授課內容： 政治大學財政所與東亞所選修 課程名稱：應用計量分析--中國財政研究 授課老師：黃智聰 時間序列模型之應用 參考書目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2009), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期：2014年5月12日

大綱 時間序列模型之平穩性 (stationarity) 多變量時間序列模型 常用之判定方法：單根檢定 向量自我迴歸模型 (VAR) Augmented Dickey-Fuller test Philips-Perron test 多變量時間序列模型 向量自我迴歸模型 (VAR) 共整合模型 (Cointegration) 向量誤差修正模型 (VECM) 自我迴歸分布落後期模型 (ARDL)

時間序列資料之平穩性(stationarity) 若 et 為一圍繞在零附近的一個隨機變數，變異數為固定，且具有本期的資料與前期資料無關的特性，也就是 E(εt， εs)=0 (t≠s) ，這樣的數列，我們一般將它稱為白噪音(white noise)。 －et t et et-1

時間序列資料之平穩性(stationarity) 任一時間序列模型均可由一組獨立同分配(iid)的白噪音{et}t=1,2,…,∞以線性組合而成 則 yt 的變異數γ0 = Var(yt) = E(yt，yt) 若當 時，則yt 即為一平穩的時間序列

時間序列資料之平穩性(stationarity) 穩定 不穩定

時間序列資料之平穩性(stationarity) 當 t→∞ 時， Var( yt ) →∞ 不平穩的時間序列

如何檢定時間序列資料之平穩性？ 單根檢定 unit roots test 若β0=1γ=0，代表時間序列具有單根，亦即為非穩定數列，因此只需估計最後一式迴歸式，並檢定γ=0？即可，虛無假設為 H0：γ=0 (有單根，亦即數列不穩定) (令 γ = β0-1)

如何檢定時間序列資料之平穩性？ 實務上，有時需考慮Δyt有無漂移項，或有無時間趨勢，另外，Δyt 亦有可能存在自我相關，因此檢定式考慮如下：

不同的單根數列 yt- = yt-1 + et White noise yt =0.2+yt-1 + et yt =0.2+0.05t+ yt-1 + et

Enders (2004), Applied Econometric Time Series 2nd，p.213. 單根檢定之步驟 γ=0 ? α2=0 ? 沒有單根，穩定 Yes No 有單根，不穩定 α0=0 ? Enders (2004), Applied Econometric Time Series 2nd，p.213.

單根檢定實例 消費者物價指數 (CPI) (taiwan_var_data.wf1) 1981M01~2007M06

單根檢定操作步驟—以ADF test 為例 步驟1：在Eviews指令列中輸入 uroot cpi 在 test type中選擇ADF test Test for Unit root in選擇 「Level」，代表檢定未差分的數列。 Include in test equation選擇 「Trend & intercept」，代表先估計包含漂移項及趨勢項的檢定式。

單根檢定操作步驟—以ADF test 為例 「Lag length」中選擇「Schwarz Info. Criterion」代表以SIC做為選擇最適落後期數的準則。Maximum lags輸入16，代表最大測試落後期。(Eviews 4.0 版以上，在執行 uroot test時，系統會自動為使用者測試最佳落後期數。)

單根檢定操作步驟—以ADF test 為例 右側的估計結果可發現第一階段的檢定結果為不拒絕虛無假設，因此代表可能有單根。 檢查估計方程式中是否應有趨勢項。由估計結果下方可以發現@TREND的估計結果為不顯著，因此在估計方程式中不應有趨勢項。

單根檢定操作步驟—以ADF test 為例 步驟2： 點選估計結果視窗的「View」「Unit Root Test」，在設定視窗中，將Include in test equation選擇「Intercept」，點選「OK」。

單根檢定操作步驟—以ADF test 為例 從估計結果發現單根檢定結果仍為不拒絕虛無假設，代表仍然可能存在單根。 檢定估計方程式中是否應包含漂移項，由估計結果下方可以發現，漂移項項係數不顯著，表示估計方程式中不應有漂移項。

單根檢定操作步驟—以ADF test 為例 步驟3： 點選估計結果視窗的「View」「Unit Root Test」，在設定視窗中，將Include in test equation選擇「None」，點選「OK」。

單根檢定操作步驟—以ADF test 為例 檢查估計式之檢定結果，仍不拒絕虛無假設，則此時代表CPI數列存在單根，亦即CPI數列為非定態數列。

如何處理不平穩的時間序列資料？ 常用的平穩化方法 若變數經過 1 次平穩化後可成為穩態數列，則稱之為I(1) 數列。 差分 取變動率 (物價上漲率) 若變數經過 1 次平穩化後可成為穩態數列，則稱之為I(1) 數列。

平穩化階次 一般總體經濟時間序列資料多為 I(1)變數，亦即經過一階差分後即可成為穩定數列，欲判定變數的階次，可在變數差分後再依前述步驟重覆進行uroot test。 如下所示，CPI數列在經過一階差分後，單根檢定便拒絕虛無假設，亦即經一階差分後即成定態數列，因此我們可稱CPI為 I(1) 數列。

平穩化階次

VAR模型定義 向量自我迴歸模型Vector Autoregressions (VAR) model 考慮變數為自身落後項以及其他變數落後項的函數 多變數VAR與單變數AR模型最大的不同處在於，VAR模型考慮了體系內變數的動態交互行為 假設VAR的落後期數為1期，稱之為 VAR(1)。以一個三變量的 VAR(1) 為例，

向量自迴歸模型重要目的 描繪總體經濟時間序列之動態變化 預測總體經濟時間序列 刻劃總體經濟時間序列之因果結構 總體經濟政策分析

VAR模型範例 理論：經濟體系中，政府經常利用短期利率作為貨幣政策工具之一，透過短期利率的調整來控制失業率及通貨膨脹率。(taiwan_var_data.wf1) 期間：1981M01~2007M06 變數： 物價上漲率(pi)、失業率(due) 、短期利率(r)

VAR模型範例

VAR模型Eviews操作步驟 步驟1：確認VAR系統中之變數是否均為定態變數

VAR模型Eviews操作步驟 步驟2：建立VAR模型 在workfile中，將變數pi、due、r 選取，點右鍵，選擇「open」「as VAR」 選擇unrestricted VAR，並將落後期數改為 1 1 (1空格1：代表落後期數由第1期至第1期)，點選確定。

VAR模型Eviews操作步驟

VAR模型Eviews操作步驟 右側為三變量VAR(1)模型估計結果。 右則三個迴歸式看似為聯立方程式，但事實上整個VAR就是近似無關迴歸模型 (seemingly unrelated regression; SUR)，也就是三個方程式分別用OLS估計，亦可得到相同的結果。

VAR模型Eviews操作步驟 步驟3：記錄不同落後期之下的AIC及SIC，以利判斷最適落後期數。 由表中數值可以發現，SIC最適落後期數為1，但AIC最適落後期數為12個月。若依統計最佳估計而言，應選擇落後1期，但若就經濟觀點來看，由於貨幣政策施行直到總體經濟產生反應，中間的遞延日期應該超過1個月，因此12個月應該是一個合理的貨幣政策遞延長度。

VAR模型Eviews操作步驟

Granger causality (Granger 因果關係) 檢定Ganger因果關係，考慮以下迴歸式 (以2變數為例) 利用Wald test檢定虛無假設HO：γ1 = γ2 =… = γp = 0 ，若無法拒絕虛無假設，則代表代表y對於預測x而言沒有幫助，則我們稱 y 不會 Granger 影響 x。

Granger causality 操作步驟 若依先前三變量的VAR(1)為例，從估計結果表的工具列中選擇「View」「Lag Structure」「Granger Causality/Block Exogeneity Tests」。

Granger causality 操作步驟 從PI式來看 失業率的變動會Granger影響通貨膨脹率。 利率會Granger影響通貨膨脹率。 從DUE式來看 物價上漲率不會Granger影響失業率的變動 利率不會Granger影響失業率的變動。 從R式來看 物價上漲率會Granger影響利率。 失業率的變動會Granger影響利率。

Granger causality 操作步驟 從結果來看。短期利率會影響通貨膨漲率，但通膨率和利率都不影響失業率的變動，亦即名目變數對實質變數沒有影響，說明了古典二分法。另外，利率會受到通膨率及失業率變動的影響，隱含利率是內生化的貨幣政策，以因應物通膨率及失業率的變動。

共整合模型Cointegration Model之定義

共整合檢定： Engle-Granger 兩階段程序 檢定步驟： 步驟1：估計共整合關係式。 步驟2：對 et 做ADF檢定，若 et 為 I(0) 序列，則代表變數間具有共整合關係。

共整合檢定：Engle-Granger 兩階段程序 兩階段程序無法處理多個共整合關係的存在 (其模型假設變數間僅有一個共整合關係）。 兩階段程序可能不具效率性，因為在第一階段估計共整合關係式時，產生的估計誤差會被帶到下一階段。 Engle-Granger檢定中的ADF檢定不能使用傳統ADF統計量的臨界值，其漸近分配由 Phillips & Ouliaris (1990) 推導出。

共整合檢定： Johansen程序 Johansen共整合說明 容許同時存在多個共整合關係。 提供兩種不同的檢定方式 Trace test Max eigenvalue test 兩種不同的檢定方式可能會有不同的檢定結果，此時Johansen建議採用最大特性根檢定。 Johansen共整合之理論推導請參見陳旭昇(2007)。

共整合檢定： Johansen共整合範例 利率期限結構方程式 (tbill_us1953.wf1) 長期利率是短期利率的平均水準 Rk,t為長期利率水準，Rt為短期利率水準，Et(Rt+j)為在第t期時預期第t+j期的短期利率。令Rt為一隨機漫步，亦即 Rt = Rt-1 + et，則 Et(Rt+j) = Rt，利率結構方程式可以重新整理成： 也就是說，長期利率與短期利率之間存在整合關係。

共整合檢定： Johansen程序Eviews步驟 步驟1：將workfile中欲檢定共整合關係的變數標示，點右鍵，選擇「Open」「as group」。 步驟2：兩變數組合group之後，點選資料視窗之「view」，選取「cointegration test」。

共整合檢定：Johansen程序Eviews步驟 步驟3：在共整合選項設定中，選擇「summary」列出5種共整合模式的摘要，並在lags intervals輸入「1 2」，並點選確定。

共整合檢定：Johansen程序Eviews步驟 在5種不同的檢定估計式中，AIC及SIC建議選用模式1或模式2。 5種不同的共整合估計式設定 AIC準則 SIC準則 模式2：intercept (no trend) in CE, no trend in VAR

共整合檢定：Johansen程序Eviews步驟 步驟4：若選擇以模式2為檢定方程式的估計式，重新設定共整合選項設定為模式2，並得到估計結果。 從跡檢定及最大特性根檢定，都拒絕「沒有整合向量」的虛無假設，但無法拒絕「最多只有1個整合向量」的虛無假設，因此推論此兩變數之間應存在一個共整合向量。

共整合檢定：Johansen程序Eviews步驟 共整合關係式

誤差修正模型Error Correction model (ECM) VAR模型中要求序列皆為 I(0)。 若VAR系統中之序列為I(1)，且序列間不存在共整合關係，則可直接將序列穩態化 (差分或取變動率) 後再放到VAR系統中估計。

誤差修正模型Error Correction model (ECM) 若VAR系統中之序列為I(1)，且各變數之間存在共整合關係，則此時若僅估計穩態化後之序列，則會流失變數之間的長期關係的訊息，因此需改以VECM模型估計

ECM模型 透過Engle & Granger第一階段估計出共整合關係式 令 Engle & Granger 建議將VECM模式修正為

ECM模型Eviews操作步驟 選取變數後將變數組成VAR系統，並在VAR設定中選擇「Vector Error Correction」，在cointegration中選擇模式2 (同前例)。

ECM模型Eviews操作步驟 誤差修正項的係數 式1的cointEq1係數為負，代表當長期利率與短期利率脫離其長期均衡關係時，長期利率會下跌，以回復長期均衡，但其效果並不顯著。 式2的cointEq1係數為正，代表當長期利率與短期利率脫離其長期均衡關係時，短期利率會上漲，以回復長期均衡，且其效果為顯著。 共整合關係式

ECM模型之Granger causality test 檢定步驟如 VAR下之Granger causality test。 從結果中可發現，短期利率的變動不會Granger影響長期利率，但長期利率的變動會Granger影響短期利率。

共整合模型限制 共整合模型中，要求所有變數階次相同，若階次不同，則無法產生共整合模型。 解決方案：Toda and Yamamoto (1995) ARDL模型 若多變量時間序列模型中之變數階次不同， Toda and Yamamoto (1995) 主張在估計VAR時，除了原先估計的最適落後期數p之外，另外再將模型中之落後期數延長dmax期，會使VAR(p)之參數 Wald test 符合卡方檢定，即可解決階次不同之多變量時間序列問題。 dmax：為變數中之最大階次 。

Toda & Yamamoto共整合模型之 Granger causality test 以一個雙變量的VAR(p)為例，Toda & Yamamoto共整合模型估計式如下： p為VAR最適落後期， dmax：為變數中之最大階數。檢定虛無假設H0：γ11 = γ12 =… = γ1p = 0 ，若無法拒絕虛無假設，代表y對於預測x而言沒有幫助，則我們稱 y 不會 Granger 影響 x。

利用Eviews進行T & Y共整合模型之Granger causality test操作步驟 利用Eviews進行VAR模型的 Granger causality test 時，在估計一個VAR(p+dmax)模型後，若利用Eviews的VAR系統進行Granger causality檢定，系統檢定的落後期數包含 p+dmax期。 但在Toda & Yamamoto模型中僅需檢定p期落後期即可。 解決方案：利用OLS分別估計VAR中的方程式，再針對估計所得參數進行Wald test。

利用Eviews進行T & Y共整合模型之Granger causality test操作步驟 以前述利率結構方程式為例 步驟1：確定變數之階次。從以下的單根檢定可以得知長期與短期利率均為I(1)變數，因此 dmax=1

利用Eviews進行T & Y共整合模型之Granger causality test操作步驟 步驟2：評估VAR之最適落後期數。由下表若以SIC為準則，則VAR系統最適落後期數為3期，因此p=3

利用Eviews進行T & Y共整合模型之Granger causality test操作步驟 步驟3：建立VAR(3+1)系統，分別以OLS估計VAR中的兩個方程式。

利用Eviews進行T & Y共整合模型之Granger causality test操作步驟 步驟3：進行Wald test。 圖為R10,t式之Wald test，在R10,t式中，需檢定虛無假設 H0：γ11= γ12= γ13=0，因此在Wald test設定視窗中輸入c(6)=c(7)=c(8)=0。檢定結果如圖所示。

利用Eviews進行T & Y共整合模型之Granger causality test操作步驟