1 ARMA model Let ε t be white noise process, Z t be a stationary series. white noise : 純雜訊 ε t ~ NID( 0, σ 2 ) ARMA model 又稱為 Box-Jankin model ， 1970 年代推出， 用來配適時間序列中的不規則震盪，適用於 Stationary series ，可解釋序列中的自相關現象。

2 AR(p), Autoregressive model with order p is defined as MA(p), Movingaverage model with order q is defined as ARMA(p,q), Autoregressive and movingaverage with order (p,q) is defined as 註： δ 是一 constant ， 並不一定是 μ

3 註： 1 、 AR(p) model 可以下列式表示 (assume δ=0) ： 2 、 MA(q) model 可以下列式表示： 3 、 ARMA(p,q) model 可以下列式表示： 是 B 的 p 次多項式， 是 B 的 q 次多項式，

4 MA(q) model Z t 之變異數及自相關係數： Movingaverage with order q: 由此得到參 數估計量 註： For MA(q) model ， μ=δ

5 Z t 偏自相關係數 (partial autocorrelation) ： For MA model ， ACF cuts off after lag q, PACF dies down.

6 MA(1) model 由此得到估計量 theta Rho_ phi_ phi_ phi_ phi_

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8 MA(2) model 由此得到 參數估計 量

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10 AR(p) model Autoregressive with order p 此模式滿足平穩性的條件：係數使得方程式 的 根在單位圓外 Variance for AR(p) model Autocorrelation for AR(p) model

11 Partial Autocorrelation for AR(p) model 稱為 Yule-Walker 等式, 由此得到估計量 For AR model ， ACF dies down, PACF cuts off after lag p.

12 Stationarity 之條件 ACF 呈指數下降，或波動下降； PACF 在 k=2 處切斷 註： AR(1) 過程又稱為馬可夫過程 (Markov process) 例： Z t = Z t-1 + ε t

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14 Stationarity 之條件 Yule-Walker 等式 : 例： Z t = Z t Z t-2 + ε t

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17 ARMA(p,q) model 若 q<= p ，則 ACF 遞減 ( damped exponentially or sine-wave ) 若 q > p ，前面 q-p+1 個 p 和其它的 p 呈二段式遞減

18 ACF 與 PACF 皆漸漸消失型 ( damped exponentially or sine-wave )

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20 Table Behavior of the acf and pacf for ARMA model ModelacfPacf MA(q) 時差 q 之後切斷指數或正弦函數式漸漸消失 AR(p) 指數或正弦函數式漸漸消失時差 p 之後切斷 ARMA(p,q) 指數或正弦函數式漸漸消失