Kapitel 3: Erhaltungssätze 3.6 Drehimpulserhaltung

Bis jetzt haben wir (fast) ausschließlich Physik des Massen- punktes betrieben: Alle Körper sind punktförmige Objekte mit Masse m, an denen die Kräfte angreifen. Beschreibt das alle Aspekte der realen Bewegung ? F1 F2 Der Körper ruht sicher nicht !!! Er rotiert ! Allgemein: Mischform aus Trans- lation und Rotation !

Verallgemeinerung: mimi FiFi riri Wirkungslinie l  F ri F ti  Die zur Rotation führende Größe nennen wir Drehmoment und bezeichnen sie mit M

Wie verbindet man Drehmoment und Drehbewegung ? Newton II !! Winkelbe- schleunigung mal r i Summiere über alle Massenpunkte des Körpers Trägheitsmoment des Körpers Definition des Trägheitsmoments I:

Lineare BewegungenKreisbewegungen Distanz x Winkel  Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit  Beschleunigung a Winkelbeschleunigung  verursacht durch Kraft Fverursacht durch Drehmoment M Trägheitskonstante m Trägheitskonstante I Impuls p; dp/dt=F Drehimpuls L; dL/dt=M ERHALTUNGSGRÖSSE Zusammenhang:

Berechnung von Trägheitsmomenten Definition des Trägheitsmoments I: immer bzgl. einer Drehachse z.B.: a a m=m 1 =m 2 =m 3 =m 4 r i =a/2, I=4m(a/2) 2 =ma

Berechnung von Trägheitsmomenten Definition des Trägheitsmoments I: immer bzgl. einer Drehachse z.B.: a a m=m 1 =m 2 =m 3 =m 4 r 1 =r 4 =a, r 2 =r 3 =0 I=2ma 2 =2ma

Berechnung von Trägheitsmomenten Definition des Trägheitsmoments I: immer bzgl. einer Drehachse z.B.: a a m=m 1 =m 2 =m 3 =m 4 r 1 =r 4 =a/, r 1 =r 3 =0 I=2ma 2 /2=ma

Berechnung von Trägheitsmomenten Definition des Trägheitsmoments I: immer bzgl. einer Drehachse z.B.: a a m=m 1 =m 2 =m 3 =m 4 r i =a/ I=4ma 2 /2=2ma

Berechnung von Trägheitsmomenten Definition des Trägheitsmoments I: immer bzgl. einer Drehachse z.B.: a a m=m 1 =m 2 =m 3 =m 4 r 4 =a, r 2 =0, r 1 =r 3 =a I=ma 2 +0+ma 2 +2ma 2 =4ma

Berechnung von Trägheitsmomenten Bei kontinuierlicher Massenverteilung Was bedeutet so was ? Wie beschreibe ich ein Massenelement, und wieso ist das nicht sowieso mr 2 ??? Wie zerlegt man diesen homogenen Würfel in „Massenelemente“ ? „zersägen !!!“ Wie groß ist die Masse des blauen Würfels ?=> Wie oft passt der blaue Würfel in den roten Würfel ? m blau =(m rot /V rot ) V blau =  V => dm=  dV Mit Hilfe der Dichte  verknüpft man die Masse mit Raumpunkten Konzept ausbauen ! Von homogener Massenverteilung zu beliebiger Massenverteilung durch  (x,y,z).

Berechnung des Trägheitsmoments eines massiven Zylinders (Höhe h, Radius R) um seine Körperachse; Wie stelle ich dm in Abhängigkeit von der Zylindergeometrie dar ? (Wie zersäge ich den Zylinder geschickt ?) Würfel ? Bitte nicht !!! Zylinder = Stapel von Scheiben ! Scheibe = ineinandergesetze Ringe Wie groß ist die Masse eines homogenen Rings ? m Ring =2  r  drdz Proportional zu Höhe, Dicke, Umfang.

Ringe ineinanderstapeln=Integration von 0 bis R über r ! Scheiben aufeinanderstapeln= Integration von 0 bis h über z ! m Ring =2  r  drdz Wir müssen also berechnen: und erhalten: So etwas kann mühsam sein. Schlüssel zur einfachen Lösung: Geeignet zerlegen bzw. geeignet nähern !

So etwas kann mühsam sein. Schlüssel zur einfachen Lösung: Geeignet zerlegen bzw. geeignet nähern ! Die vorangehende Rechnung in xyz-Koordinaten ist VIEL komplizierter ! Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Schachfigur „Bauer“ um ihre Symmetrieachse ! Bauer, 1. NäherungBauer, 2. Näherung Welche Näherung liefert das höhere Trägheitsmoment wenn die Volumina gleich sind ?

Wenn ein starrer Körper um eine feste Achse rotiert, hat er kinetische Energie inne (wegen der Bahngeschwindigkeit der konstituierenden Massenelemente). Rollt z.B. ein Zylinder eine reibungsfreie schiefe Ebene hinunter, kommt er später an als ein Quader, weil potentielle Energie in die Rotation und in die Translation des Schwer- punktes gesteckt wird.

Eine Arbeitssparmaßnahme: Der Steiner‘sche Satz Wenn ein Körper der Masse m das Trägheitsmoment I s bezüglich einer Achse durch seinen Massenmittelpunkt hat, ist das Trägheitsmoment I bezüglich einer im Abstand h dazu parallel verlaufenden Achse gegeben durch: I=I s +mh 2