介紹不同坐標系之間的轉換 以LS平差方式求解坐標轉換參數

坐標轉換 前言 二維正形坐標轉換 方程式推導 最小自乘的應用 二維仿射坐標轉換 二維投影坐標轉換 三維正形坐標轉換 統計的有效參數

前言 在實際的作業中，經常需要進行不同坐標系之間的轉換，如第16章控制點大地坐標與地心坐標的轉換。 台灣地區多年來曾採用不同的坐標系，早期是採用UTM坐標系，後來改採GRS67地球原子的TM二度與三度分帶坐標系，目前則採用TWD97坐標系(WGS84的地球原子，TM二度分帶)。所有已知控制點的坐標，當坐標系改變時，也需要進行坐標轉換。

前言 坐標轉換的種類 四參數相似坐標轉換(Four parameters similarity coordinate transformation)：正形坐標轉換(Conformal coordinate transformation) 六參數坐標轉換(Six parameters transformation)：仿射坐標轉換(Affine coordinate transformation ) 八參數坐標轉換(Eight parameters transformation)：投影坐標轉換(Projective coordinate transformation) 多項式坐標轉換(Polynomial coordinate transformation) 三維正形坐標轉換(3D conformal coordinate transformation

二維正形坐標轉換 二維正形坐標轉換(Two dimensional conformal coordinate transformation)又稱為四參數相似轉換，其特色是 形狀維持不變，即角度維持不變。 此坐標轉換的步驟 調整比例尺(Scaling)：使兩坐標系具有相同比例尺。 可用一個比例參數來調整。 旋轉坐標軸(Rotation)：使兩坐標系的兩軸相互平行。 可用一個旋轉角度參數來進行。 平移坐標原點(Translation)：使兩坐標系具有相同的坐標原點。 有二個平移坐標參數。

Scaling Rotation Translation

方程式的推導 步驟一：調整比例尺 步驟二：旋轉坐標軸 步驟三：平移坐標原點 x’=sx y’=sy X’=x’cosθ-y’sinθ Y’=x’sinθ+y’cosθ 步驟三：平移坐標原點 X=X’+TX Y=Y’+TY

x’ y’ X’ Y’ θ y1’ x1’ Y1’ X1’ Y X 1 Tx Ty

方程式的推導 將步驟一與步驟二的結果代入步驟三，可得 令 並加入殘差，則可得坐標轉換的觀測方程式

最小自乘法的應用 坐標轉換的進行步驟 在求解轉換參數時，可利用最小自乘法來求解。 求解轉換參數：a、b、c及d。 其他各點的坐標轉換計算。 利用在兩個坐標系均有坐標值的點來求解。 兩個點可求得唯一解，但坐標含有誤差，故須有多餘觀測，因此，需有三個以上的點。 其他各點的坐標轉換計算。 利用已經求得的轉換參數。 在求解轉換參數時，可利用最小自乘法來求解。 一個點可列二個觀測方程式，若有三個點則可列出六個觀測方程式。

最小自乘法的應用

實例 測區在任意坐標系(x, y)下進行，並獲得控制點A、B、C以及點1、2、3、4之坐標；控制點A、B、C其地面坐標(E, N)，現欲求點1、2、3、4的地面坐標。各點的地面坐標與任意坐標如表所示。 點 E N X y A B C 1 2 3 4 1049422.40-0.004 1049413.95-0.004 1049244.95+0.004 51089.20+0.029 49659.30+0.077 49884.95-0.106 121.622 141.228 175.802 174.148 513.520 754.444 972.788 -128.066 187.718 135.728 -120.262 -192.130 -67.706 120.994

實例 求解程序 利用控制點A、B、C的地面坐標(E, N)與任意坐標(x, y)代入坐標轉換觀測方程式，構成A、L矩陣。 將觀測方程式化成法方程式。 解法方程式，得坐標轉換參數a、b、c、d。 計算參考標準差。 計算轉換參數的標準差。 計算旋轉角度以及轉換比例尺。 利用所解得的參數，將其他點1、2、3、4的任意坐標(x, y)代入坐標轉換方程式中，即可求得各點的地面坐標(E, N)。

二維仿射坐標轉換 又稱為六參數轉換。 與正形坐標轉換有些微差異，在四參數轉換中，調整比例時，是將雙軸方向的比例調整視為相同；若雙軸方向的比例調整不同時，則坐標轉換參數由四個變成六個。 若有三個控制點，則可唯一求解六參數；若有三個以上控制點，則有多餘觀測，可利用最小自乘法求解。 求解程序與正形坐標轉換相同。

實例 以數化儀數化的像片坐標(x, y)，必須轉換成框標坐標(X, Y)。現在有四個框標以及其他兩個像點利用數化儀數化，其結果與四個框標的坐標值如表所示。求其他兩點的框標坐標。 點 X Y x y Sx Sy 1 3 5 7 306 307 -113.000 0.001 112.998 0.003 112.993 -112.999 0.764 5.062 9.663 5.350 1.746 5.329 5.960 10.541 6.243 1.654 9.354 9.463 0.026 0.024 0.028 0.030 0.022

二維投影坐標轉換 又稱為八參數轉換。 此坐標轉換是由一個坐標系投影到另一個坐標軸不平行的坐標系。 此坐標轉換常用於航空測量。 其轉換公式如下

二維投影坐標轉換 此轉換與仿射轉換相似，若a3與b3等於0，則與仿射轉換完全相同。 此轉換有八個參數，因此必須至少有四個控制點。若多於四個控制點，則須以最小自乘法求解轉換參數。 二維投影轉換為非線性方程式，必須先線性化。

二維投影坐標轉換

實例 已知六個控制點在兩坐標系的坐標，以及其他二點在其中一個坐標系的坐標，求其他二點在另一坐標系的坐標。 求解步驟 先假設a3與b3為0，並以仿射轉換公式，任取三控制點坐標進行參數求解，即可求得轉換參數的近似值。 利用轉換參數的近似值以及各控制點在兩坐標系的坐標，組成觀測方程式。 接下的求解程序與前數最小自乘法求解程序相同。

三維正形坐標轉換 又稱為七參數相似轉換。 由一個三維坐標系轉換到另一個三維坐標系。 此坐標轉換應用於GPS測量與航空測量。 此轉換有七個參數，包含三個旋轉參數、三個平移參數與一個比例參數。 三個旋轉參數是分別繞x、y、z軸的一連串二維旋轉。 下列是以矩陣式表示的方程式推導

三維正形坐標轉換 z z1 y1 ω y 繞x軸旋轉ω角度

三維正形坐標轉換 z1 z2 φ x1 x2 繞y軸旋轉φ角度

三維正形坐標轉換 y2 Y X κ x2 繞z軸旋轉κ角度

三維正形坐標轉換

三維正形坐標轉換 同樣的，七參數轉換為非線性方程式，必須先予以線性化。

統計上的有效參數 坐標轉換方程式除了上述的方程式外，還有很多轉換方程式，如不同階次的多項式方程式。 多項式的項次愈多，應該與已知的資料集有較佳的擬合。但須注意的是，太多的參數不盡然都具有統計上的意義，因此必須對這些參數進行統計檢驗，以判斷參數是否具有顯著性。 如有四個控制點，採四參數轉換時，各轉換參數必然會有殘差出現；但若採八參數轉換時，則僅能得到參數的唯一解，參數的殘差為0。 此情形我們不能說八參數轉換優於四參數轉換。 參數的多寡優勢，必須判斷各參數是否具有統計上的意義。

統計上的有效參數 要判斷參數的統計意義，可採用統計子t，即參數的絕對值除以參數標準差。 t=｜參數值︱/S t值必須大於tα/2, ν，該參數方具有統計意義。 前述的六參數轉換例子，有四個控制點，共有八個方程式，而有六個未知數，故有二個多餘觀測，在95%的信心水準下，t0.025,2=4.303。

統計上的有效參數 左列各參數的t值均大於4.303，因此，我們可說這六個參數均具有統計上的意義，換言之，這六個參數均為統計上的有效參數。 八參數轉換的實例中，多餘觀測為4，同樣在95%的信心水準下，t0.025,4=2.776。各參數的t值均大於2.776，因此各參數均為統計上的有效參數。

作業 17.1、17.6