Tower of Hanoi Complexity of solutions of interesting variants of the known game

Joint work with Prof. Daniel Berend CS, BGU

The known game Three sticks (pegs, posts) n (64?) disks, different diameters No disk can be on top of a smaller one Well known initial and final configurations (regular conf.)

Some pictures

הכללים בכל מהלך מזיזים בדיוק טבעת אחת היא חייבת להיות עליונה באף שלב טבעת לא תהיה מונחת על קטנה ממנה (מצבים חוקיים – regular configurations)

הגרסה הידועה Tower(N,src,dest,aux) If |N| ≥ 1 –Tower(N-{|N|},src,aux,dest) –Put({|N|},src,dest) –Tower(N-{|N|},aux,dest,src) Time analysis –a n = 2a n –a 1 = 1 –  a n = 2 n – 1 Best possible

What is it good for? Limited budget research –3 research tools; 3  9.99 Other reasons –Fun –Teaching recursion in programming –Next?

גרסאות עיקריות גרסא מקורית עמודים... גדולה על קטנה Minsker גישה Scorer Stockmeyer התחלה וסיום Er צבעים Minsker קשירות לא חזקה Leiss

שאלות לכל גרסה פתרון כלשהוא פתרון רקורסיבי מול איטרטיבי מול מקבילי זמן ריצה

נושאי השיחה הקדמה המקרה הקלאסי: חסמי מלעיל ומלרע מגבלות גישה בין העמודים דרך פתרון: דוגמא עם מסילה דוגמא מורכבת: Cyclic++ אלגוריתם אחיד

נושאי השיחה הקדמה המקרה הקלאסי: חסמי מלעיל ומלרע מגבלות גישה בין העמודים –מיהם המקרים האפשריים? –כיצד לתאר גרסה? –כיצד לתאר פתרון? –תנאי הכרחי ומספיק לפתרון דרך פתרון: דוגמא עם מסילה דוגמא מורכבת: Cyclic++ האלגוריתם האחיד

Graphs for 3 pegs מעגלי Cyclic Cyclic++ Complete-- שלםComplete מסילהPath

תנאי הכרחי ומספיק G ק.ח.  G (n) ק.ח. גרף מצבים

נושאי השיחה הקדמה המקרה הקלאסי: חסמי מלעיל ומלרע מגבלות גישה בין העמודים דרך פתרון: דוגמא עם מסילה –בעיות וסימטריה –נוסחאות נסיגה –פתרון מערכת נוסחאות –פתרון מדוקדק דוגמא מורכבת: Cyclic++ האלגוריתם האחיד

מסילה נוסחאות נסיגה –a n = a n-1 + b n –b n = 3b n-1 + 2

נושאי השיחה הקדמה המקרה הקלאסי: חסמי מלעיל ומלרע מגבלות גישה בין העמודים דרך פתרון: דוגמא עם מסילה דוגמא מורכבת: Cyclic++ –נוסחאות נסיגה –שקילות מענינת –פתרון מערכת נוסחאות האלגוריתם האחיד

פעולות –T 12,{n}  T 13,{n-1} T 12,n T 32,{n-1} –T 13,{n}  T 13,{n-1} T 12,n T 31,{n-1} T 23,n T 13,{n-1} –T 21,{n}  T 23,{n-1} T 21,n T 31,{n-1} –T 23,{n}  T 21,{n-1} T 23,n T 13,{n-1} –T 31,{n}  T 32,{n-1} T 31,n T 21,{n-1} –T 32,{n}  T 32,{n-1} T 31,n T 23,{n-1} T 21,n T 32,{n-1} Cyclic++

נוסחאות נסיגה –a n = 2b n –b n = 2b n-1 + d n –c n = 2d n –d n = b n-1 + c n Cyclic++

לדוגמא:

נושאי השיחה הקדמה המקרה הקלאסי: חסמי מלעיל ומלרע מגבלות גישה בין העמודים דרך פתרון: דוגמא עם מסילה דוגמא מורכבת: Cyclic++ האלגוריתם האחיד –הצגה –נכונות –אופטימליות

פתרון עבור 3 עמודים If n  1 האלגוריתם –If (src,dest)  E(G) Move the smallest n-1 disks from src to aux Move disk number n from src to dest Move the n-1 disks from aux to dest –Else Move the smallest n-1 disks from src to dest Move disk number n from src to aux Move the n-1 disks from dest to src Move disk number n from aux to dest Move the n-1 disks from src to dest נכונות אופטימליות

דוגמת ריצה העברה מ-א ל-ב ג בא

דוגמת ריצה העברה מ-ב ל-א ג בא