 到 1 為範圍 ) 。 即使在可以適用古典法或相對次數法的情況下， 管理者仍可能採取主觀法進行機率估計。 第 4 章機率導論 第 頁

17 Slide Slide 主觀法  假設湯姆以及茱蒂夫婦在購屋時，提出一個購買 價格，這個價格提供給賣方之後，可能有兩種結 果： E 1 ＝ 他們的出價被接受 E 2 ＝ 他們的出價被拒絕 茱蒂相信出價被賣方接受的機率是 0.8 ，因此，她 會設定 P(E 1 ) ＝ 0.8 及 P(E 2 ) ＝ 0.2 ，然而，湯姆相 信出價被賣方接受的機率是 0.6 ，因此，他會設定 P(E 1 ) ＝ 0.6 及 P(E 2 ) ＝ 0.4 ，由以上的機率顯示湯姆 對出價被接受的可能抱持較悲觀的看法。 第 4 章機率導論 第 147 頁

18 Slide Slide KP&L 專案的機率 第 4 章機率導論 第 147 頁 表 4.2

19 Slide Slide KP&L 專案的機率  各樣本點的機率值如表 4.3 所示。 第 4 章機率導論 第 148 頁 表 4.3

20 Slide Slide 一個事件是指樣本點的集合。一個事件是指樣本點的集合。 任何一個事件的機率等於該事件中各樣本點出現機率 的總和。 使用這個定義 ， 只要將構成事件的各樣本點 ( 實驗結果 ) 的機率相加，就 可以計算某一特定事件發生的機率。 4.2 事件與事件機率 第 4 章機率導論 第 頁

21 Slide Slide 事件與事件機率實例  我們回到 KP&L 的擴廠計畫，假定專案經理感興 趣的是擴廠計畫是否能在 10 個月 ( 含 ) 內完成，參 考表 4.3 我們發現有 6 個樣本點 ── (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6),(3, 7), (4, 6) ── 是在 10 個月 ( 含 ) 內完成。 令 L 代表該計畫在 10 個月 ( 含 ) 內完成的事件， 則 L ＝ {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)} 事件 L 中任何一個樣本點出現，我們就稱事件 L 發生。 第 4 章機率導論 第 頁

22 Slide Slide 事件與事件機率實例  KP&L 公司管理者可能對下列事件亦有興趣： L ＝ 該計畫將在 10 個月以內完成的事件 M ＝ 該計畫完成時間多於 10 個月的事件 由表 4.3 可得知，這兩個事件所包含的樣本點為 L ＝ {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6 )} M ＝ {(3, 8), (4, 7), (4, 8)} KP&L 專案問題可定義出許多不同的事件，每個 事件都是實驗的樣本點所成的集合。 第 4 章機率導論 第 151 頁

23 Slide Slide 事件與事件機率實例  現在我們可以計算該專案將在 10 個月 ( 含 ) 以內 完成的機率，已知該事件 L ＝ {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)} ，所以事件 L 發生的機率 P(L) 為 P(L) ＝ P(2, 6) ＋ P(2, 7) ＋ P(2, 8) ＋ P(3, 6) ＋ P(3, 7) ＋ P(4, 6) ＝ 0.15 ＋ 0.15 ＋ 0.05 ＋ 0.10 ＋ 0.20 ＋ 0.05 ＝ 0.70  同理，專案完成時間多於 10 個月的事件 M ＝ {(3, 8), (4, 7), (4, 8)} ，所以事件 M 發生的機率為 P(L) ＝ (3, 8) ＋ (4, 7) ＋ (4, 8) ＝ 0.05 ＋ 0.10 ＋ 0.15 ＝ 0.30 第 4 章機率導論 第 151 頁

24 Slide Slide 4.3 機率的基本關係 事件的餘集事件的餘集 兩事件的交集兩事件的交集 互斥事件互斥事件 加法律加法律 第 4 章機率導論 第 頁

25 Slide Slide A 的餘集以 A c 表示。 A 的餘集以 A c 表示。 給定一事件 ，則事件 A 的餘集 (complement of A) 是 指樣本空間中不包含 A 事件之所有樣本點所成的集合。 給定一事件 ，則事件 A 的餘集 (complement of A) 是 指樣本空間中不包含 A 事件之所有樣本點所成的集合。 事件 A AcAcAcAc 樣本空間 S 范氏圖 事件的餘集 第 4 章機率導論 第 154 頁 圖 4.4

26 Slide Slide 聯集的符號表示為 A ∪ B 聯集的符號表示為 A ∪ B 。 A 和 B 的聯集表示所有屬於 A 或 B 或同時屬於兩者的 所有樣本點所成的集合 A 和 B 的聯集表示所有屬於 A 或 B 或同時屬於兩者的 所有樣本點所成的集合 樣本空間 S 事件 A 事件 B 兩事件的聯集 第 4 章機率導論 第 155 頁 圖 4.5

27 Slide Slide 交集的符號表示為 A ∩  。 給定兩事件 A 和 B ，則 A 和 B 的交集表示在 A 和 B 中 共同出現的樣本點所成的事件。 共同出現的樣本點所成的事件。 樣本空間 S 事件 A 事件 B 事件 A 和 B 的交集 兩事件的交集 第 4 章機率導論 第 156 頁 圖 4.6

28 Slide Slide 加法律 (addition low) 用來計算事件 A 或事件 B 或兩者皆 發生的機率。 表示如下：表示如下： P(A ∪  B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B  加法律 第 4 章機率導論 第 156 頁

29 Slide Slide 加法律實例  假設一工廠有 50 名員工，每一名員工必須準時完 成指派的工作，並且能通過最後的檢驗。有些時 候，員工疏忽造成進度落後或產生不良品。績效 評估的最後階段，產品經理發現， 50 名員工中有 5 名工作進度落後， 50 名員工中有 6 名員工組裝 出不良品， 50 名員工中有 2 名工作進度落後且組 裝出不良品。令 L ＝ 工作進度落後事件 D ＝ 組裝出不良品事件 第 4 章機率導論 第 156 頁

30 Slide Slide 加法律實例  從上述的相對次數資訊可以得到如下的機率： 在看過績效資料後，生產經理決定給予工作進度 落後或生產不良品的員工不好的績效評等。因此， 生產經理感興趣的應該是 L ∪ D 。請問生產經理給 予員工不好的績效評等的機率有多大？ 第 4 章機率導論 第 頁

31 Slide Slide 加法律實例  這是兩事件聯集的機率問題。利用式 (4.6) ，可得 P(L ∪ D) ＝ P(L) ＋ P(D) － P(L∩D) 將已知的 3 個機率值代入上式右邊，我們可得 P(L ∪ D) ＝ 0.10 ＋ 0.12 － 0.04 ＝ 0.18 這表示有 0.18 的機率，一名員工會得到不好的績 效評等。 第 4 章機率導論 第 157 頁

32 Slide Slide 加法律實例  另一個加法律的例子與電腦軟體公司的人事經理 所做的研究有關。研究發現，兩年內離職的員工 中有 30% 是因為對薪水不滿意，有 20% 是因為對 工作不滿意，有 12% 的員工對薪水和工作都不滿 意。請問，兩年內離職的員工中有多少是因為對 薪水不滿意、對工作不滿意或對兩者皆不滿意？  令 S ＝ 員工離職是因為對薪水不滿意的事件 W ＝ 員工離職是因為對工作不滿意的事件 第 4 章機率導論 第 157 頁

33 Slide Slide 加法律實例  我們可得 P(S) ＝ 0.30, P(W) ＝ 0.20 和 P(S ∩W) ＝ 0.12 ，利用式 (4.6) 的加法律，我們可以知道， P(S ∪ W) ＝ P(S) ＋ P(W) － P(S ∩W) ＝ 0.30 ＋ 0.20 － 0.12 ＝ 0.38 即有 0.38 的機率，兩年內離職的員工是因為對薪 水不滿意、對工作不滿意或對兩者皆不滿意而離 職。 第 4 章機率導論 第 157 頁

34 Slide Slide 兩事件互斥表示，兩事件沒有共同的樣本點。兩事件互斥表示，兩事件沒有共同的樣本點。 若事件 A 和 B 互斥，表示當一事件發生時，另一事件 必不發生。 必不發生。 樣本空間 S 事件 A 事件 B 互斥事件 第 4 章機率導論 第 頁 圖 4.7

35 Slide Slide 兩事件 A 與 B 互斥，則 P(A ∩ B  = 0 。 互斥事件的加法律互斥事件的加法律 P(A ∪  B) = P(A) + P(B) 不需要包含 “- P(A ∩ B  ” “- P(A ∩ B  ” 互斥事件 第 4 章機率導論 第 158 頁

36 Slide Slide 某一事件發生的機率常受其他相關事件是否發生影響，稱為條件機率。某一事件發生的機率常受其他相關事件是否發生影響，稱為條件機率。 條件機率： 或條件機率： 或 條件機率 (conditional probability) 記作 P (A | B) 。 條件機率 第 4 章機率導論 第 頁

37 Slide Slide 條件機率  條件機率 第 4 章機率導論 第 162 頁 圖 4.8

38 Slide Slide 如果事件 A 發生的機率不受事件 M 的影響即 P(A ︱ M) ＝ P(A) ，此時稱事件 A 和 M 為獨立事件 (independent events) 。 如果事件 A 發生的機率不受事件 M 的影響即 P(A ︱ M) ＝ P(A) ，此時稱事件 A 和 M 為獨立事件 (independent events) 。 兩事件 A 和 B 是獨立事件，若 否則兩事件相依 否則兩事件相依 P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) 或 或 獨立事件 第 4 章機率導論 第 163 頁 兩事件 A 和 B 是獨立事件，則 P(A  B) = P(A). P(B) 試證明之

39 Slide Slide 條件機率實例  美國某大都市警察局的人事升遷狀況如表 4.4 所示。 警官總人數為 1,200 人，男性 960 人，女性 240 人。過去兩年中，有 324 人升遷，，詳細資料如 表 4.4 所示。 第 4 章機率導論 第 160 頁 表 4.4

40 Slide Slide 條件機率實例  女性警官看完表 4.4 後，提出性別歧視的指控， 因為有 288 位男性升遷，卻只有 36 位女性獲得升 遷。主管機關認為並沒有性別歧視，女性警官升 遷人數較少是女性警官看完表 4.4 後，提出性別 歧視的指控，因為有 288 位男性升遷，卻只有 36 位女性獲得升遷。主管機關認為並沒有性別歧視， 女性警官升遷人數較少是 M ＝ 男性警官的事件 W ＝ 女性警官的事件 A ＝ 警官升遷的事件 A C ＝ 警官沒有升遷的事件 第 4 章機率導論 第 頁

41 Slide Slide 條件機率實例  將表 4.4 中的資料皆除以總人數 1,200 ，我們可以獲得如下 的機率資料。 P(M∩A) ＝ 288/1200 ＝ 0.24 ＝隨機抽取一男性警官且升遷的機率 P(M∩A c ) ＝ 672/1200 ＝ 0.56 ＝隨機抽取一男性警官且未升遷的機率 P(W∩A) ＝ 36/1200 ＝ 0.03 ＝隨機抽取一女性警官且升遷的機率 P(W∩A c ) ＝ 204/1200 ＝ 0.17 ＝隨機抽取一女性警官且未升遷的機率 上述機率皆為兩事件的交集，稱為聯合機率 (joint probabilities) 。 第 4 章機率導論 第 161 頁

42 Slide Slide 條件機率實例  表 4.5 為此計算的彙整表，稱為聯合機率表 (joint probabilities table) 。 第 4 章機率導論 第 161 頁 表 4.5

43 Slide Slide 條件機率實例  聯合機率表的邊欄 ( 列 ) 是各事件的機率，如 P(M) ＝ 0.80, P(W) ＝ 0.20, P(A) ＝ 0.27, P(A c ) ＝ 0.73 。由 於這些機率位於聯合機率表的邊緣，所以稱為邊 際機率 (marginal probabilities) 。  邊際機率是由各行或各列的聯合機率值加總而得。 例如警官升遷的機率為何？ P( 警官升遷 ) =P(A) ＝ P(M∩A) ＋ P(W∩A) = 0.24 ＋ 0.03 ＝ 0.27 。 邊際機率可知 : 27% 的警官獲得升遷 73% 沒有。 第 4 章機率導論 第 161 頁

44 Slide Slide 條件機率實例  P(A ︱ M) 即指在關心的是 960 位男性警官的升遷 狀況。因為 960 位男性警官中有 288 位升遷，因 此，男性警官獲得升遷的機率是 288/960 ＝ 0.30 。 換句話說，在給定警官為男性的條件下，有 30% 的機率會獲得升遷。 第 4 章機率導論 第 161 頁 M M

45 Slide Slide 乘法律 (multiplication law) 則是用來計算兩事件交集的 機率。 機率。 乘法律如下所示： 或乘法律如下所示： 或 P(A ∩  B) = P(B)P(A | B) 乘法律 第 4 章機率導論 第 163 頁 P(A ∩  B) = P(A)P(B | A)

46 Slide Slide 乘法律實例  某地區有 84% 的家庭訂閱某報的平日版，令 D 表 示該地區訂閱平日版的事件，則 P(D) ＝ 0.84 。另 外，訂閱平日版亦訂閱假日版 ( 令訂閱假日版的事 件為 S) 的機率為 0.75 ，即 P(S ︱ D) ＝ 0.75 。請問同 時訂閱兩種報紙的機率為何？利用乘法律我們可 以計算 P(S∩D) 為： P(S∩D) ＝ P(D) P(S ︱ D) ＝ 0.84(0.75) ＝ 0.63 表示該地區的家庭有 63% 同時訂閱兩種報紙。 第 4 章機率導論 第 164 頁

47 Slide Slide 要計算兩獨立事件交集的機率，只要將個別事件機率相乘即可。要計算兩獨立事件交集的機率，只要將個別事件機率相乘即可。 獨立事件的乘法律：獨立事件的乘法律： P(A ∩  B) = P(A)P(B) 獨立事件的乘法律 第 4 章機率導論 第 164 頁

48 Slide Slide 獨立事件的乘法律實例  假設某加油站的經理根據過去的經驗知道，有 80% 的客戶會使用信用卡。請問接下來的兩位顧 客都使用信用卡的機率是多少？我們令 A ＝ 第一位客戶使用信用卡的事件 B ＝ 第二位客戶使用信用卡的事件 我們有興趣的是 A∩B ，若沒有其他資訊，則可以 合理假設 A 和 B 為獨立事件。因此， P(A∩B) ＝ P(A)P(B) ＝ (0.80)(0.80) ＝ 0.64 第 4 章機率導論 第 164 頁

49 Slide Slide 評註  請勿將互斥事件與獨立事件混為一談。機率不為 0 的兩個事件不能既獨立且互斥。若兩互斥事件中 的一事件發生，則另一事件必不發生，因此互斥 事件必為相依。 第 4 章機率導論 第 164 頁

50 Slide Slide 4.5 貝氏定理 新的資訊新的資訊貝式定理的應用貝式定理的應用事後機率事後機率先驗機率先驗機率 對某特定事件的分析，經常是由初始的或先驗 機率 (prior probability) 開始。 然後，經由諸如樣本、特定報告或產品測試等 資訊，得到某特定事件的額外資訊。 在已知的新資訊下，我們對先前的機率進行修正， 稱為事後機率 (posterior probabilities) 。 貝氏定理 (Bayes’ theorem) 是計算這些機率的 方法。機率修正的步驟如圖 4.9 所示。 第 4 章機率導論 第 167 頁

51 Slide Slide 貝氏定理實例  某製造商向兩個供應商訂購零件，令 A 1 表示供應商 1 供 應零件的事件， A 2 代表供應商 2 供應零件的事件。現在有 65% 的零件是向供應商 1 購買， 35% 的零件是向供應商 2 購買。假設隨機取出一零件，我們指派先驗機率 P(A 1 ) ＝ 0.65 與 P(A 2 ) ＝ 0.35 。  零件品質因供應來源而異，而供應商供貨品質的歷史資料 如表 4.6 所示。令 G 代表零件是好的， B 代表零件是壞的。 由表 4.6 可得知如下的條件機率值。 P(G ∣ A 1 ) = 0.98 P(B ∣ A 1 ) = 0.02 P(G ∣ A 2 ) = 0.95 P(B ∣ A 2 ) = 0.05 第 4 章機率導論 第 168 頁

52 Slide Slide 貝氏定理實例  由圖 4.10 樹狀圖可看出，公司從供應商處收到零 件，然後檢驗零件的好壞，我們可將這個過程視 為一個兩步驟的實驗，此實驗有 4 個實驗結果： 兩個對應到零件是好的，另外兩個對應到零件是 壞的。 第 4 章機率導論 第 168 頁 表 4.6

53 Slide Slide 貝氏定理實例 第 4 章機率導論 第 168 頁 圖 4.10

54 Slide Slide 貝氏定理實例  每一實驗結果皆是兩事件的交集，因此我們可以 用乘法律計算其機率。則： P(A 1, G) = P(A 1 ∩ G) = P(A 1 )P(G ∣ A 1 ) 上述聯合機率的計算過程可在機率樹狀圖上加以 表達 ( 見圖 4.11) 。從樹的左邊到右邊，步驟 1 的每 一分枝代表先驗機率，步驟 2 的每一分枝代表條件 機率。要找到每個實驗結果的機率，只要將兩階 段的分枝機率相乘，即為其對應的實驗結果發生 的機率，這些聯合機率如圖 4.11 所示。 第 4 章機率導論 第 169 頁

55 Slide Slide 貝氏定理實例 第 4 章機率導論 第 169 頁 圖 4.11

56 Slide Slide 貝氏定理實例  假設將這些零件投入生產製程，發現有一機器因 壞的零件而故障。若已知某一零件是壞的，則它 來自供應商 1 的機率為何？來自供應商 2 的機率 又為何？將這些資訊畫在機率樹上 ( 見圖 4.11) ， 再利用貝氏定理可以找到我們要的答案。  令 B 表示零件是壞的，則事後機率 P(A 1 ︱ B) 和 P(A 2 ︱ B) 可由條件機率公式得知： 第 4 章機率導論 第 169 頁

57 Slide Slide 貝氏定理實例  參考機率樹狀圖可知： P (A 1 ∩B) = P (A 1 )P(B ︱ A 1 )  要找出 P(B) 的機率，我們注意到只有兩種情況下 事件 B 會發生： (A 1 ∩B) 和 (A 2 ∩B) ，因此，可得： P(B) = P (A 1 ∩B) + P (A 2 ∩B) = P (A 1 ) P(B ︱ A 1 ) + P(A 2 ) P(B ︱ A 2 ) 第 4 章機率導論 第 169 頁

58 Slide Slide 貝氏定理 ( 兩事件的情況 ) 第 4 章機率導論 第 169 頁

59 Slide Slide 貝氏定理  若有 n 個互斥事件分別是 A 1, A 2,..., A n ，且其聯集 為整個樣本空間，貝氏定理可用來求任一事後機 率 P (A i ︱ B) ，公式如下。 第 4 章機率導論 第 170 頁

60 Slide Slide 表格求解法 第 4 章機率導論 第 171 頁 表 4.7

61 Slide Slide 評註 1. 貝氏定理在決策分析中佔有相當的份量。先驗機 率經常是由決策者主觀估計而來，在取得樣本資 訊之後，即可計算事後機率，有助於選出最佳決 策。 2. 一事件與其餘事件互斥，它們的聯集為整個樣本 空間。貝氏定理經常利用此一特性計算事後機率。 第 4 章機率導論 第 171 頁

62 Slide Slide End of Chapter 4