Chapter 6 線性規劃

2 6.1 緒言 如何在有限的經濟資源下進行最有效的調配與 選用，以求發揮資源的最高效能。此問題愈來 愈受到重視，也就是以最低的代價，獲取最大 的效益。 茲列舉如下： – 決定緊急設備與人員的地點，使反應時間最短化。 – 決定飛機、飛行員、地勤人員的飛航最佳日程安排。 – 發展財務計畫。 – 決定動物飼料的最佳組合。 – 決定最佳食譜計畫。 – 決定最佳生產日程安排。 – 指出最佳工作指派。 – 決定成本最低化的船運計畫。 – 指出工廠的最佳產品組合。

3 上述許多問題為在一些限制式 (constraint) 之下，以一組聯立線性不等式或等式的 方式表示，求線性目標函數 (objective function) 為極大或極小的問題。 線性規劃 (linear programming, LP) 就是數 學家們針對這類問題研究所得的解法。

4 6.2 線性規劃初步 線性規劃是什麼 所謂「線性規劃」簡單的說，就是將決 策上所面臨的問題，以線性的數學式來 加以描述，在線性等式及不等式組的條 件下，使用特定的方法 ─ 線性規劃 ─ 求 得最優解。 線性規劃模型是由四種成分組合而成： (1) 目標； (2) 決策變數； (3) 限制式以及 (4) 參數。

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9 6.4 線性規劃的圖解法 線性規劃圖解法的一般程序如下： – 以數學式建立目標函數與限制式。 – 繪出限制式條件。 – 求出可行解區域。 – 繪出目標函數。 – 求最優解。

求極大值

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求極小值

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代數法

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線性規劃的單體法 單體法簡述 前述圖解法固然是線性規劃一個有力的 解題方法，可惜卻僅適用於二變數。事 實上線性規劃所牽涉變數和限制條件式 都相當多，因此必須使用圖解法之外的 解法，最常見的是單體法 (simplex method) 。

26 方法本身是一反覆的程序 (iterative procedure) ， 直到得出最優解才停止。單體法的步驟對應於 查驗線性規劃可行解凸集合的角點，當變數和 限制條件多時，其角點必然也為數可觀，若要 列出所有角點座標，而後代入目標函數，取其 使目標函數值為極大 ( 或極小 ) 的角點為最優解， 這種方式似不十分可行。單體法的基本原理為 首先選出一組可行解和一判斷準則，判斷目前 的解是否為最優解，若不是，則設法取另一端 點取代現有可行解中一點，使目標函數值增大 ( 或減小 ) ，如此不斷進行，直至得出最優解為 止。

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標準形式 線性規劃問題的可行解可於可行凸集合 的端點找到，這類端點對應於基本可行 解 (basic feasible solution) 。

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單體法的解題程序

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36 1. 起始步驟：構建一組初始可行解，通常為利 用惰變數，假若沒有惰變數或其個數不足， 則可引進人工變數 (artificial variable) ，然後利 用大 M 法 (big M method) 或二階段法 (two- phase method) 解題。 2. 反覆步驟：在本步驟應考量如下三大問題： (1) 進入基底的變數的選取準則為何？ (2) 如何辨認現行基底中那一個變數應退出？ (3) 如何能便利地辨認新基本可行解？ 3. 最優性檢定： – 單體法的整個求解程序如圖 6.13 流程圖所示：

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初始基本解的產生 ( 大 M 法 )

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極小問題的求解

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初始基本解的產生 ( 二階段法 )

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