ערכים עצמיים בשיטות נומריות

משוואה אופינית X מציין וקטור עצמי מציינת ערך עצמי תואם לוקטור

דוגמא :

המשך הדטרמיננטה של המטריצה צריכה להיות שווה לאפס

חישוב משוואה אופינית על פי הדטרמיננטה

חישוב הוקטורים העצמיים כאשר המטריצה לא רגולרית יש אין סוף אפשרויות וצריך לבחור את אחד הבסיסים למרחב הפתרונות על מנת למצוא את הוקטור המתאים ל = 3 מציבים במטריצה האופינית את הערך העצמי ובודקים איך יראה הוקטור שמכפלתו במטריצה תהיה שווה לאפס

המשך... אז נציב t=1 ונמצא את ולכן כל וקטור מהצורה שבו שני הרכיבים זהים יהווה וקטור עצמי לערך עצמי 3

המשך... אותו תהליך מתבצע לערך עצמי השני 1-

Power Method כדי למצוא את הערך העצמי המקסימאלי אנחנו יכולים להציג כל וקטור כבסיס הנפרש על ידי הוקטורים העצמיים נבצע הכפלה בשני הצדדים במטריצה

Power Method ובגלל ש ונכפיל עוד פעם ועוד פעם

Power Method נניח שהערך העצמי הראשון הוא הגדול ביותר ונוציא אותו מחוץ לסוגריים כאשר k שואף לאינסוף נקבל את הביטוי הבא

Power Method כאשר ננרמל את שני צידי המשוואה בנורמה אין סוף ( בחירת האיבר המקסימאלי בערך מוחלט בווקטור ) אזי

Power Method מכאן נובע שעבור כל וקטור u שנבחר כאשר נעשה את האיטרציה אין סוף פעמים תוך כדי נרמול בנורמה אין סוף אנחנו נשאף לווקטור העצמי שמייצג את הערך העצמי המקסימאלי

Power Method אלגוריתם בחר וקטור x התחלתי כל עוד

דוגמא Consider the follow matrix A Assume an arbitrary vector x 0 = { 1 1 1} T

Example of Power Method Multiply the matrix by the matrix [A] by {x} Normalize the result of the product

Example of Power Method

As you continue to multiple each successive vector = 4 and the vector u k ={1 0 0} T

Power Method יתרונות : תמיד מתכנס חסרונות : מתכנס רק לערך עצמי אחד ( המקסימאלי ) ישנם שיטות לגלות עוד ערכים עצמיים מצריכות הבנה במבנה של המטריצה

Shift Method אם ידוע אחד הערכים העצמיים של A ניתן לגלות לפחות עוד ערך עצמי אחד על ידי טכניקת הזזה

Shift Method ננסה למצוא את הערך העצמי של B לאחר שהורדנו מממטריצה A את הערך העצמי הידוע מהאלכסון עכשיו נפעיל את שיטת power method כדי למצוא את הערך העצמי המקסימאלי של B

לדוגמא : תהי A אותה מטריצה מקודם והערך העצמי שמצאנו 4 ניקח את אותו ניחוש של וקטור x=[1 1 1]

Example of Power Method נכפיל את Ax וננרמל

Example of Power Method לאחר כמה איטרציות נמצא שהערך העצמי הוא 5 - נוסיף את מה שהחסרנו ונקבל את הערך העצמי - 1 של מטריצה A

Inverse Power Method כדי לגלות את הערך העצמי המינימאלי מחשבים את הערך העצמי המקסימאלי של ההופכית של A וההופכי של הערך הנמצא הינו הערך העצמי המינימאלי של A