中華大學九十三學年度第一學期 工程數學 ( 三 ) 網路輔助教學教材 製作人：土木系呂志宗副教授

一、使用需知 請讀者先執行本 PowerPoint 檔案。 請讀者先執行本 PowerPoint 檔案。 點選按鈕後會執行 PDF 檔案、 Director 檔案或 Flash 檔案，檔案業已經過防毒軟體掃瞄，敬請安心使 用。關掉 PDF 檔案、 Director 檔案或 Flash 檔案後， 即會回到 PowerPoint 畫面。 點選按鈕後會執行 PDF 檔案、 Director 檔案或 Flash 檔案，檔案業已經過防毒軟體掃瞄，敬請安心使 用。關掉 PDF 檔案、 Director 檔案或 Flash 檔案後， 即會回到 PowerPoint 畫面。 有任何疑問，請電 (03) 或 找 研究生助教戴雪蘭小姐協助解決，或以電郵 通知本人，謝謝您！ 有任何疑問，請電 (03) 或 找 研究生助教戴雪蘭小姐協助解決，或以電郵 通知本人，謝謝您！ Demo 檔案為本輔助教材之代表作，點選按鈕即可 瀏覽。 Demo 檔案為本輔助教材之代表作，點選按鈕即可 瀏覽。

二、製作原則 專業 + 創意 + 趣味 專業 + 創意 + 趣味 「專業」使學生能學得工程數學上的知識！ 「專業」使學生能學得工程數學上的知識！ 「創意」使教材製作與教學方法不斷創新， 使教學更有成效！ 「創意」使教材製作與教學方法不斷創新， 使教學更有成效！ 「趣味」使枯燥乏味的工程數學之學習變得 有趣，讓學生能夠樂於學習！ 「趣味」使枯燥乏味的工程數學之學習變得 有趣，讓學生能夠樂於學習！

三、作業 1-12( 含解答 ) 作業 1 作業 1 作業 2 作業 2 作業 3 作業 3 作業 4 作業 4 作業 5 作業 5 作業 6 作業 6 作業 7 作業 7 作業 8 作業 8 作業 9 作業 9 作業 10 作業 10 作業 11 作業 11 作業 12 作業

四、工程數學 ( 三 ) 之 100 個提要 後面內容為所建立之工程數學 ( 三 ) 的 100 個 提要，希能以小單元式的介紹，縮短學習 時間，吸引學生進行學習。 後面內容為所建立之工程數學 ( 三 ) 的 100 個 提要，希能以小單元式的介紹，縮短學習 時間，吸引學生進行學習。 本教材是接續「工程數學 ( 一 )100 個提要」、 「工程數學 ( 二 )100 個提要」所製作之後續 教材，故提要之編號是由提要 201 編列至提 要 300 。 本教材是接續「工程數學 ( 一 )100 個提要」、 「工程數學 ( 二 )100 個提要」所製作之後續 教材，故提要之編號是由提要 201 編列至提 要 300 。 為加深修課同學的印象，有製作有趣之小 動畫，此亦為本輔助教材最大特色之一。 為加深修課同學的印象，有製作有趣之小 動畫，此亦為本輔助教材最大特色之一。

提要 201~210 提要 201 ：二度暨三度空間之向量表示法 提要 201 ：二度暨三度空間之向量表示法 提要 202 ：與向量相關之基本專有名詞 提要 202 ：與向量相關之基本專有名詞 提要 203 ：向量之基本運算規則 提要 203 ：向量之基本運算規則 提要 204 ：向量內積 (Inner Product 或 Dot Product) 之定義 提要 204 ：向量內積 (Inner Product 或 Dot Product) 之定義 提要 205 ：向量內積之其他性質 提要 205 ：向量內積之其他性質 提要 206 ：正交向量 (Orthogonal Vector) 之定義 提要 206 ：正交向量 (Orthogonal Vector) 之定義 提要 207 ：向量之正交性 (Orthogonality) 定理 提要 207 ：向量之正交性 (Orthogonality) 定理 提要 208 ：利用向量之內積求作功量 (Work) 提要 208 ：利用向量之內積求作功量 (Work) 提要 209 ：利用向量之內積推求平面上之單位法線向量 提要 209 ：利用向量之內積推求平面上之單位法線向量 提要 210 ：利用向量之內積推求與另一條直線垂直的直線 提要 210 ：利用向量之內積推求與另一條直線垂直的直線

提要 211~220 提要 211 ：向量外積 (Vector Product 或 Cross Product) 之定義 提要 211 ：向量外積 (Vector Product 或 Cross Product) 之定義 提要 212 ：向量外積之其他性質 提要 212 ：向量外積之其他性質 提要 213 ： Scalar Triple Product 之定義及其應用 提要 213 ： Scalar Triple Product 之定義及其應用 提要 214 ： Scalar Triple Product 之其他性質 提要 214 ： Scalar Triple Product 之其他性質 提要 215 ：向量函數之基本微分運算 提要 215 ：向量函數之基本微分運算 提要 216 ：三度空間中之直線表示法 提要 216 ：三度空間中之直線表示法 提要 217 ：三度空間中之曲線表示法 提要 217 ：三度空間中之曲線表示法 提要 218 ：三度空間中之平面表示法 提要 218 ：三度空間中之平面表示法 提要 219 ：三度空間中之曲面表示法 提要 219 ：三度空間中之曲面表示法 提要 220 ：三度空間中之區域表示法 提要 220 ：三度空間中之區域表示法

提要 221~230 提要 221 ：四種特殊曲面之定義 提要 221 ：四種特殊曲面之定義 提要 222 ：通過曲線上特定點 P 之切線 提要 222 ：通過曲線上特定點 P 之切線 提要 223 ：曲線之長度 提要 223 ：曲線之長度 提要 224 ：速度 (Velocity) 與速率 (Speed) 提要 224 ：速度 (Velocity) 與速率 (Speed) 提要 225 ：切線加速度與垂直加速度 提要 225 ：切線加速度與垂直加速度 提要 226 ：純量函數之梯度 (Gradient) 提要 226 ：純量函數之梯度 (Gradient) 提要 227 ：方向導數之定義與意義 提要 227 ：方向導數之定義與意義 提要 228 ：曲面之單位垂直向量 提要 228 ：曲面之單位垂直向量 提要 229 ：向量函數之散度 (Divergence) 提要 229 ：向量函數之散度 (Divergence) 提要 230 ：純量函數之 Laplacian 的定義 提要 230 ：純量函數之 Laplacian 的定義

提要 231~240 提要 231 ：向量函數之旋度 (Curl) 提要 231 ：向量函數之旋度 (Curl) 提要 232 ：曲線座標系統之弧長 提要 232 ：曲線座標系統之弧長 提要 233 ：曲線座標系統之梯度 提要 233 ：曲線座標系統之梯度 提要 234 ：曲線座標系統之散度 提要 234 ：曲線座標系統之散度 提要 235 ：曲線座標系統之 Laplacian 提要 235 ：曲線座標系統之 Laplacian 提要 236 ：向量函數之線積分的意義 提要 236 ：向量函數之線積分的意義 提要 237 ：向量函數在平面上之線積分的方法 提要 237 ：向量函數在平面上之線積分的方法 提要 238 ：向量函數在空間上之線積分的方法 提要 238 ：向量函數在空間上之線積分的方法 提要 239 ：與積分路徑無關之線積分的意義 提要 239 ：與積分路徑無關之線積分的意義 提要 240 ：單閉區間 (Simply Connected Domain) 的定義 提要 240 ：單閉區間 (Simply Connected Domain) 的定義

提要 241~250 提要 241 ：與積分路徑無關之線積分的判斷方法 提要 241 ：與積分路徑無關之線積分的判斷方法 提要 242 ：純量函數之面積分 提要 242 ：純量函數之面積分 提要 243 ：面積分與 Jacobian 提要 243 ：面積分與 Jacobian 提要 244 ：由推求微小面積 dA 的方法建立 Jacobian 提要 244 ：由推求微小面積 dA 的方法建立 Jacobian 提要 245 ：二度空間的 Green 定理 提要 245 ：二度空間的 Green 定理 提要 246 ： Green 定理與面積儀的原理 提要 246 ： Green 定理與面積儀的原理 提要 247 ： Green 定理與邊界元素法 提要 247 ： Green 定理與邊界元素法 提要 248 ：曲面之面積分 提要 248 ：曲面之面積分 提要 249 ：曲面之面積 提要 249 ：曲面之面積 提要 250 ：通過曲面上特定點 P 之切平面 提要 250 ：通過曲面上特定點 P 之切平面

提要 251~260 提要 251 ：第一個重要的向量定理 -- 散度定理 (Divergence Theorem) 提要 251 ：第一個重要的向量定理 -- 散度定理 (Divergence Theorem) 提要 252 ：散度定理 (Divergence Theorem) 之例證 (I) 提要 252 ：散度定理 (Divergence Theorem) 之例證 (I) 提要 253 ：散度定理 (Divergence Theorem) 之例證 (II) 提要 253 ：散度定理 (Divergence Theorem) 之例證 (II) 提要 254 ：第二個重要的向量定理 -- 史托克定理 (Stoke’s Theorem) 提要 254 ：第二個重要的向量定理 -- 史托克定理 (Stoke’s Theorem) 提要 255 ：史托克定理 (Stoke’s Theorem) 之例證 (I) 提要 255 ：史托克定理 (Stoke’s Theorem) 之例證 (I) 提要 256 ：史托克定理 (Stoke’s Theorem) 之例證 (II) 提要 256 ：史托克定理 (Stoke’s Theorem) 之例證 (II) 提要 257 ：史托克定理 (Stoke’s Theorem) 之例證 (III) 提要 257 ：史托克定理 (Stoke’s Theorem) 之例證 (III) 提要 258 ： Fourier 級數相關問題鳥瞰 提要 258 ： Fourier 級數相關問題鳥瞰 提要 259 ：三角函數之正交性 (Orthogonality) 提要 259 ：三角函數之正交性 (Orthogonality) 提要 260 ：週期為 2  的 Fourier 級數 提要 260 ：週期為 2  的 Fourier 級數

提要 261~270 提要 261 ：週期為 2L 的 Fourier 級數 提要 261 ：週期為 2L 的 Fourier 級數 提要 262 ：週期為  的 Fourier 級數 ( 或稱之為 Fourier 積分 ) 提要 262 ：週期為  的 Fourier 級數 ( 或稱之為 Fourier 積分 ) 提要 263 ：週期為  的 Fourier 級數 ( 或稱之為 Fourier 轉換 ) 提要 263 ：週期為  的 Fourier 級數 ( 或稱之為 Fourier 轉換 ) 提要 264 ： Laplace 積分轉換的由來 ( 中原土研考過 ) 提要 264 ： Laplace 積分轉換的由來 ( 中原土研考過 ) 提要 265 ：特別的提醒 -- 在斷點位置上的 Fourier 級數 提要 265 ：特別的提醒 -- 在斷點位置上的 Fourier 級數 提要 266 ：特別的提醒 -- 在特定點的 Fourier 級數之函數值 提要 266 ：特別的提醒 -- 在特定點的 Fourier 級數之函數值 提要 267 ：奇函數與偶函數之定義 提要 267 ：奇函數與偶函數之定義 提要 268 ：奇函數與偶函數之應用 提要 268 ：奇函數與偶函數之應用 提要 269 ：半幅展開 (Half-Range Expansion) 之意義與觀念 提要 269 ：半幅展開 (Half-Range Expansion) 之意義與觀念 提要 270 ：奇函數之半幅展開 提要 270 ：奇函數之半幅展開

提要 271~280 提要 271 ：偶函數之半幅展開 提要 271 ：偶函數之半幅展開 提要 272 ： Fourier 級數在樑之撓度問題的應用 提要 272 ： Fourier 級數在樑之撓度問題的應用 提要 273 ：複數之 Fourier 級數 ( 與角度變數有關 ) 提要 273 ：複數之 Fourier 級數 ( 與角度變數有關 ) 提要 274 ： Fourier 級數在強制振動問題上之應用 提要 274 ： Fourier 級數在強制振動問題上之應用 提要 275 ： Total Square Error 之定義與應用 提要 275 ： Total Square Error 之定義與應用 提要 276 ：有限區間之 Fourier 轉換與無限區間之 Fourier 轉換 提要 276 ：有限區間之 Fourier 轉換與無限區間之 Fourier 轉換 提要 277 ： Fourier Sine 積分與 Fourier Cosine 積分 提要 277 ： Fourier Sine 積分與 Fourier Cosine 積分 提要 278 ： Fourier Sine 轉換與 Fourier Cosine 轉換 提要 278 ： Fourier Sine 轉換與 Fourier Cosine 轉換 提要 279 ：微分函數之 Fourier Sine 轉換與 Fourier Cosine 轉換 提要 279 ：微分函數之 Fourier Sine 轉換與 Fourier Cosine 轉換 提要 280 ：微分函數之 Fourier 轉換 提要 280 ：微分函數之 Fourier 轉換

提要 281~290 提要 281 ： Fourier 轉換之 Convolution 定理 提要 281 ： Fourier 轉換之 Convolution 定理 提要 282 ：偏微分方程式的基本概念 提要 282 ：偏微分方程式的基本概念 提要 283 ：偏微分方程式之解的重疊原理 提要 283 ：偏微分方程式之解的重疊原理 提要 284 ：一維波傳方程式的推導 提要 284 ：一維波傳方程式的推導 提要 285 ：分離變數法的精神 提要 285 ：分離變數法的精神 提要 286 ：應用分離變數法解析一維波傳問題 提要 286 ：應用分離變數法解析一維波傳問題 提要 287 ：一維波傳問題之 D’Alembert 解答 提要 287 ：一維波傳問題之 D’Alembert 解答 提要 288 ：應用分離變數法解析一維熱傳問題 提要 288 ：應用分離變數法解析一維熱傳問題 提要 289 ：應用分離變數法解析二維穩態熱傳問題 ( 牽涉 Laplace 方程式 ) 提要 289 ：應用分離變數法解析二維穩態熱傳問題 ( 牽涉 Laplace 方程式 ) 提要 290 ：二維波傳方程式的推導 提要 290 ：二維波傳方程式的推導

提要 291~200 提要 291 ：應用分離變數法解析二維波傳問題 提要 291 ：應用分離變數法解析二維波傳問題 提要 292 ：什麼是 Fourier-Bessel 級數？ 提要 292 ：什麼是 Fourier-Bessel 級數？ 提要 293 ：應用分離變數法解析軸對稱波傳問題 提要 293 ：應用分離變數法解析軸對稱波傳問題 提要 294 ：認識三種邊界值問題 提要 294 ：認識三種邊界值問題 提要 295 ：圓柱座標系統的 Laplacian 提要 295 ：圓柱座標系統的 Laplacian 提要 296 ：球體座標系統的 Laplacian 提要 296 ：球體座標系統的 Laplacian 提要 297 ：一個函數的 Jacobian 問題 提要 297 ：一個函數的 Jacobian 問題 提要 298 ：兩個函數的 Jacobian 問題 提要 298 ：兩個函數的 Jacobian 問題 提要 299 ：三個函數的 Jacobian 問題 提要 299 ：三個函數的 Jacobian 問題 提要 300 ：誤差函數及補誤差函數 提要 300 ：誤差函數及補誤差函數

五、感言與誌謝 本輔助教材雖經授課老師多次校閱，一定 還是會出現打字等錯誤，敬祈使用者不吝 賜教，感激不盡。 本輔助教材雖經授課老師多次校閱，一定 還是會出現打字等錯誤，敬祈使用者不吝 賜教，感激不盡。 感謝中華大學提供經費支持本教材之完成！ 感謝中華大學提供經費支持本教材之完成！

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