ייצור במינימום הוצאות ביקושים מותנים וקווי התרחבות פונקציות ההוצאות ייצור במינימום הוצאות ביקושים מותנים וקווי התרחבות פונקציות ההוצאות

בעיית מינימום ההוצאות תוצאות אנו מעוניינים ליצר לפחות q יחידות בצורה הכי זולה, בהינתן מחירי גורמי הייצור והטכנולוגיה. המטרה – הוצאה מינימאלית דרך הפעולה – ייצור התפוקה המבוקשת באמצעות צירוף גורמי הייצור הזול ביותר בהינתן מחיריהם והתפוקה המבוקשת. נתונים רמת תפוקה מבוקשת ומחירי גורמי הייצור טכנולוגיה (בדרך כלל מיוצגת על ידי פונקצית ייצור) תוצאות צירוף גורמי ייצור אופטימאלי ורמת הוצאות מינימאלית

ניסוח הבעיה (2 גורמי ייצור) או, באופן אלטרנטיבי:

פתרון עקומה שוות הוצאה ברמה a הינו אוסף כל צירופי גורמי הייצור שעולים a וניתנת על ידי: אוסף כל צירופי גורמי הייצור שעולים a או פחות ניתן על ידי:

z2 עק' שוות הוצאה z1

z2 z1

פתרון נצייר גם את כל צירופי גורמי הייצור שמאפשרים לנו ליצר q: Z(q) = {z : אפשרית (z,q) } = {z :f (z) ≥ q }

אוסף התשומות הנדרש לייצור q z2 z1

שני הציורים יחד z2 פתרון: z1

צירוף גורמי הייצור האופטימאלי, z* מקיים את התנאים הבאים: אם זול יותר מ , אז

הביקושים המותנים צירוף גורמי הייצור האופטימאלי תלוי בנתונים: כמות המטרה q, ומחירי גורמי הייצור w1 ו-w2. פונקציות אלו מכונות פונקציות הביקוש המותנות (לגורמי ייצור).

פונקציית ההוצאות את פונקציה זו מכנים פונקצית ההוצאות (העלות). ההוצאה המינימאלית לייצור כמות המטרה q, במחירי גורמי הייצור w1 ו-w2 גם תלויה בנתונים: את פונקציה זו מכנים פונקצית ההוצאות (העלות).

דוגמה נתונים: פונקצית ייצור: f(z1,z2)=Min{z1,z2} מחיר גורם ייצור 1: 1 ₪ מחיר גורם ייצור 2: 2 ₪ כמות לייצור: לפחות 10 יחידות

פתרון נתונים: z2 פונקצית ייצור: f(z1,z2)=Min{z1,z2} מחיר גורם ייצור 1: 1 ₪. מחיר גורם ייצור 2: 2 ₪. כמות לייצור: לפחות 10 יחידות Z(10) 10 z1 10

דוגמה נתונים: פונקצית ייצור: f(z1,z2)=Min{z1,z2} מחיר גורם ייצור 1: w1 ₪. מחיר גורם ייצור 2: w2 ₪. כמות לייצור: לפחות q יחידות

פתרון נתונים: z2 פונקצית ייצור: f(z1,z2)=Min{z1,z2} מחיר גורם ייצור 1: w1 ₪. מחיר גורם ייצור 2: w2 ₪. כמות לייצור: לפחות q יחידות Z(q) q z1 q

הביקוש המותנה לגורם ייצור 1 w1 z1 q

דוגמה נתונים: פונקצית ייצור: f(z1,z2)=z1+z2 מחיר גורם ייצור 1: 1 ₪. מחיר גורם ייצור 2: 2 ₪. כמות לייצור: לפחות 10 יחידות

פתרון נתונים: z2 פונקצית ייצור: f(z1,z2)= z1+z2 מחיר גורם ייצור 1: 1 ₪. מחיר גורם ייצור 2: 2 ₪. כמות לייצור: לפחות 10 יחידות 10 Z(10) z1 10

דוגמה נתונים: פונקצית ייצור: f(z1,z2)=z1+z2 מחיר גורם ייצור 1: w1 ₪. כמות לייצור: לפחות q יחידות

מקרה א: w1<w2 z2 q Z(q) z1 q

מקרה ב: w1>w2 z2 q Z(q) z1 q

מקרה ג: w1=w2 z2 q Z(q) z1 q

מסקנה

הביקוש המותנה לגורם ייצור 1 w1 w2 z1 q

כשעקומות שוות-התפוקה חלקות... z2 פתרון: z1

ניתן לאפיין את הפתרון בצורה הבאה

דוגמה נתונים: פונקצית ייצור: f(z1,z2)=(z1z2)1/2 מחיר גורם ייצור 1: w1 ₪. מחיר גורם ייצור 2: w2 ₪. כמות לייצור: לפחות q יחידות

במקרה זה התנאים המאפיינים הם מכיוון שכשפונקצית הייצור היא שיעור התחלופה הטכנולוגי ניתן על-ידי ניתן לכתוב תנאים אלו כדלקמן:

זאת מערכת של שתי משואות עם שני נעלמים. פתרונה הוא מכאן שפונקצית ההוצאות היא

המקרה ה "יפה ממש" S wizi z* q minimise subject to F(z)  q z2 z1 היצרן מביא למינימום הוצאות תחת מגבלת תפוקה q פתרון הבעיה minimise m S wizi i=1 subject to F(z)  q הורדת עלויות z* מה קורה במקרים אחרים?

המקרה ה "יפה" z2 z1 רצף של פתרונות

תשומה 2 יקרה מדי ולכן לוקחים אפס ממנה. פתרון פינתי z1 z2 כאן TRS21>w1/w2 תשומה 2 יקרה מדי ולכן לוקחים אפס ממנה. z*

שימו לב שאין פתרון בין שני הפתרונות. המקרה ה "לא יפה" z1 z2 יש מספר פתרונות z* שימו לב שאין פתרון בין שני הפתרונות. z**

z* הוא הפתרון היחיד לכל יחס מחירים. המקרה ה "לא חלק" z1 z2 ה TRS לא מוגדר בנקודה z* z* הוא הפתרון היחיד לכל יחס מחירים. z*

מינימום הוצאות – m גורמי ייצור יש לשכור גורמי ייצור כך שיחס התפוקות השוליות של כל שני גורמי ייצור שווה ליחס מחיריהם (m-1) תנאי השקה, ולהיות על העקומה שוות תפוקה של q (משוואה m). מפתרון מערכת משוואות זו מתקבלים ביקושים לגורמי ייצור שנקראים ביקושים מותנים, המתארים מה הכמות המבוקשת מכל גורם ייצור כפונקצייה של מחירי גורמי הייצור והתפוקה המבוקשת. פונקציית ההוצאות מתקבלת מהצבת ביקושים אלו לתוך פונקציית המטרה.

עוד דוגמה (הפעם עם טכניקת הלאגראנג'יאן)

דוגמה מספרית - 1

דוגמה מספרית - 2

קו ההתרחבות קו ההתרחבות מוגדר כאוסף הצירופים של גורמי הייצור הנבחרים עבור רמות תפוקה שונות, כשמחירי גורמי הייצור קבועים. קו ההתרחבות הינו ההשלכה של מערכת הביקוש המותנית על מישור התשומות. בדוגמא הקודמת קו ההתרחבות יצא קו ישר. זה אינו מקרי מאחר וקווי ההתרחבות הינם קווים ישרים עבור טכנולוגיות הומוטתיות. גורם ייצור יקרא נחות אם הביקוש המותנה לגורם הייצור יורד כשהתפוקה עולה. (כלומר לקו ההתרחבות יש שיפוע שלילי)

קו ההתרחבות z2 קו ההתרחבות z1

תכונות הביקושים המותנים ופונקציית ההוצאות הביקוש המותנה הומוגני מדרגה אפס במחירי גורמי הייצור. פונקציית ההוצאות הומוגנית מדרגה אחד במחירי גורמי הייצור. הביקוש המותנה לגורם ייצור i אינו עולה במחירו. ניתן להראות כי: העלות השולית (Cq) שווה לכופל הלאגראנג' . כשעולה מחירו של גורם ייצור לא נחות (נחות) העלות השולית עולה (יורדת).

הוכחה שהביקוש המותנה לגורם ייצור i אינו עולה במחירו נניח שאנו רוצים ליצר q בצורה הזולה ביותר. נסמן את פתרון בעיית מינימום הוצאות כאשר מחירי גורמי הייצור הם (w1,w2) ב- (z1,z2). באופן דומה נסמן את פתרון בעיית מינימום הוצאות כאשר מחירי גורמי הייצור הם (w’1,w’2) ב- (z’1,z’2). מה נוכל להגיד על שני צירופי גורמי ייצור אלו?

ראשית, שניהם מאפשרים ליצר לפחות q. (למה?) שנית, כיון ש- (z1,z2) הוא פתרון בעיית מינימום הוצאות כאשר מחירי גורמי הייצור הם (w1,w2) שלישית, כיון ש- (z’1,z’2) הוא פתרון בעיית מינימום הוצאות כאשר מחירי גורמי הייצור הם (w’1,w’2)

מכאן ש- נחסיר את השורה השנייה מהראשונה ונקבל בפרט, אם w2=w’2 נקבל כלומר, שהביקוש המותנה לגורם ייצור i אינו עולה במחירו.

z1 w1 z1*

הוצאה כוללת, ממוצעת, שולית ההוצאה הכוללת מסומנת ב TC(q). ההוצאה הממוצעת הכוללת מסומנת ב – ATC(q), וניתנת על ידי TC(q)/q. ההוצאה השולית מסומנת ב – MC(q), וניתנת על ידי dTC(q)/dq. בשלב זה מניחים שיש שני גורמי ייצור משתנים ואין הוצאות קבועות. הקשרים בין TC , ATC ו – MC הינם הקשרים המקובלים בין כולל, ממוצע ושולי. התחום בו ATC יורד הינו תחום של יתרונות לגודל והתחום בו הוא עולה הינו תחום של חסרונות לגודל.

ATC ו - MC MC ATC יתרונות לגודל חסרונות לגודל p q q עקומת ההוצאות הממוצעות. ה MC חותך את ה – ATC בנקודת המינימום שלה. MC ATC q q

היחס בין ATC , MC ו – AVC (הוצאות משתנות ממוצעות) 21.02

השטח מתחת ל MC מהווה את ההוצאה המשתנה (VC) 21.03

דוגמה – מערכת פונקציות הוצאות TC(Y)=Y2+1 C(0)=1 (1 is a fixed cost) ATC(y)=y+1/y AVC(y)=y MC(y)=2y שרטוט בשקף הבא

21.04

תשואה לגודל ומבנה פונקצית העלות טענה: אם פונקצית הייצור מקיימת תשואה עולה לגודל אז העלות הממוצעת לא עולה. הוכחה: תהינה q0 ו- q1 שתי רמות תפוקה, ונניח ש-q1>q0. נראה כי - AC(q1)≤AC(q0). נסמן ב- את צירוף גורמי הייצור המביא למינימום את ההוצאה לייצור q0 (כלומר, ) ו-נסמן

מכיוון ש- f מקיימת תע"ל כלומר, ניתן ליצר את q1 באמצעות

צעד חשוב! מכאן ש- ומכאן

תשואה יורדת לגודל טענה: אם f פונקצית ייצור המקיימת תשואה יורדת לגודל אז לכל צירופי גורמי ייצור 0<z=(z1,z2) ולכל λ<1, הוכחה: יהי λ<1. לכן 1/λ>1. מכיוון ש- f מקיימת תשואה יורדת לגודל כלומר, בתרגיל תראו כי תי"ל גורר שההוצאה הממוצעת אינה יורדת, וכי תק"ל גורר שההוצאה הממוצעת הינה קבועה.

הומוגניות ומבנה פונקציית ההוצאות נניח כי פונקציית הייצור הינה הומוגנית מדרגה r. ההוצאה הכוללת במקרה זה (עבור מחירי גורמי ייצור קבועים) ניתנת על ידי TC(q)=Bq1/r כאשר B הינו למעשה ההוצאה לייצור יחידה. לכן כאשר r>1 (תשואה עולה לגודל) ההוצאה הממוצעת והשולית פוחתות. כאשר r<1 (תשואה יורדת לגודל) ההוצאה הממוצעת והשולית עולות. כאשר r=1 (תשואה קבועה לגודל) ההוצאה הממוצעת שווה להוצאה השולית וקבועה.

הוצאות בטווח הקצר והארוך טווח קצר – חלק מגורמי הייצור קבועים טווח ארוך – כל גורמי הייצור משתנים בטווח הקצר ישנן הוצאות שאינן תלויות ברמת התפוקה ונובעות מהחלטות או פעולות שלא ניתן לשנות בטווח הזמן הנתון. תרחישים שונים גוררים טווחים שונים קצר "באמת", קצר, בינוני ...

הוצאות בטווח ארוך וקצר - דוגמה נניח כי בטווח הארוך יש שני גורמי ייצור משתנים. פונקצית הייצור נתונה על ידי: f(z1,z2)=8(z1z2)0.25 מחירי גורמי הייצור נתונים על ידי: w1=w2=4

נזכור כי התנאים המאפיינים ייצור במינימום הוצאות הם: בהינתן פונקציית הייצור שיעור התחלופה הטכנולוגי ניתן על-ידי וניתן לכתוב תנאים אלו כדלקמן:

זאת מערכת של שתי משואות עם שני נעלמים. פתרונה הוא מכאן שפונקצית ההוצאות היא ופונקציות ההוצאות הממוצעת והשולית הן

MC(q) AC(q) 2 1 q 8

הוצאות בטווח ארוך וקצר – דוגמה נניח כי בטווח הקצר z2=16 ואין אפשרות לשנות את הכמות המועסקת מגורם ייצור זה. בעיית מינימום ההוצאות בטווח הקצר הינה:

ולכן פונקצית ההוצאות לטווח הקצר היא פתרון בעיה זו הוא ולכן פונקצית ההוצאות לטווח הקצר היא ופונקציות ההוצאות הממוצעת והשולית לטווח הקצר הן

3.509 24.31

חישוב min SRAC תפוקה והוצאה ממוצעת מינימאלית

הערות העלות של טווח ארוך אינה גדולה מהעלות של טווח קצר: C(w1,w2,q)≤ SRC(w1,w2,q) הסיבה היא שכל צירופי גורמי הייצור שמאפשרים ליצר q בטווח הקצר (ובפרט הצירוף הזול ביותר) גם מאפשרים ליצר q בטווח הארוך .

הערות מאותה הסיבה, העלות הממוצעת של טווח ארוך אינה גדולה מהעלות של טווח קצר: AC(w1,w2,q)≤ SRAC(w1,w2,q) מצד שני, באותה רמת תפוקה בה הרמה הקבועה של גורם הייצור הקבוע בטווח הקצר הינה גם הרמה האופטימאלית של טווח ארוך (בדוגמה שלנו זו רמת התפוקה המקיימת z2(q*)=16, כלומר q*=32), אזי העלויות של טווח קצר וטווח ארוך מתלכדות. ברמת תפוקה זו עקומת ה – SRAC משיקה לעקומת ה – AC.

AC ו-SRAC מתלכדות ב-q=32 מכיוון ש z2*(32)=16. לשתי העקומות שיפוע 1/8 AC ו-SRAC מתלכדות ב-q=32 מכיוון ש z2*(32)=16.

הקשר בין עקומת ההוצאות הממוצעות בטווח הארוך ועקומות ההוצאות הממוצעות של טווח קצר ניתן לחשב את פונקציות ההוצאות לטווח קצר עבור רמות נתונות שונות של גורם ייצור 2. ניתן למשל לחזור על כל החישובים עבור z2=25. במקרה זה נקבל שההשקה לעקומת ההוצאות הממוצעות של טווח ארוך תתקבל ב – q=40. עקומת ההוצאות הממוצעות (בטווח הארוך) מהווה את המעטפת של עקומות ההוצאות הממוצעות לטווח הקצר עבור הרמות השונות של Z2 .

הצגה גראפית של תופעת המעטפת

Jacob Viner, 1892-1970

הוצאות קבועות "ממש" (שקועות) והוצאות קואזי-קבועות (נמנעות) הוצאות קבועות "ממש" קיימות עבור כל רמת תפוקה. הוצאות קואזי קבועות קיימות רק כשמייצרים כמות חיובית ממש. לדוגמה C(q)=q2+10q+40 q>0 C(q)=30 q=0 במקרה זה 30 מהווה הוצאה קבועה, ו – 10 מהווה הוצאה קואזי-קבועה. דוגמאות דמי שכירות ששולמו מראש לעומת רישיון הפעלה אם באמת מייצרים.

הוצאות ורווח כלכליים וחשבונאיים פונקציית ההוצאות בה אנו דנים משקפת הוצאות כלכליות ולא חשבונאיות. עלותה של כל תשומה ניתנת על ידי השימוש האלטרנטיבי הטוב ביותר שהיינו יכולים לעשות בה. במקרה של גורמי ייצור שנקנים בשוק זהו הכסף שהוצאנו עליהם, במקרה של זמן יזם זהו השכר הגבוה ביותר אותו ניתן היה לקבל באלטרנטיבה אחרת, במקרה של שימוש בבניין שבבעלותנו זהו התשלום המקסימאלי שניתן לקבל עבור השכרתו. הרווח שהינו ההפרש בין הפדיון וההוצאות הינו רווח כלכלי שבדרך כלל קטן מהרווח החשבונאי, ובטווח הארוך שואף לרווח (נורמלי) אפס.

יצרן רב - מפעלי נניח כי פירמה המייצרת מוצר מסוים יכולה לבחור אם לייצר אותו במפעל אחד או בשני מפעלים. פונקצית העלות של מפעל i=1,2 ניתנת על ידי: Ci(q). פונקציות אלו "ככל הנראה" התקבלו כתוצאה ממינימיזציה של הוצאות בהינתן מחירים (קבועים) של גורמי ייצור ופונקצית הייצור של מפעל בודד. מהי פונקצית העלות של הפירמה, וכיצד מחליטה הפירמה על מספר המפעלים המייצרים וחלוקת התפוקה ביניהם?

יצרן רב מפעלי פונקצית העלות מתקבלת מפתרון הבעיה:

יצרן רב מפעלי או בניסוח שקול בהנחה שלבעיה זו פתרון פנימי, פתרון זה מקיים

פתרון פנימי MC1(q1) MC2(q2) MC1(q1) MC2(q2) q1 q2 q*1 q*2 q*1+ q*2=q

פתרון פנימי MC1(q1) MC2(q2) MC2(q2) MC1(q1) MC1(q1) MC2(q2) q*1 q*2 q

יצרן רב מפעלי במקרה זה פונקצית העלות של הפירמה היא כאשר

והעלות השולית היא העלות השולית של הפירמה כאשר היא מייצרת q שווה לעלות השולית בכל מפעל כשהוא מייצר את הכמות האופטימאלית שלו.

פתרון פינתי MC1(q1) MC2(q2) MC2(q2) MC2(0) MC1(q) MC1(q) MC1(q1) q*1 q

פתרון פינתי

דוגמה מעניינת נניח שלהקים מפעל עולה F ושלכל מפעל אותה פונקצית עלות (בהנחה שמקימים אותו): Ci(q)=c(q)+F i=1,2,… מהי פונקצית העלות של הפירמה? נניח תחילה שיש שתי אפשרויות: להקים מפעל אחד או להקים שניים.

אם הפירמה מקימה מפעל אחד, עלות הייצור q היא c(q)+F. אם הפירמה מקימה שני מפעלים אז, כפי שראינו, אופטימאלי לייצר q1 ו- q2 כך ש-c’(q1)=c’(q2) ו- q1 + q2 =q . כלומר, אופטימאלי לייצר q/2 בכל מפעל. במקרה זה עלות הייצור היא 2(c(q/2)+F) לכן, הפרמה תקים שני מפעלים אם 2(c(q/2)+F)< c(q)+F

לכן, פונקצית העלות כאשר באפשרותנו להקים 2 מפעלים היא כאשר q* פותר 2(c(q/2)+F) = c(q)+F

העלות השולית היא כאשר q* פותר 2(c(q/2)+F) = c(q)+F

העלות הממוצעת היא או כאשר q* פותר 2(c(q/2)+F) = c(q)+F

AC(q) AC(q,2) AC(q1) q q* q1 2q1

3(c(q/3)+F) <2(c(q/2)+F) נניח עתה שיש שניתן להקים מפעל שלישי. אם הפירמה מקימה שלושה מפעלים אז, כפי שניתן לוודא, אופטימאלי לייצר q1 , q2 ו- q3 כך ש- MC1(q1)=MC2(q2) =MC3(q3) ו- q1+q2+q3 = q . כלומר, אופטימאלי לייצר q/3 בכל מפעל. במקרה זה עלות הייצור היא 3(c(q/3)+F) לכן, הפרמה תקים שלושה מפעלים אם 3(c(q/3)+F) <2(c(q/2)+F)

לכן, פונקצית העלות כאשר באפשרותנו להקים 3 מפעלים היא כאשר q* פותר 2(c(q/2)+F) = c(q)+F ו- q** פותר 3(c(q/3)+F) =2(c(q/2)+F)

העלות השולית היא 2(c(q/2)+F) = c(q)+F כאשר q* פותר ו- q** פותר 3(c(q/3)+F) =2(c(q/2)+F)

העלות הממוצעת היא 2(c(q/2)+F) = c(q)+F כאשר q* פותר ו- q** פותר 3(c(q/3)+F) =2(c(q/2)+F)

AC(q) AC(q,2) AC(q1) AC(q,3) q q* q**

הצגה גראפית של מספר מפעלים – MC בטווח הקצר והארוך 21.09

יצרן רב מפעלי - דוגמה מספרית נניח כי פירמה המייצרת את המוצר q יכולה לבחור אם לייצר אותו במפעל אחד או בשני מפעלים. פונקציית ההוצאות של כל מפעל ניתנת על ידי: C(q)=q2+A q>0 ואפס אחרת. מהי פונקציית ההוצאות של הפירמה, וכיצד מחליטה הפירמה על מספר המפעלים המייצרים וחלוקת התפוקה ביניהם?

יצרן רב מפעלי - דוגמה מספרית עבור כל רמת תפוקה צריכה הפירמה להחליט האם להשתמש במפעל אחד או שניים. במידה ומשתמשים במפעל אחד פונקציית ההוצאות ניתנת על ידי: C(q)=q2+A במידה ומשתמשים בשני מפעלים, פונקציית ההוצאות מתקבלת מפתרון הבעיה: Min C(q1)+C(q2) S.T. q1+q2=q מבעיה זו (אם באמצעות לאגראנג'יאן, או הצבה פשוטה) מתקבל כי יש לחלק את התפוקה בין שני המפעלים באופן שהעלות השולית תהיה זהה בשני המפעלים. מכיוון שהמפעלים זהים יש לכן לייצר כמות שווה בכל מפעל כלומר q1=q2=q/2. פונקציית ההוצאות הינה לכן: (q/2)2+A+(q/2)2+A=q2/2+2A ההחלטה האם להפעיל מפעל אחד או שניים נקבעת על ידי השוואת העלויות בין שני המקרים. כלומר עבור אותן רמות q המקיימות q2/2+2A>q2+A נפעיל מפעל אחד בעוד שעבור רמות q המקיימות את אי השוויון ההפוך נפעיל שני מפעלים.

יצרן רב מפעלי - קביעת מספר המפעלים האופטימאלי נניח כי פונקציית ההוצאות של מפעל בודד היא C(q), והעלות להקמת מפעל היא A. בתחילה נפתור את הבעיה של כמה מפעלים להקים תוך התעלמות ממגבלת השלמים. העלות לייצור q כשיש n מפעלים ניתנת על ידי: nC(q/n)+nA לכן נפתור: Min nC(q/n)+nA n ונקבל, לאחר גזירה לפי n: C(q/n)-(q/n)C’(q/n)+A=0

יצרן רב מפעלי - קביעת מספר המפעלים האופטימאלי כלומר הכמות המיוצרת בכל מפעל (q/n) הינה הכמות בה ההוצאה הממוצעת של המפעל (c(q/n)+A)/(q/n) שווה להוצאה השולית במפעל MC(q/n) ובמילים אחרות, נקים מספר מפעלים כך שכל מפעל ייצר את רמת התפוקה שתביא למינימום את ההוצאה הממוצעת שלו. אם n לא יוצא שלם יש לבדוק באופן בדיד מהו המספר האופטימאלי בין שתי האפשרויות הקרובות לתוצאה שיצאה.

קביעת מספר המפעלים האופטימאלי דוגמה מספרית