第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量及其分布函数 一、随机变量 用数量来表示试验的基本事件 定义 1 设试验 的基本空间为 ， ，如果对试验 的每一个基 本事件 ，规定一个实数记作 与之对应，这样就得到一个定义在基本空 间 上的一个单值实函数 ，称变量 为随机变量． 随机变量常用字母 、 、 等表示．或用 、 等表示．

注： 1° 随机变量 是基本事件的函数， 具体问题里具体规定． 2° 对于不同的基本事件， 的取值亦要不同． 3° 每一基本事件都可用随机变量的取值来表示．如 ， 则 ． 4° 当 时，事件 与 互不相容． 5 ° 表示 取小于等于 的每一个值所对应的基本事件的和事件 二、随机变量的分布函数

定义 2 设 是一个随机变量，对任意实数 ，令 称 为随机变量 的分布函数． 分布函数是定义在 上的函数．具有如下性质： 1° ≤ ≤1 且 ， ． 2° 是单调不减函数． 3 ° 是右连续的，即 ． 4 ° 对任意 ，有

第二节 离散型随机变量及其概率分布 定义 3 设 E 是一个试验， X 为 E 中的随机变量，如果 X 只取有限个 数值或可数无穷多个数值，则称 X 为离散型随机变量． 一、离散型随机变量及其分布律 定义 4 分布律： P{X = x k } = p k, k = 1, 2, …, 即

… … …… 例如抛硬币的试验 1/2 10 掷骰子的试验 1/

分布律的性质： 1° ≥0 ， =1 ， 2 ， … ； 2° ． 例 1 某人射击命中率为 ，不断地独立射击目标，直到命中为止， 求发射子弹数 的分布律 ( 概率分布 ) ． 解 可取值为 1 ， 2 ， … ， ， … ， 表示事件 “ 前 次不中，第 次击中 ” ，则 ． ，因此

1 2 3 … … … … 例 2 设 1/2 1 0 ，求 为分布函数 ． 解 · · · 。

例 3, /6 1/6 1/6 求分布函数 ． 解 ······ · 。 。 。 。 。 。 对离散型随机变量 ， ．

二、几种常用的离散型随机变量及其概率分布 1 ． (0-1) 分布 若随机变量 只取 0 与 1 两个值，其概率分布为 或写成 则称 服从参数为 的（ 0-1 ）分布或两点分布． 分布函数 ． X 0 1 P 1-p p

2 ．二项分布 如果随机变量 的取值为 0 ， 1 ， 2 ， … ， ， 其分布律为 ， 0 ， 1 ， 2 ， … ， ； ． 则称 服从参数为 ， 的二项分布，证作 ~ ( 或 ) ． 当 =1 时，二项分布 就是 (0-1) 分布． 在 重贝努利概型中，事件 发生的次数 就服从 ， ．

3 ．泊松分布 如果随机变量 可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， … ， ， … ，并且 ， 0 ， 1 ， 2 ， … 其中 为常数，则称 服从参数为 的泊松分布，记作 ~ ． 显然 ， 0 ， 1 ， 2 ， … ． 附表 2 为泊松分布 表．

泊松定理 设 为一常数， 为任意正 整数， ，则对于任一固定的非负整数 ， 有 ． 证 由 ，有

由泊松定理可知，当 很大， 很小时有近似公式 ： 即二项分布近似于泊松分布，而泊松分布有表可查． 例 4 一部电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为 4 的泊松分布， 求： （ 1 ）每分钟恰有 6 次呼叫的概率； （ 2 ）每分钟的呼叫次数大于 5 的概率．

解 以 表示每分钟呼叫的次数，则 ． ， 0 ， 1 ， 2 ， … （ 1 ） ． （2）（2） ．

例 5 某人进行射击，每次命中率为 0.02 ，独 立射击 400 次，求至少击中两次的概率 解 (400 ， 0.02) ，,400 所求概率为 ．

第三节 连续型随机变量及其概率密度 一、连续型随机变量的概率密度及其性质 定义 4 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在一个 非负函数 ，使对于任意实数 ，有 ， 则称 为连续型随机变量，其中 称为 的概率密度． 性质： 1° ≥0 ． 2° ．

3° 连续． 4° ． 5° ． 6° ． 例 1 设 的概率密度为 （ 1 ）求 ；（ 2 ）求 ；（ 3 ） ．

解 （ 1 ）由 ，有 ． （ 2 ） ． （ 3 ） · · 例 2 设连续型随机变量 的概率密度为 （ 1 ）求 ，（ 2 ）求 ；（ 3 ）分布函数 ．

解 （ 1 ）由 ， 而 ． 有 ． （ 2 ） ． （ 3 ）当时 ， ， 当 ≤ 时， ．

当 ≥2 时， ． 所以 ． 二、几种常见的连续型随机变量及其概率密度 （一）均匀分布 若连续型随机变量 具有概率密度

则称 在区间 上服从均匀分布．其分布函数为 · · · · ··

对于任意 ，若 ，则有 ． 这说明 取值落在 内任一子区间 内的概率， 只依赖于子区间的长度 ，而与子区间位置无关． 例 3 设连续型随机变量 的分布函数为 （ 1 ）求密度 ； （ 2 ）若 ．求 ．

解 （ 1 ） 在 (-3, 9) 上服从均匀分布． （ 2 ） ． （二）指数分布 若连续型随机变量 的概率密度为 其中 为常数，则称 服从参数为 的指数分布．其分布函数为

。 · 例 4 已知某种电子管的寿命 ( 单位小时 ) 服从指数分布，其概率密度为 求这种电子管能使用 1000 小时以上的概 率．

解 ． 第四节 正态分布 一、正态分布的定义与性质 若连续型随机变量 的概率密度为 其中 为常数，则称 服从参数为 的正态分布，记 作 ．其分布函数为

· 性质 关于直线 对称，并在 处取最大值 ． 实际问题中，许多随机变量都服从正态分布，如测量长度的误差， 机器包装货物的重量等．

正态分布是本课程的重点内容． 二、标准正态分布 设 ，如果 ， ，则称 服从标 准正态分布．记作 ． 的概率密度为 分布函数为

· ． 性质 若 ，则 有表可查． ．

例 5 设 ． ． 三、一般正态分布与标准正态分布的关系 设 分布函数为 ，则 ， ．

例 6 设 ，求：（ 1 ） ； （ 2 ） ；（ 3 ） ； （ 4 ） ． 解 ， ． （1） （1）.

（2）（2） （3）（3） （4）（4）

例 7 设 ，求 ． 解 四、标准正态分布的上 分位点 设 ，对于给定的 ．若点 满 足 ，则称点 为标准正态分布的上 分位点． ．

当 时，由 ， 查表得

第五节 随机变量的函数的分布 定义 设有函数 ， 与 是两个随 机变量，如果当随机变量 取值 时，随机变量 取值为 ，则称随机变量 是随机变量 的函数，记作 ． 本节举例说明由随机变量 的分布，求 的分布的方 法． 例 1 设离散型随机变量 的分布律为

求 和 的分布律． 解

例 2 设 的概率密度为 求 的概率密度． 解 先求 的分布函数 ． 于是得到 的概率密度

例 3 已知 ，求 的概率密度．

解 即 ．

例 4 设 ，求 的概率密度． 解 由于 的取值非负，故当 时， ， ． 当时 ，

，求 的分布 律． 练习： 1 ．设

2 ．设 X ~ N ( μ, σ 2 ) ，求 Y = a X + b 的密度．

3 ．设 X ~ N ( 0, 1 ) ，求 Y = e X 的密度．

Y ~ N ( aμ, + b, a 2 σ 2 )