המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון מבוא למחשבים דר’ ולדיסלב קיפניס  כל הזכויות שמורות המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון 2004

תוכן העניינים אלגברה בוליאנית הפונקציה הלוגית טבלאות אמת השער הלוגי משפט הלוגי פעולות בינאריות פעולות אונאריות תרגילי דוגמה הפונקציה הלוגית הגדרות מאורעות לוגיים פתירת בעיות לוגיות טבלאות אמת טבלאות אמת לדוגמאות SUM OF PRODUCTS PRODUCT OF SUMS השער הלוגי שערים מהפכים שער NOR שער NAND שערים עם מבואות מהפכים מפות קרנו שני משתנים שלושה משתנים ארבעה משתנים פונקציה מינימלית מבוא לאסמבלר הוראות ואוגרים מניעת דו-משמעות דוגמאות הוראות לוגיות מספרים בינאריים, סיביות וביתים מספרים עשרוניים מספרים סיביות, ביתים, מילים העברה משיטת ספירה עשרוני לבינארי ולהיפך חשבון בינארי חיבור חיסור כפל חילוק מספרים מסומנים ומספרים לא-מסומנים, העברה לקוד נוסף אחםון נתונים בזכרון מספרים הקסאדצימליים מעבר מייצוג ההקסאדצימלי לבינארי ולהיפך המרה מעשרוני להקסאדצימלי ייצוג טקסט ייצוג בינארי של אותיות טבלת ASCII מקלדת מספרים מעורבים ייצוג מספר מעורב ייצוג בנקודה קבועה ייצוג בנקודה צפה פעולות חשבון ייצוג צבעים

מספרים בינאריים, סיביות וביתים מספרים עשרוניים משתמשים ב-10 ספרות רגילות: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ערך של הספרות נקבע לפי מיקום במספר. למשל: משמעות המספר העשרוני 5247 היא 7 4 2 5 חזקה - 0 1 3 7  1 4  10 + 2  100 + 5  1000 + 7  100 4  101+ 2  102 + 5  103 + = 5247 3. כל מיקום ממספר מייצג חזקה מתאימה של 10.

מספרים 1 חזקה - 0 2 3 4 1  20 1  21 + 0  22 + 1  23 + 1  24 + 2 + משתמשים בספרות 0 ו-1 בלבד. ערך של הספרות נקבע לפי מיקום במספר. למשל: משמעות המספר הבינארי 11011 היא 1 חזקה - 0 2 3 4 1  20 1  21 + 0  22 + 1  23 + 1  24 + 2 + 0 + 8 + 16 + = 27 3. כל מיקום ממספר מייצג חזקה מתאימה של 2.

סיביות סיבית היא ספרה בינארית (bit - Binary Digit) - יחידת המידע הקטנה ביותר שבה משתמש המחשב. סיבית יכולה להכיל ערך 0 או 1 בלבד. המחשב משתמש בשיטה הבינארית כדי לייצג מספרים גדולים יותר בעזרת סיביות. הסיבה לשימוש בשיטה הבינארית היא פשטות המימוש האלקטרוני והלוגי של שיטה זו - נדרש טיפול בשני מצבים בלבד (שמיוצגים, למשל: יש זרם = 1, אין זרם = 0). ביתים בית (byte) הוא יחידת זכרון מחשב המורכבת מ-8 סיביות. הבית הוא יחידה אטומית של זכרון, כלומר יחידת הזכרון הקטנה ביותר שיש לה כתובת. דירוג 1 2 3 4 5 6 7 8 חזקה מילים מילה (word) היא מחרוזת סיביות המטופלות כיחידה למטרה נתונה. מילה כללת שני ביתים (16 סיביות) או 4 ביתים (32 סיביות) ואפילו יותר. מספרים שאפשר לאכסן במילה אלה מספרים בגודל של 215= 32768 דירוג 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 חזקה הספרה הפחות משמעותית Least Significant Digit (LSD) הספרה הימנית ביותר בבית או במילה בעלת הערך הנמוך ביותר. הספרה המשמעותית ביותר Most Significant Digit (MSD) הספרה השמאלית ביותר בבית או במילה בעלת הערך הגבוה ביותר. 1 הספרה הפחות משמעותית הספרה המשמעותית ביותר

העברה משיטת ספירה עשרוני לבינארי ולהיפך 1) מה האו ערך העשרוני של מספר 10000111? 10000111 = 1  27 + 0  26 + 0  25 + 0  24 + 0  23 + 1  22 + 1  21 + 1  20 = = 128 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 135 2) מה האו ערך הבינארי של מספר 57 ? 1 2 4 8 16 32 64 128 סיביתים המשתמשים סיביתים שלא משתמשים בהם 1) 57 : 32 = 1 1 2 4 8 16 2) 57 – 32 = 25 25 : 16 = 1 1 2 4 8 3) 25 – 16 = 9 9 : 8 = 1 1 2 4 4) 9 – 8 = 1 התשובה היא – 111001 (כמספר בינארי עצמו) או 00111001 (כתוכן הבית). 1

חשבון בינארי חיבור 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 דוגמה 2 : 1101 + 101 דוגמה 1 : 1001 + 1010

דוגמה 3: 1101 + 101 + 111

חיסור 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 10 – 1 = 1 דוגמה 2: 10010 – 101 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 10 – 1 = 1 דוגמה 2: 10010 – 101 דוגמה 1: 11010 – 10101

כפל 0  0 = 0 0  1 = 0 1  0 = 0 1  1 = 1 דוגמה: 1001  101

חילוק דוגמה 1: 11110 : 110 דוגמה 2 : 1100011 : 1001

מספרים מסומנים ומספרים לא-מסומנים שיטת הנשלים ל-2 הסיבית המשמעותי ביותר יכול לקבל ערך 0 וא 1. בספת תכנות צריך המתכנת להחליט אם לייצג מספרים מסומנים או מספרים לא-מסומנים. אם הסיבית המשמעותי קבל ערך 1 המספר עצמו מקבל ערך שלילי, אם הסיבית המשמעותי הוא 0 המספר עצמו מקבל ערך חיובי. דוגמאות: 1) במקרה של מספרים מסומנים ערך של המספר 10110000 (מספר שלילי – הסיבית הסימן הוא1) האו: 1  (-27) + 0  26 + 1  25 + 1  24 + 0  23 + 0  22 + 0  21 + 0  20 = -128+32+16 = - 80 2) במקרה של מספרים מסומנים ערך של המספר 00110000 (מספר חיובי – הסיבית הסימן הוא 0) האו: 0  (-27) + 0  26 + 1  25 + 1  24 + 0  23 + 0  22 + 0  21 + 0  20 = 32 + 16 = 48 3) במקרה של מספרים לא-מסומנים ערך של המספר 10110000 האו: 1  27 + 0  26 + 1  25 + 1  24 + 0  23 + 0  22 + 0  21 + 0  20 = 128 + 32 + 16 = 166 4) במקרה של מספרים לא-מסומנים ערך של המספר 00110000 האו: 0  27 + 0  26 + 1  25 + 1  24 + 0  23 + 0  22 + 0  21 + 0  20 = 32 + 16 = 48 העברה לקוד נוסף לשנות את כל 0 ל- 1 וכל 1 ל- 0. להוסיף 1 למספר שהתקבל. דוגמאות: 1) הייצוג הבינרי של 37 הוא 00100101. הייצוג הבינרי של 37 - הוא 1+ 11011010 = 11011011 2) הייצוג הבינרי של - 2 הוא 11111110 . הייצוג הבינרי של 2 הוא 00000001 + 1 = 00000010. אפשר לייצג את פעולת חיסור למספרים 37 ו-2 על-ידי שתי שיטות: 37 – 2 או 37 + (-2) ובמקום חיסור הבינארי (00100101- 00000010) להשתמש בפועלת חיבור (00100101 + 11111110)

אחםון נתונים בזכרון אחסון במילה: אחסון בבית: עשרוני בינארי +32768 10000000 00000000 -32767 10000001 00000001 … -2 11111111 11111110 -1 11111111 11111111 00000000 00000000 1 00000000 00000001 2 00000000 00000010 +32766 01111111 11111110 +32767 01111111 11111111 עשרוני בינארי -128 10000000 -127 10000001 … -2 11111110 -1 11111111 00000000 1 00000001 2 00000010 +126 01111110 +127 01111111

מספרים הקסאדצימליים ייצוג הקסאדצימלי ייצוג בינארי ייצוג עשרוני 0000 1 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 10 B 1011 11 C 1100 12 D 1101 13 E 1110 14 F 1111 15

למשל: משמעות המספר ההקסאדצימלי 3FA04 הוא: 4 2 1 חזקה – 0 3  164 + F  163 + A  162 + 0  161 + 4  160 15  163 + 10  162 + 196608 + 61440 + 2560 + 0 + = 260612 כדי למנוע בלבול, רושמים את הסיומת H כתוספת למספר הקסאדצימלי, למשל: 12H ( = 18), 21H ( = 33)

מעבר מייצוג ההקסאדצימלי לבינארי ולהיפך 3 F A 4 0011 1111 1010 0000 0100 00111111101000000100 10010011110100101111 1001.0011.1101. 0010 .1111 9 3 D 2 F

המרה מעשרוני להקסאדצימלי מה האו ערך הקסאדצימלי של מספר 1103? 163 = 4096 162 = 256 161=16 160 = 1 1103 : 256 = 4.309 4 161=16 160 = 1 256  4 = 1024 1103 – 1024 = 79 79 : 16 = 4.938 4 160 = 1 16  4 = 64 79 – 64 = 15 4 15 (F) = 44F

ייצוג טקסט ייצוג בינארי של אותיות 8 7 6 5 4 3 2 1 ASCII – American Standard Code for Information Interchange 8 7 6 5 4 3 2 1 בקוד ASCII נקבעו תחילה 7 סיביות לייצוג תו, כך שהתאפשרו 128 סימנים שונים: אותיות (גדולות וקטנות), ספרות, סימני פיסוק ועוד. בקוד ASCII מורחב נוסף עוד סיבית, כך שמתאפשרים 256 סימנים שונים, כולל אותיות עבריות, למשל, ועוד סימנים מיוחדים רבים. תרגיל: חשב את הערך בינארי וההקסאדצימלי לאותיות הבהאות: C – 067 – 001000011 – 43H (דוגמה) O – 079 – 1001111 – 4FH M – 077 – 1001101 – 4DH P – 080 – 1010000 – 50H U – 085 – 1010101 – 55H T – 084 – 1010100 – 54H E – 069 – 1000101 – 45H R – 082 – 1010010 – 52H

טבלת ASCII

מקלדת מקלדת הינה אמצעי קלט (Input) המיועד להזנת נתונים והעברת פקודות למחשב. היא מורכבת מכ- 011מקשים שונים, אשר כל אחד מהם מעביר "קוד מקש" (key code) או "קוד סריקה" (scan code) שונה למחשב. לדוגמא, בשימוש במעבד תמלילים: המשתמש מקליד את האות .A המקלדת שולחת למחשב את הקוד 30 (00011110). התוכנה מפרשת את הקוד הזה כתו 'A', ומציגה אותו על המסך.

מספרים מעורבים ייצוג מספר מעורב N = ± an  mn + … + a3  m3 + a2  m2 + a1  m1 + a0  m0 + a-1  m-1 + a-2  m-2 + … + a-n  m-n שלם שבר m – מנטיסה a –בסיס דוגמה 1: מספר עשרוני -1467.45 ( 1  103 + 4 102 + 6  101 + 7  100 + 4  10-1 + 5  10-2 ) = - (1000 + 400 + 60 + 7 + 0.4 + 0.05) = -1467.45 שלם שבר 1  24 + 0  23 + 1  22 + 0  21 + 0  20 + 1  2 -1 + 0  2-2 + 1  2-3 דוגמה 2: מספר בינארי 10100.101 שלם שבר 2  162 + 4  161 + B  160 + 3  16 -1 + A  16-2 + 7  16-3 דוגמה 3: מספר הקסדצימלי 24B.3A7 שלם שבר

ייצוג בנקודה קבועה

N = ± m  q ± p ייצוג בנקודה צפה מילה 16-סיביות מילה 32-סיביות 2 מילים 32-סיביות (דיוק כפול – double)

-11.1 -0.111·1010 -(1 21 + 1  20 + 1  2-1) מספר בינארי דוגמה : מספר עשרוני -3.5 מספר במצב תקין (normalized) סיבית מוסתר (hidden bit)

(a  rp) + (b  rp) = (a + b)  rp פעולות חשבון חיבור (a  rp) + (b  rp) = (a + b)  rp דוגמה 1: 1001.1 + 1011.01 (0.100110  104) + (0.101101  104 ) = (0.100110 + 0.101101)  104 חיסור (a  rp) - (b  rp) = (a - b)  rp דוגמה 2: 16.34 – 0.067 (0.1634  102) - (0.00067  102 ) = (0.1634 + 0.00067 )  102 כפל (a  rp)  (b  rq) = (a  b)  rp+q דוגמה 3: 1011.1  11.101 (0. 10111  104)  (0.11101  102 ) = (0. 10111  0.11101)  10(4+2) חלוקה (a  rp) / (b  rq) = (a / b)  rp-q דוגמה 4: 216.376 / 1.7 (0.216376  103) / (0.17  101 ) = (0.216376 / 0.17 )  10(3-1)

ייצוג צבעים צבע דוגמה : RGB בהירות = 76 Blue Green Red Red Blue Green Black 1 Cyan Yellow Magenta White 1 1 דוגמה : בהירות = 76 Blue Green Red

אלגברה בוליאנית משפט הלוגי משפט אמתי – TRUE – "1" (אחד לוגי) אם המשפט מתקיים משפט שקרי – FALSE – "0" (אפס לוגי) אם המשפט לא מתקיים .

A · ( B · C ) = B · ( A · C ) = C · ( A · B ) פעולות בינאריות כפל הלוגי A B F = A · B 1 0 · A = 0 1 · A = A A · A = A חילוף A · B = B · A קיבוץ A · ( B · C ) = B · ( A · C ) = C · ( A · B )

A + ( B + C ) = B + ( A + C ) = C + ( A + B ) חיבור הלוגי A B F = A + B 1 0 + A = A 1 + A = 1 A + A = A חילוף A + B = B + A קיבוץ A + ( B + C ) = B + ( A + C ) = C + ( A + B )

ההיפוך והמשלים הלוגיים פעולות אונאריות ההיפוך והמשלים הלוגיים A 1 A + A = 1 A · A = 0 A = A 1 + 1 1 + 0 1 0 + 0 0 + 1 1 · 1 1 · 0 0 · 0 0 · 1 1 A + B = A · B דה מורגן חיבור A · B = A + B דה מורגן כפל

תרגילי דוגמה דוגמה10 : נתון ביטוי לוני (A + B) · (A · B) פתרון: A · B · A + A ·B ·B = 0 + A ·B = A ·B דוגמה8 : נתון ביטוי לוני A · (A + B) פתרון: A · A + A · B 0 + A · B = A · B דוגמה9 : A · (A · B) A · A · B = 0 דוגמה3 : נתון ביטוי לוני 0 · (C · A · B) פתרון: 0 · ( ….) = 0 דוגמה4 : (C · B) · (C · B) (C · B) · (C · B) = C · B דוגמה5 : C + B + C + B C + C + B + B = C + B דוגמה6 : (C +1) · (D + 1) (1) + (1) = 1 דוגמה7 : X · (X + Y) X · X + X · Y = X + X · Y X · (1 + Y) = X · (1) = X דוגמה1 : נתון ביטוי לוני B · (C + A) עבור A = 0, B = 1, C = 0 פתרון: 1 · (0 + 0) = 0 דוגמה2 : (A + B) · (C · B) A = 0, B = 0, C = 1 (0 + 0) · (1 · 0) = (1 + 0) · (1 · 1) = (1) · (1) = (0) · (0) = (1) · (1) = 1 דוגמה11 : נתון ביטוי לוני (A + B) · C + A · (C + 1) + C מצה, עבור אלו ערכים A, B, C הביטוי הוא TRUE פתרון: A · C + B ·C + A · C + A + C = A · C + B ·C + A + C = A ·(C +1) + C ·(B + 1) = A · 1 + C ·1 = A + C הביטוי "אמיתי" עבור A=1 ו-C=1

“3 > 5”, “3 < 5”, “3 > 2”, “3 < 2” הפונקציה הלוגית הגדרות מאורע לוגי – LOGICAL EVENT – מאורע בעל שני ערכים: TRUE ו-FALSE משתנה לוגי – LOGICAL VARIABLE- סימון של מאורע לוגי משתנה בלתי תלוי – INDEPENDANT VARIABLE – משתנה עצמאי, שמקבל את הערך הלוגי 1 או 0 ללא תלות בשאר המשתנים. משתנה תלוי – DEPENDANT VARIABLE – משתנה התלוי במשתנים הבלתי תלויים ביחס מסוים, וכתוצאה מכך הוא מקבל הערך 1 או 0. פונקציה לוגית – LOGICAL FUNCTION -A, B, C …) F = f (. F תיקרא פונקציה לוגית של המשתנים הבלתי תלויים A, B, C . פונקציה "לא" - NOT F = A פונקציה "או" - OR F = A + B פונקציה "גם" - AND F = A · B פונקציה "לא - גם" - NAND F = A · B פונקציה "לא - או" - NOR F = A + B ניתוח משפטים: “3 > 5”, “3 < 5”, “3 > 2”, “3 < 2” 3 > 5 = FALSE NOT 3 > 5 = TRUE 3 < 5 = TRUE NOT 3 < 5 = FALSE 3 < 2 OR 3 > 5 = FALSE 3 > 2 OR 3 > 5 = TRUE 3 < 2 OR 3 < 5 = TRUE 3 > 2 OR 3 < 5 = TRUE 3 < 2 AND 3 > 5 = FALSE 3 > 2 AND 3 > 5 = FALSE 3 < 2 AND 3 < 5 = FALSE 3 > 2 AND 3 < 5 = TRUE NAND 3 < 2 AND 3 > 5 = TRUE NAND 3 > 2 AND 3 > 5 = TRUE NAND 3 < 2 AND 3 < 5 = TRUE NAND 3 > 2 AND 3 < 5 = FALSE NOR 3 < 2 OR 3 > 5 = TRUE NOR 3 > 2 OR 3 > 5 = FALSE NOR 3 < 2 OR 3 < 5 = FALSE NOR 3 > 2 OR 3 < 5 = FALSE

מאורעות לוגיים דוגמה 3 : אנו נשחה בים אם לא יהיה גשום והמים יהיו חמים. מהי הפונקציה הלוגית המקיימת משפט זה? פתרון: נפרק את האת המשפט המורכב לחלקים: אנו נשחה בים – F יהיה גשום – A לא יהיה גשום – A המים יהיו חמים – B מאחר שקיים "ו" החיבור (... והמים ..) לכן הפונקציה היא פונקציה "גם" - AND F = A · B דוגמה 4 : אנו לא נשחה בים אם יהיו גלים וגשם. יהיו גלים – A יהיה גשום – B קיים התנאי "לא" וקיים "ו" החיבור בין משתנה A ובין B ולכן הפונקציה היא "לא – גם" – NAND דוגמה 5 : אנו לא נשחה בים אם יהיו גלים או גשם. קיים התנאי "לא" וקיים "או" החיבור בין משתנה A ובין B ולכן הפונקציה היא "לא – גם" – NOR F = A + B דוגמה1 : אנו נשחה בים אם יהיה יום שמשי והמים יהיו חמים. מהי הפונקציה הלוגית המקיימת משפט זה? פתרון: נפרק את האת המשפט המורכב לחלקים: אנו נשחה בים – F יהיה יום שמשי – A המים יהיו חמים – B מאחר שקיים "ו" החיבור (... והמים ..) לכן הפונקציה היא פונקציה "גם" - AND F = A · B דוגמה2 : ניתן לעבוד על המחשב אם הוא דלוק ויש לו מקלדת או יש לו עכבר. ניתן לעבוד על המחשב – F הוא דלוק A – יש לו מקלדת – B יש לו עכבר– C מאחר שקיים "ו" החיבור בין משתנה לוגי A לשאר לוגי המשתנים (...ויש..) לכן הפונקציה בינהם היא פונקציה "גם" - AND בגלל שמילת הקישור "או" בין משתנים B ו-C לכן הפונקציה בינהם היא פונקציה "או" - OR F = A ·( B + C)

אבי הוא סטודנט - A אבי עובד - B אבי גר באריאל – C דוגמה6 : F = A · B · C אבי הוא סטודנט גם אבי עובד וגם אבי גר באריאל דוגמה7 :F = A + B + C אבי הוא או סטודנט או אבי עובד או אבי גר באריאל דוגמה 8 : F = (A + B) · C אבי הוא או סטודנט או אבי עובד גם אבי גר באריאל דוגמה 9 :F = A · (B + C) אבי הוא סטודנט גם אבי או עובד או גר באריאל דוגמה10 : F = A · B · C אבי הוא לא סטודנט גם אבי עובד וגם אבי גר באריאל דוגמה 11 :F = (A + B) · C אבי הוא או סטודנט או אבי עובד גם אבי לא גר באריאל דוגמה 12 :F = A · (B + C) אבי הוא סטודנט גם זה לא אבי שהוא עובד או גר באריאל דוגמה 13 :F = A · (B + C) אבי הוא סטודנט גם אבי או לא עובד או לא גר באריאל דוגמה 14: F = A · B · C זה לא אבי שהוא סטודנט גם שהוא עובד וגם שהוא גר באריאל דוגמה15 : F = A · B · C אבי הוא לא סטודנט גם אבי לא עובד וגם אבי לא גר באריאל דוגמה 16 :F = (A · B) + C זה לא אבי שהוא לא סטודנט גם לא עובד או אבי גר באריאל

פתירת בעיות לוגיות שלושה אוהדים צופים באליפות העולם. כל אחד מהם נותן תחזית לגבי התוצאות. הראשון אומר שאנגליה תזכה במקום הראשון וגרמניה במקום השני. השני אומר שברזיל תזכה במקום השני וצרפת במקום הרביעי. השלישי אומר שצרפת תזכה במקום השלישי ואנגליה במקום השני. כאשר הסתיימה האליפות התברר שכל אחד מהאוהדים צדק בקשר לתוצאה אחת. באיזה מקומות סיימו אנגליה, צרפת, ברזיל וגרמניה ? פתרון: - A אנגליה, B – ברזיל, G – גרמניה, F – צרפת הראשון אומר: A1 · G2 אז A1 · G2 + A1 · G2 = 1 השני אומר: B2 · F4 אז B2 · F4 + B2 · F4 = 1 השלישי אומר: F3 · A2 אז F3 · A2 + F3 · A2 = 1 (A1G2 + A1G2)(B2F4 + B2F4)(F3A2 + F3A2) = 1 (A1G2 + A1G2)(B2F4F3A2 + B2F4F3A2 + B2F4F3A2 + B2F4F3A2 ) = 1 B2F4F3A2 = 0 B2F4F3A2 = 0 (A1G2 + A1G2)(B2F4F3A2 + B2F4F3A2 ) = 1 A1G2B2F4F3A2 + A1G2B2F4F3A2 + A1G2B2F4F3A2 + A1G2B2F4F3A2 = 1 A1G2B2F4F3A2 = 1 אנגליה סיימה במקום הראשון, גם גרמניה לא סיימה במקום השני, גם ברזיל סיימה במקום השני, גם צרפת לא סיימה במקום הרביעי, גם צרפת סיימה במקום השלישי וגם אנגליה לא סיימה במקום השני. לסיכום, אנגליה סיימה במקום הראשון, ברזיל סיימה במקום השני, צרפת סיימה במקום השלישי וגרמניה סיימה רביעית.

טבלאות אמת טבלת אמת של משתנה אחד A שורה A F 1 שורה A B F 1 2 3 1 שורה A B F 1 2 3 טבלת אמת של שני משתנים A, B שורה A B C F 1 2 3 4 5 6 7 טבלת אמת של שלושה משתנים A, B, C טבלת אמת של n משתנים כללת 2n שורות

טבלאות אמת לדוגמאות דוגמה 3 : אנו נשחה בים אם לא יהיה גשום והמים יהיו חמים. דוגמה1 : אנו נשחה בים אם יהיה יום שמשי והמים יהיו חמים. שורה A B F = A · B 1 2 3 שורה A B F = A · B 1 2 3 דוגמה 4 : אנו נשחה בים אם לא יהיו גלים וגשם. דוגמה2 : ניתן לעבוד על המחשב אם הוא דלוק ויש לו מקלדת או יש לו עכבר. שורה A B F = A · B 1 2 3 שורה A B C F = A ·( B + C) 1 2 3 4 5 6 7 דוגמה 5 : אנו נשחה בים אם לא יהיו גלים או גשם. שורה A B F = A + B 1 2 3

דוגמה 8 :F = (A + B) · C אבי הוא או סטודנט או אבי עובד גם אבי גר באריאל דוגמה6 : F = A · B · C אבי הוא סטודנט גם אבי עובד וגם אבי גר באריאל שורה A B C F = (A + B) · C 1 2 3 4 5 6 7 שורה A B C F = A · B · C 1 2 3 4 5 6 7 דוגמה 9 : F = A · (B + C) אבי הוא סטודנט גם אבי או עובד או גר באריאל דוגמה7 :F = A + B + C אבי הוא או סטודנט או אבי עובד או אבי גר באריאל שורה A B C :F = A · (B + C) 1 2 3 4 5 6 7 שורה A B C F = A + B + C 1 2 3 4 5 6 7

דוגמה 12 : F = A · (B + C) אבי הוא סטודנט גם זה לא אבי שהוא עובד או גר באריאל דוגמה10 : F = A · B · C אבי הוא לא סטודנט גם אבי עובד וגם אבי גר באריאל שורה A B C F = A · (B + C) 1 2 3 4 5 6 7 שורה A B C F = A · B · C 1 2 3 4 5 6 7 דוגמה 13 :F = A · (B + C) אבי הוא סטודנט גם אבי או לא עובד או לא גר באריאל דוגמה 11 :F = (A + B) · C אבי הוא או סטודנט או אבי עובד גם אבי לא גר באריאל שורה A B C F = A · (B + C) 1 2 3 4 5 6 7 שורה A B C F = (A + B) · C 1 2 3 4 5 6 7

דוגמה 16 :F = (A · B) + C זה לא אבי שהוא לא סטודנט גם לא עובד או אבי גר באריאל דוגמה 14: F = A · B · C זה לא אבי שהוא סטודנט גם שהוא עובד וגם שהוא גר באריאל שורה A B C F = (A · B) + C 1 2 3 4 5 6 7 שורה A B C F = A · B · C 1 2 3 4 5 6 7 דוגמה15 : F = A · B · C אבי הוא לא סטודנט גם אבי לא עובד וגם אבי לא גר באריאל שורה A B C F = A · B · C 1 2 3 4 5 6 7

SUM OF PRODUCTS F (A, B, C …) =  (מס' שורות) = (A · B · C …) + (A · B · C …) + (A · B · C …) + … = 1 דוגמה 1 : F(A,B) =  (0,2) שורה A B F(A,B) 1 A · B 2 3 F = (A · B) + (A · B)

PRODUCT OF SUMS F (A, B, C …) =  (מס' שורות) = (A + B + C …) · (A + B + C …) · (A + B + C …) · … = 0 דוגמה 2 : F(A,B,C) =  (1,3,5) שורה A B C F(A,B,C) 1 A + B + C 2 3 4 5 6 7 F = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C)

דוגמה 3 : F(A,B) =  (0,1,3) שורה A B F(A,B) A · B 1 2 3 F = (A · B) + (A · B) + (A · B) דוגמה 4 : F(A,B,C) =  (1,4,5,7) שורה A B C F(A,B,C) 1 A · B · C 2 3 4 5 6 7 F= (A · B · C) + (A · B · C) + (A · B · C) + (A · B · C)

דוגמה 5 : F(A,B) =  (0,1,3) שורה A B F(A,B) A + B 1 2 3 F = (A + B) · (A + B) · (A + B) דוגמה 6 : F(A,B,C) =  (1,4,5,7) שורה A B C F(A,B,C) 1 A+ B + C 2 3 4 A + B + C 5 6 7 F= (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C)

השער הלוגי השער הלוגי מבואות יציאה שער "גם" – AND GATE A INPUTS OUTPUT B F C שער "גם" – AND GATE A F B שורה A B F = A · B 1 2 3 A B מעגל חשמלי חיבור טורי

שער "או" – OR GATE שער "לא" – NOT GATE A F A F B שורה A B F = A + B 1 1 2 3 שורה A F = A 1 A A B מעגל חשמלי חיבור מקביל מעגל חשמלי

שער " לא - או" – NOR GATE שער "לא - גם" – NAND GATE A A F F B B שורה A F = A + B 1 2 3 שורה A B F = A · B 1 2 3 A A B B

שער "או מתבדל" – XOR GATE A F B שורה A B F = A B 1 2 3 A B A B

A דוגמה1 : F = A · B ·C B F C A B דוגמה2 : F = (A · B) ·C C F A דוגמה3 : F = (A · B) + (C · D) B F C D דוגמה4 : F = A ·(B + (C · D)) A F B C D A C B F דוגמה5 : F = (A · B) · (A · C)

דוגמה6 : F(A,B,C) =  (2,3,5) שורה A B C F(A,B,C) 1 2 A · B · C 3 4 5 6 7 F = A · B · C + A · B · C + A · B · C A B C F

שערים מהפכים שער NOR A · B = A + B A + B = A · B A · A = A A + A = A NOT F = A = A + A A A + A = A A F A OR F = A + B = A + B A + B A A + B F B AND F = A · B = A · B = A + B A A A + B שער NOR F B B A NAND F = A · B = A · B = A + B A A + B A + B F B B

דוגמה1 : יישום בעזרת שערי NOR בלבד F = A + B + C פתרון A + B + C A + B + C NOT A = A + A NOT C = C + C OR A + B + C = A + B + C NOT A OR A A + B + C B F = A + B + C NOT C C

דוגמה 2 : יישום בעזרת שערי NOR בלבד F = A · (B + C) פתרון A + (B + C) A · (B + C) (B + C) = D AND A · D = A · D = A + D NOR B + C A AND NOR B F = A + (B + C) C (B + C)

דוגמה3 : יישום בעזרת שערי NOR בלבד F = (A · B) + C פתרון (A + B) + C (A + B) + C (A · B) + C (A · B) + C NAND A · B = A · B = A + B OR D + C = D + C (A · B) = D NAND OR A A A + B (A + B) (A + B) + C (A + B) + C B B C

דוגמה4 : יישום בעזרת שערי NOR בלבד F = (A · B) + C פתרון (A + B) + C (A · B) + C (A · B) + C AND A · B = A · B = A + B NOR D + C (A · B) = D AND NOR A A (A + B) (A + B) + C = (A · B) + C B B C

דוגמה5 : יישום בעזרת שערי NOR בלבד F = (A · B) · C (A + B) + C (A · B) + C (A · B) · C NAND A · B = A · B = A + B NAND D · C = D · C = D + C (A · B) = D NAND A (A + B) A (A · B) NAND B (A · B) + C (A · B) + C B C C

שער NAND NOT A A · A = A F = A = A · A A F A A AND A · B A · B F = A · B = A · B A · B A · B A F B OR F = A + B = A + B = A · B A A A · B F B B NOR F = A + B = A + B = A · B A A A · B A · B F B B

דוגמה1 : יישום בעזרת שערי NAND בלבד F = A + B + C פתרון A · B · C A + B + C NOT B = B · B OR A + B + C = A · B · C A NAND NOT A · B · C B C

דוגמה2 : יישום בעזרת שערי NAND בלבד F = A · (B + C) פתרון A + (B + C) A · (B + C) NOT A = A · A OR B · C AND A · D = A · D (B + C) = D NOT A A AND B B A · (B · C) A · (B · C) B · C C C OR

דוגמה3 : יישום בעזרת שערי NAND בלבד F = (A · B) + C פתרון (A · B) · C (A · B) + C NAND A · B OR (A · B) = D D · C NAND A · B OR A A · B B (A ·B) ·C C C

דוגמה4 : יישום בעזרת שערי NAND בלבד F = (A · B) + C פתרון (A ·B) ·C (A ·B) ·C (A · B) + C NOR D + C (A · B) = D NOR (A ·B) ·C A A · B (A ·B) ·C B C C

דוגמה11 : יישום בעזרת שערי NAND בלבד F = (A · B) · C פתרון (A ·B) ·C (A · B) · C (A · B) · C AND A · B NAND D · C (A · B) = D AND NAND A A · B A · B B (A · B) · C C

שערים עם מבואות מהפכים שער "לא" – NOT GATE שער "גם" – AND GATE F = A שער "גם" – AND GATE A F = A · B B שער "או" – OR GATE A F = A + B B שער " לא - או" – NOR GATE A F = A + B B שער "לא - גם" – NAND GATE A F = A · B B

דוגמה1 : יישום בעזרת שערי NAND עם מבואות מהפוכים F = A · (B + C) פתרון A · (B · C) A · (B + C) A · (B + C) (B + C) = D AND A · D OR B + C NAND B · C A · (B + C) A B C B · C = B + C NAND AND

מפות קרנו שני משתנים A A AB AB B 00 10 AB AB B 01 11 A A 2 1 3 AB AB B 00 10 AB AB B 01 11 A A 2 1 3 AB AB שורה A B F(A,B) 1 2 A · B 3 דוגמה 1: F (A,B)=(2,3) F = A · B + A · B = 1 F = A · (B + B) = 1 F = A · 1 = 1 F = A B 00 10 AB AB B 01 11

A A AB AB דוגמה 2: F (A,B)=(1,3) F = A · B + A · B = 1 2 1 3 AB AB שורה A B F(A,B) 1 A · B 2 3 דוגמה 2: F (A,B)=(1,3) F = A · B + A · B = 1 F = B · (A + A) = 1 F = B · 1 = 1 F = B B 00 10 AB AB B 01 11 A A 2 1 3 שורה A B F(A,B) 1 A · B 2 3 דוגמה 3: F (A,B)=(0,3) A · B = 1 F = A · B + A · B AB AB B 00 10 AB AB B 01 11

דוגמה 4: F (A,B) = A · B A A AB AB B 00 10 AB AB B 01 11 2 1 3 AB AB B 00 10 AB AB B 01 11 דוגמה 5: F (A,B) = B + A · B A A 2 1 3 AB AB שורה A B F(A,B) 1 A · B 2 3 B 00 10 AB AB B 01 11

שלושה משתנים A A A A ABC ABC ABC ABC C 000 010 110 100 ABC ABC ABC C 2 6 4 1 3 7 5 ABC ABC ABC ABC C 000 010 110 100 ABC ABC ABC C ABC 001 011 111 101 B B B B דוגמה 1: F (A,B,C)=(2,3,6,7) שורה A B C F(A,B,C) 1 2 ABC 3 4 5 6 7 A A A A 2 6 4 1 3 7 5 ABC ABC ABC ABC C 000 010 110 100 C ABC ABC ABC ABC 001 011 111 101 B B B B F= (A · B · C) + (A · B · C) + (A · B · C) + (A · B · C) = 1 F = B · (A · C + A · C + A · C + A · C) = 1 F = B ·((A · C + A · C ) + (A · C + A · C)) = 1 F = B · ( A · (C + C) + A · (C + C)) = 1 F = B · ( A · 1 + A · 1) = 1 F = B · (1 + 1) = B · 1 = B

דוגמה 3: F (A,B,C)= A · C + A · C F = (0,2,5,7) ABC ABC ABC ABC C 000 2 6 4 1 3 7 5 שורה A B C F(A,B,C) 1 2 3 4 5 6 ABC 7 ABC ABC ABC ABC C 000 010 110 100 C ABC ABC ABC ABC 001 011 111 101 B B B B F = (A · B · C) + (A · B · C) = 1 F = (A · B) · (C + C) = 1 F = (A · B) · 1 = 1 F = (A · B) A A A A דוגמה 3: F (A,B,C)= A · C + A · C F = (0,2,5,7) 2 6 4 1 3 7 5 ABC ABC ABC ABC C 000 010 110 100 ABC ABC C ABC ABC 001 011 111 101 B B B B

דוגמה 4: F (A,B,C)= A · B + B · C + A · C F = (0,1,2,5,6,7) ABC ABC 2 6 4 1 3 7 5 ABC ABC ABC ABC C 000 010 110 100 C ABC ABC ABC ABC 001 011 111 101 B B B B A A A A 2 6 4 1 3 7 5 דוגמה 5: F (A,B,C)= ABC + BC + AC + AB + ABC F = (0,1,2,5,6,7) ABC ABC ABC ABC C 000 010 110 100 C ABC ABC ABC ABC 001 011 111 101 B B B B

דוגמה 6: F (A,B,C)= ABC + ABC F = AC F = (1,3) ABC ABC ABC ABC C 000 2 6 4 1 3 7 5 ABC ABC ABC ABC C 000 010 110 100 ABC ABC ABC C ABC 001 011 111 101 B B B B

8 1 4 12 8 9 3 11 2 6 14 10 2 10 ארבעה משתנים A A A A C ABCD ABCD ABCD 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0000 0100 1100 1000 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0001 0101 1101 1001 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0011 0111 1111 1011 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0010 0110 1110 1010 B B B B קבוצה שלמה - D קבוצה שלמה - В 8 1 4 12 8 9 3 11 2 6 14 10 2 10

צריך למצוא משתנים, שמופיעים בכל תא עם אותו ערך (1 או 0) דוגמה 1: F (A,B,C,D)= (1,3,5,7,9,11,13,15) F = D A A A A 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0000 0100 1100 1000 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0001 0101 1101 1001 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0011 0111 1111 1011 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0010 0110 1110 1010 B B B B פתרון: מספר תאים מסומנים - 8 צריך למצוא משתנים, שמופיעים בכל תא עם אותו ערך (1 או 0) משתנה D נמצה בכל 8 תאים עם ערך 1 F = D

צריך למצוא משתנים, שמופיעים בכל תא עם אותו ערך (1 או 0) דוגמה 2: F (A,B,C,D)= (2,3,10,11) A A A A 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0000 0100 1100 1000 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0001 0101 1101 1001 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0011 0111 1111 1011 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0010 0110 1110 1010 B B B B פתרון: מספר תאים מסומנים - 4 צריך למצוא משתנים, שמופיעים בכל תא עם אותו ערך (1 או 0) משתנה C נמצה בכל 4 תאים עם ערך 1 משתנה B נמצה בכל 4 תאים עם ערך 0 (B) F = C · B

צריך למצוא משתנים, שמופיעים בכל תא עם אותו ערך (1 או 0) דוגמה 3: F (A,B,C,D)= (0,1,2,3,4,5) A A A A 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0000 0100 1100 1000 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0001 0101 1101 1001 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0011 0111 1111 1011 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0010 0110 1110 1010 B B B B פתרון: מספר תאים מסומנים - 6 צריך למצוא משתנים, שמופיעים בכל תא עם אותו ערך (1 או 0) משתניםAB נמצאים ב- 4 תאים (0,1,2,3) עם ערך 0 - AB משתניםABC נמצאים ב- 2 תאים (4,5) עם אותם ערכים - ABC F = AB + ABC

דוגמה 4: F (A,B,C,D)= D + ABCD +ABCD F = (0,1,3,5,7,9,11,12,13,15) 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0000 0100 1100 1000 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0001 0101 1101 1001 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0011 0111 1111 1011 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0010 0110 1110 1010 B B B B

דוגמה 5: F (A,B,C,D)= BD + ABCD F = (0,1,3,5,7,9,11,12,13,15) 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0000 0100 1100 1000 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0001 0101 1101 1001 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0011 0111 1111 1011 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0010 0110 1110 1010 B B B B

פונקציה מינימלית דוגמה 1: F = ABC + ABC + ACD + ABCD A A A A C ABCD 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0000 0100 1100 1000 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0001 0101 1101 1001 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0011 0111 1111 1011 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0010 0110 1110 1010 B B B B פתרון: בוחרים קבוצה בעלת מספר תאים גדול ככל האפשר – 0,4 בקבוצה זו המשתנים "הקבועים" הם ACD בקבוצה 4,5 המשתנים "הקבועים" הם ABC בקבוצה 2,3 משתנים "הקבועים" הם ABC F = ABC + ACD + ABC

דוגמה 2: נתון מעגל לוגי. A C B F D A B C D ABD פתרון: A ACD ACD + ABC F = (ABD) + (ACD) + (ABC) + (A + BD) C B ABC A+(BD) BD

F = (ABD) + (ACD) + (ABC) + (A + BD) (A + BD) = ABD 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0000 0100 1100 1000 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0001 0101 1101 1001 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0011 0111 1111 1011 C ABCD ABCD ABCD ABCD D 0010 0110 1110 1010 B B B B קבוצה 1,3,5,7 – AD קבוצה 5,7,13,15 – BD קבוצה 2.3– ABC F = AD + BD + ABC

A B C D F = AD + BD + ABC F מענל צומצם מ-10 שערים ל-6 שערים A B C D BD A AD F B ABC

מבוא לאסמבלר הוראות ואוגרים מניעת דו-משמעות AX, BX, CX, DX MOV AX, 3 MOV BX, 10 ADD AX, BX MOV CX, AX INC CX DEC AX MUL BX SUB BX, AX נשתמש ב-4 אוגרים: הכנס מספר 3 לאגר AX הכנס מספר 10 לאגר BX חבר תוכנו של BX לתוכנו של AX העתק את תוכן של AX לאוגר CX הוסף 1 לתוכנו של אוגר CX הפחת 1 מתוכנו של AX כפול את המספר שב-BX במספר שב-AX חסר את המספר שב-AX מ-BX מניעת דו-משמעות MOV AX, 26 - ? MOV AX, 26D MOV AX, 26H = MOV AX, 38D MOV AX, 101 - ? MOV AX, 101B MOV AX, 101B = MOV AX, 5D

דוגמה 1: מה יהיה תוכן האוגרים AX, BX, CX, DX לאחר ביצוע כל אחד מקטעי התכניות ? MOV CX,3 ? 3 ADD CX,5 8 MOV BX,CX INC BX 9 MOV AX;BX MOV DX,CX דוגמה 2: מה יהיה תוכן האוגרים AX, BX, CX, DX לאחר ביצוע כל אחד מקטעי התכניות ? AX BX CX DX MOV DX,8 ? 8 MOV AX,9 9 SUB DX,4 4 MUL DX 36 MOV CX,DX INC CX 1 SUB CX,1 MOV BX,CX DEC AX 35

דוגמה 3: כתוב תכנית שתבצע חיבור של 7 עם 1, תכפיל את המספר ב-5, תפחית 6 מהמכפלה ותאחסן את ההפרש באוגר CX. בסיום צריך האוגר CX להכיל את ערך הביטוי 5*(7+1)-6 MOV AX,7 ADD AX,1 MOV BX,5 MUL BX SUB AX,6 MOV CX,AX דוגמה 4: הכל האוגר DX עם ערך הביטוי 15H + 7H*14H – 16H MOV AX,7H MUL 14H ADD AX,15H SUB AX, 16H MOV DX,AX דוגמה 5: מה יהיה תוכן האוגרים AX, BX, CX לאחר ביצוע כל אחד מקטעי התכניות ? AX BX CX DX MOV CX,0 3 4 ? ADD CX,AX DEC BX 6 2 9 1 12 MOV AX, 0

דוגמה 6: מה יהיה תוכן האוגרים AX, BX, CX, DX לאחר ביצוע כל אחד מקטעי התכניות ? MOV CX,10B 00100010 00000011 00000010 ? ADD CX,AX 00100100 MUL BX 01100110 00000000 10001010 MOV BX,11B 100000111 11101100 DEC BX ADD CX,BX 11101110 MOV DX, CX

הוראות לוגיות AND אופראנד 2 אופראנד 1 AND CX,BX F = A · B 1 AND אופראנד 2 אופראנד 1 AND CX,BX CX = 0000 0000 0011 0111 BX = 0000 0000 0000 1111 CX =0000 0000 0000 0111 AND AX,BX AX = 0000 1010 1110 0011 BX = 1001 1000 0010 0001 AX = 0000 1000 0010 0001 A B F = A + B 1 OR אופראנד 2 אופראנד 1 OR CX,BX CX = 0000 0000 0011 0111 BX = 0000 0000 0000 1111 CX =0000 0000 0011 1111 OR AX,BX AX = 0000 1010 1110 0011 BX = 1001 1000 0010 0001 AX = 1001 1010 1110 0011

A NOT אופראנד XOR אופראנד 2 אופראנד 1 1 NOT אופראנד NOT BX BX = 1011 0000 1101 0111 BX = 0100 1111 0010 1000 NOT AX AX = 0000 1010 1110 0011 AX = 1111 0111 1101 1100 A B F = A B 1 XOR אופראנד 2 אופראנד 1 XOR CX,BX CX = 0000 0000 0011 0111 BX = 0000 0000 0000 1111 CX =0000 0000 0011 1000 XOR AX,BX AX = 0000 1010 1110 0011 BX = 1001 1000 0010 0001 AX = 1001 0010 1100 0010

דוגמה AX BX MOV AX, 0001110001110001B 0001 1100 0111 0001B ? MOV BX, 1110001110001111B 1110 0011 1000 1111B AND AX,BX 0000 0000 0000 0001B NOT AX 1111 1111 1111 1110B OR AX, BX 1111 1111 1111 1111B NOT BX 0001 1100 0111 0000B AND BX,AX XOR AX, BX 0000 1100 0111 0000B