: Expect the Expected ★★★★☆ 題組： Contest Archive with Online Judge 題號： 11427: Expect the Expected 解題者：李重儀 解題日期： 2008 年 9 月 21 日 題意：玩一種遊戲 (a game of solitaire) ，成功的機率是 p 失 敗機率是 (1-p) 。每天玩這個遊戲至少一次，直到你當天 贏的次數比率大於 p 才停止。但是有個限制是一天最多只 能玩 n 次。這樣子一直玩直到有一天無法 ( 在 n 次內 ) 達到贏 的次數比率大於 p ，總共玩的天數 ( 包括最後一天 ) 的期望 值是多少？ 測資限制： 1<=N<=3000 0<=p<1 1<=n<=100 有 N 個 test case ， p 會以分數形式輸入，分母最大到 1000

2 題意範例： Sample Input:Output for Sample Input: 4  N 值 Case #1: 2  最後的輸出要無條件捨去到整數 1/2 1  p 值及 n 值 Case #2: 2 1/2 2  第二組測資 Case #3: 1 0/1 10Case #4: 2 1/2 3 解法： DP 加公式解 首先要先利用 DP 求出一天中可以達到要求 ( 贏的次數的比率大於 p) 的機率。 令 f(m,k): 假設一天中可以玩的次數不限，在一天中有玩到第 m 次而且贏 k 次 的機率 (m>=1,k>=0,k =2,k>0: 簡單來說，就是要能玩到第 m 次而贏 k 次有兩種情形 : 1. 玩到第 (m-1) 次而且贏 (k-1) 次並且沒滿足可以結束的條件，然後玩第 m 次 贏了。 2. 玩到第 (m-1) 次而且贏 k 次並且沒滿足可以結束的條件，然後玩第 m 次輸了。 另外 f(m,0)=(1-p)f(m-1,0) for m>=2 。 而很明顯的 f(1,0)=1-p f(1,1)=p 。

3 解法： DP 加公式解 利用 f(m,k) 的遞迴關係來使用 DP ，做到 m=n+1 即 可。可以得到一天中無法達到要求 ( 在 n 次內 ) 的機 率為 ( 可以達到要求的機率為 q) 因為如果一天中可玩的次數不限，那只要玩到第 (n+1) 次就表示在第 n 次以內無法完成要求。 然後可以知道所要的期望值為 故最後就輸出 1/(1-q) 無條件捨去到整數的值即可 解法範例：無

4 討論： 另一種得到在一天內可以達成要求的機率 q 的方法為將所有結束的情形 ( 剛好達到一天 內贏的比率大於 p) 的機率 (f(m,k) 的值 ) 加起 來。