觀測量的權 權的觀念與計算

緒言 觀測量含有誤差，而各觀測量的誤差大小也不相同。 為了滿足某些幾何條件，各觀測量必須加以改正。 就誤差理論而言，誤差大的其改正量也要大，誤差小的則改正量小。 觀測量的權是在比較與其他觀測量的相對價值的一種指標。權是用來在平差中控制觀測量改正的大小量。 精度愈高的權愈大，反之則權愈小。 因此，權與變異數成反比。換言之，改正量的大小與權成反比。 權是相對的，因此，協變方矩陣中的變異數與協變方，可以用餘因子(cofactor)代替。其關係式如下 第ij個觀測量的餘因子 參考變異數，用來決定比例

緒言 餘因子矩陣Q可寫為 其中為協變方矩陣 因此，權矩陣為 在非相關觀測量中權矩陣為對角矩陣 可用單位權(觀測量)變異數取代

加權平均值 觀測兩次，其中一次是另一次的二倍好，若較差的那一次的權值為1，則較好的那一次的權值應為2。 在計算平均值時，權值為2的觀測量應被加兩次，而權值為1的觀測量則被加1次，再除以總次數3。 例如，以EDM丈量距離其精度為以捲尺丈量的兩倍，以EDM丈量的結果為152.5m，而以捲尺丈量良的結果為151.9m，則其加權平均值為

加權平均值 假設z有m個獨立的觀測量zi，每個觀測量的標準差為σ，則觀測量平均值為 若將觀測量分成兩組，一組的數量為ma另一組的數量為mb，且m=ma+mb，則平均值為 總平均值則為

加權平均值 例9.1 假設一段距離d量測三次，得下列結果：92.61, 權為3、92.60, 權為2、92.62, 權為1；試計算其權平均。 第十章將證明加權平均為一組加權觀測之最或是值 例9.1 假設一段距離d量測三次，得下列結果：92.61, 權為3、92.60, 權為2、92.62, 權為1；試計算其權平均。 解：加權均值為 若忽略權，則三個量測之簡單平均值為：92.61

權與標準差的關係 由誤差傳播定律知 將對各觀測量的偏導數值代入，得 同理，得

權與標準差的關係 (9.15)與(9.16)二式中，為常數，由(9.13)式， 與 之權分別為ma與mb，而因權為相對的，故由(9.15)與(9.16)二式，可得： 可得結論：對非相關之觀測量，權與量測之變方成反比。

加權觀測量的統計學 標準偏差 由定義知，當某觀測量的精度等於w個單位權觀測量的平均值時，則該觀測量的權為w。 假設σ0為單位權的標準誤差，若y1、y2、…、yn維觀測量，其標準差分別為σ1、 σ2、… 、 σn ，權則分別為w1、w2、…、wn，則由(9.5)式，可得

加權觀測量的統計學 因為等權的標準誤差為 不等權的標準誤差則為 標準偏差則為

加權觀測量的統計學 權為w的標準誤差與加權平均的標準誤差 由權與變異數關係知 同理得標準偏差

加權觀測量的統計學 若令上式分母中的權為1，則得加權觀測量的單位權標準偏差(參考標準偏差)S0 加權平均的參考標準誤差與標準偏差分別為

角度量測的權 在觀測條件相同下，某平面三角形的三個內角：α1、α2與α3，分別被量測了n1、n2與n3。那麼這些角度的相對權為若干？ 為分析權與角度觀測次數之間關係，設S為角度單一觀測之標準偏差，三個角度之平均值如下： 平均值的變異數為 因觀測量的權與觀測變異數成反比，且為相對的，故三個角度的權為： 權與觀測次數成正比

逐差水準測量的權 右圖所示為水準網，水準線1、2與3的長度分別為2公里、3公里與4公里。 (1) (2) (3) BM A=100.00 BM X 水準網 右圖所示為水準網，水準線1、2與3的長度分別為2公里、3公里與4公里。 水準線長度不同，其相應的高差誤差也會不相同，因此各水準線的權也會不同。而其相對權應為若干？ 因為逐差水準測量高差的標準誤差為 同一水準線為常數

逐差水準測量的權 因此，3條水準線的權分別為： 因為權是相對的 直接水準測量的權與其線長成反比。而水準線長度與其擺設儀器次數成正比，所以權與儀器設站次數成反比

實例 例9.2 若三角形ABC之三個角由同一個人，利用相同儀器觀測，觀測成果為：A=45º15’25", n=4, B=83º37’22", n=8, C=51º07’39", n=6；試平差改正這些角度。 解：如表9.1所示，根據觀測次數來給定權，改正數則與權成反比；三個角度量測值的和為180º00’26”，故閉合差為26”；在第三欄之改正因子裡，為計算方便且避開分數，將改正因子乘以24，而因權為相對者，故此並不影響改正。最後一列各項總和可用來重複檢核。

實例 例9.3 類似圖9.1之水準網，水準線(1), (2), (3)之線長分別為2, 3, 4公里，若三段線之觀測高差分別為：±2.120m, ±2.123m, ±2.129m，求各段高差之加權平均，與水準點BMX之高程(每一段均自BMA測至BMX)。 解：水準線(1), (2), (3)之權分別為1/2, 1/3, 1/4，又因權為相對者，上列權可乘上任意數12而得：6, 4, 3，再應用(9.13)式，高差之加權平均為： 故BMX之高程=100.000+2.123=102.123m；若不考慮加權平均，僅求簡單平均，則平均高差變為2.124m。

實例 例9.4 利用布卷尺量得一段距離為190.741m，權設為1；又用鋼卷尺量得為190.716m，權設為2；再用EDM量得為190.710m，權設為4。試求線長之最或是值(即加權平均)與加權平均值之標準偏差。 解： 加權平均 其中 v1=190.716190.741=0.025 w1v12=1(0.025)2=0.00062 v2=190.716190.716= 0.000 w2v22=2( 0.000)2=0.000000 v3=190.716190.710=+0.006 w3v32=4(+0.006)2=0.000144 wv2=0.000769

實例 例9.5 若自水準點A測至B，共四條不同之路線，資料如表9.2所示，為計算方便，權計算成18/li，試求高差之最或是值(加權平均)、加權平均之標準偏差、與加權觀測之標準偏差。 解：

實例 若僅求簡單平均，則平均高差變為7.730m。 標準偏差 加權平均標準偏差 加權觀測量的標準偏差

作業 9.2、9.8、9.9