匀速运动点电荷产生的电磁场 指导老师： 孙老师和助教老师 莫建勇 pb

库仑定律只告诉我们一个静止的点 电荷的成场规律, 那么当点电荷匀 速运动时的成场规律怎样呢 ? 怎样 求解一个匀速运动点电荷对另一 个点电荷的作用力呢？回答是可 以运用狭义相对论的理论来进行 求解. 问题的提出 ：

若在一个惯性参考系 k 中,q 2 是静止的，而 q 1 相对 k 系匀速运动，在 k 系中若要求 q 2 对 q 1 的 作用力则直接用库仑定律即可；若要求 q 1 对 q 2 的作用力，可以取另一个关于 q 1 静止的惯 性参考系 k’ 系，先在 k’ 系中求出有关的物理 量，然后用狭义相对论中的惯性系 k 与 k’ 系 之间的变换公式，将 k’ 系中的物理量转化到 k 系中，这样就可以求出在 k 系中 q 1 对 q 2 的作 用力了，并可以进一步求得匀速运动的点 电荷所成的电磁场, 并可检验静电磁场中的 一些定理在这种情况下是否成立。 基本想法 :

主要内容 :  求匀速运动点电荷形成的电场  验证电场的高斯定理和检验静电场环路定理  求匀速运动点电荷形成的磁场  验证磁场的高斯定理  导出毕奥 - 沙伐尔定理

在做具体工作之前引进一个基本假设： 电荷量不变原理： 一个系统中总电量，在不同 的惯性系中观察都是一样的 对这条基本假设的几点看法：

1. 通常气体宏观上是显电中性的，假如 带电物体的总电量与它的运动状（即 参考系的选择）有关的话，那么我们 知道气体中例如氧气中的质子与电子 的运动状态不相同的，也就是说氧气 分子对外是有电性的，若说这个电量 很小不易被观测到，那么一个系统中 的大量分子的总和一定是容易测到的， 所以说明带电物体的总电量与其运动 状态无关。

2. 2. 我们知道电荷有一个很重要的特点： 电荷是量子化的。如果说电荷总量与 其运动状态有关的话，那么我们知道 在狭义相对论中标量一般是在原惯性 系 K 中测量，乘以或除以一个因子或者 其它形式。总之一般都是以 V 为自变量 的连续函数，这与电荷是量子化的相 对矛盾。所以总电量应该是一个与两 惯性系相对速度 V 无关的常量，即总电 量的不变原理。

3. 3. 在精度较高的电子荷质比实验中，高 速运动的带电粒子的荷质比的测定实 验证明符合如下关系式： 这就说明电子的总电荷不随其运 动状态改变而改变.

一 匀速运动点电荷的电场 q 2 是静止的，而 q 1 相 对 k 系以 v 沿 x 轴正向运动，取另一 个关于 q 1 静止的惯性参考系 k’ 系 在惯性系 k 中, q 2 是静止的，而 q 1 相 对 k 系以 v 沿 x 轴正向运动，取另一 个关于 q 1 静止的惯性参考系 k’ 系

设当 k 系与 k’ 系的原点重合时 t=t’=0 在 k’ 系中可直接运用库仑定律 :

根据狭义相对论力的变换公式

由上述公式可得 : 注 : 为书写方便下文令

所以得到 k 系中的作用力 Lorentz Transformations 得到 :

所以 k 系中作用力的最终表达式 :

所以 k 系中作用力的矢量表达式 : 上式可知牛顿第三定律在这种情况 下是不成立的

由作用力我们可以直接得到电场直角 坐标系下的表达式 : 匀速运动点电荷的电场

把电场用球坐标表示： 从上式可以清晰地看到匀速运动的点电荷激 发的电场不再是球对称了. 下面考察两个特殊 的位置 :

1. θ =0 ∵ a ﹥ 1 ∴在点电荷速度方向电场减小为原 来 的 a 的平方分之一。 θ=π/2 2. θ=π/2

∵ a ﹥ 1 ∴在点电荷速度方向电场增强为原 来的 a 倍。 用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点 电荷所激发电场的差异：

二. 验证静电场高斯定理

可见, 以匀速运动点电荷为球心的球面 为高斯面是满足高斯定理的, 其他任意 一个封闭的曲面都是满足高斯定理的, 证明同静电学中一样, 详见胡友秋等编 著的电磁学 p27 页。

二. 检验静电场环路定理：

所以其旋度为 : 这就说明匀速运动的点电荷激发的 电场不再满足静电场环路定理 !

三. 匀速运动点电荷的磁场 事实上在上半部分中 q 1 在 q 2 就已经激发出磁 场了, 但由于 q 2 是静止的, 所以不能通过洛仑 兹力检测出来, 所以必须让 q 2 动起来！

同前面方法得到 k’ 系中的作用力 Lorentz Transformations 得到 :

下面进行 q 2 的速度在两个惯性坐标系中的转 换, 从而求出在 k 系中的作用力

由狭义相对论速度变换公式 : 由狭义相对论力的变换公式 :

所以得到 k 系中的作用力

取 t=0 时刻来说明问题 若 q 2 相对于 k 系是静止的, 则有 (t=0)

比较两种情况得到： 正是因为 q 2 在 k 系中以 v 2 沿 x 轴正向运动 而多出这么一项, 这就是 Lorentz 力 ! 又因 为 :

通过比较得到 : 对一般情况有 : 由前面得到的电场表达式得到磁场 :

下面验证磁场的高斯定理 上式即 q 1 为在 q 2 处激发的磁场

四. 验证磁场高斯定理 : 所以在这种情况磁场高斯定理是成立的

五. 毕奥 - 沙伐尔定理的证明 有一根无限长通电直导线，设 其电子与离子的电荷线密度为 λ, 求其距导线 r 处 A 的电磁场

该电场是由静止的离子和运动的电子 激发电场的合成  1. 离子激发的电场 因为离子是静止的, 由静电场的高斯定理 :  2. 电子激发的电场

由前面得到 : 因为电流是稳恒的, 所以不妨取 t=0

由对称性, 电场其垂直于导线 :

A 处的电场 : 由于 A 点是任意的, 所以通电直导线周围不 存在电场. 下面考察 A 处的磁场 :

这就是著名的毕奥 - 沙伐尔定理, 这里用 狭义相对论就可以很容易地导出. 总结 : 从历史上看, 相对论很大程度上起源于电 磁学的理论研究, 只是尝试了运用已学过 的狭义相对论来解决一些简单问题, 中间 肯定难免有些不妥之处, 请各位老师指正

参考文献：  电磁学 胡友秋等 中国科大出版社  The Feynman Lectures On Physics  力学 杨维闳 中国科大出版社  运动系统的电磁场 屠德雍 高教出版社  电动力学 虞福春等 北京大学出版社

肯定有不足之处恳请大家指正 谢谢大家 !