线性代数习题课 吉林大学 术洪亮

第一讲 行 列 式 前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：

行列式 概 念 性 质 展开定理 计 算 应 用

概 念概 念 排列，逆序数，奇排列与偶排列 行列式的定义 行列式的定义 性 质性 质 1 ．行列式与它的转置行列式相等； 2 ．互换行列式的两行（列），行列式变号； 3 ．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4 ．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行 列式可写成两个行列式的和； 5 ．行列式某行（列）的 K 倍后加到另一行（列）上，行列式不变。

展开定理 计 算 就是运用行列式的定义、性质、定理求行列 式的值，常用的方法有定义法、性质法、递 推法、数学归纳法、加边法、公式法等。 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 应 用 克拉默法则

下面我们通过例题演示 来进一步巩固所学内容， 并更好地掌握解题方法 与技巧，本章常见题型 有填空题、计算题、证 明题。

例 1 ：问当 i 、 j 如何取值时，排列 2 1 i j 9 5 为偶排列？ 解：令 i=4 ， j=8 ，得排列为 为奇排列与题矛盾。 应取 i=8 ， j=4 此时排列 为偶排列。 J （ ） = =7

例 2 ：求排列 的逆序数。 解：

行标按自然排列，列标排列的逆序数为 的项前带正号。 行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成， i 、 j 为 2 、 4 的取值 两项 ， J （ ） = 1 J （ ） = 2 的项带负号, 含有因子 的项为 - 例 3 ：写出四阶行列式中含有因子 的项。

例 4 ：在 n 阶行列式中，如果 等于零的元素比 n 2 - n 还多, 试证明此行列式的值为零。 元素比 n 2 - n 还多，这说明 非零元素的个数比 n 2 - （ n 2 - n ） = n 还少。 由于行列式的每一项都是不同行不同列 的 n 个元素的乘积，因此，每一项中至少含 有一个零元素，即所有项都为零，所以，行 列式的值为零。 证： n 阶行列式中有 n 2 个 元素，等于零的

例5：例5： 的充分必要条件？ 解： 展开即有 -1>0 的充分必要条件是 > 1

例6：例6： 已知四阶行列式 D 的第 2 行 元素分别为： -1 ， 0 ， 2 ， 4 ； 第四行元素 的余子式依次为： 由行列式某行元素与另一行元素的代数余 子式乘积之和为零， 而 A 41 = -2 A 42 =4 A 43 = - A 44 =4  解： (-1)(-2)+0×4 + 2 ×(- )+4 ×4=0 = 9

例 7 ：计算行列式 解：

例8：例8： 解：第 2 列、第 3 列直到第 n 列， 依次乘以 1 倍后加到第 1 列上去，得：