The Cyclic Multi-peg Tower of Hanoi מעגלי חד-כווני סבוכיות הפתרון בגרסאות עם יותר מ-3 עמודים

השאלה העיקרית הוספת עמוד והטלת מגבלות מעבר בין עמודים 'מייצרת' הרבה גרסאות. בהינתן גרסא (בהמשך נגדיר ע"י גרף מכוון) – האם ניתן לפתור, ואם כן – האם מספר המהלכים עולה מעריכית או תת-מעריכית?

הכללים בכל מהלך מזיזים בדיוק טבעת אחת היא חייבת להיות עליונה ויכולה לזוז רק לעמוד הבא (עם כוון השעון) באף שלב טבעת לא תהיה מונחת על קטנה ממנה (מצבים חוקיים – legal configurations)

מהיכן נובע הקושי? יכולות להיות הרבה אפשרויות לפתרון. –לדוגמא, 4 עמודים, 2 טבעות, הזזה מעמוד לשכנו

מה מענין בגרסא המעגלית? תחושה שהיא 'הכי קשה' ביחד עם הגרסא על הגרף המלא ניתן לתחום את כל הפתרונות

שאלות האם מספר המהלכים עולה מעריכית? מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים הארוכה ביותר? האם ההתנהגות רגולרית? מציאת חסמי מלרע ומלעיל. מה התלות במספר העמודים?

הגדרות תאור הבעיה (גרף ועוד קצת נתונים) תצורה, גרף התצורות, מטלה סדרת פתרון

שאלות האם מספר המהלכים עולה מעריכית? –בוודאי לא יותר –נחפש 'מהלך' שאי אפשר להימנע ממנו מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים הארוכה ביותר? האם ההתנהגות רגולרית? מציאת חסמי מלרע ומלעיל מה התלות במספר העמודים?

שאלות האם מספר המהלכים עולה מעריכית? מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים הארוכה ביותר? –נראה שממצב רגולרי אחד למצב רגולרי אחר –ובין הכי רחוקים –מהו הקשר בין מטלות שבין מצבים רגולריים? האם ההתנהגות רגולרית? מציאת חסמי מלרע ומלעיל מה התלות במספר העמודים?

מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים הארוכה ביותר?

שאלות האם מספר המהלכים עולה מעריכית? מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים הארוכה ביותר? האם ההתנהגות רגולרית? –קיום חסמי מלרע ומלעיל תכונת התת-כפליות התכנסות יותר מהירה מציאת חסמי מלרע ומלעיל מה התלות במספר העמודים?

האם ההתנהגות רגולרית? קיום חסמי מלרע ומלעיל

האם ההתנהגות רגולרית? קיום חסמי מלרע ומלעיל - תכונת התת-כפליות S  T m ; T  ε for i  1 to |S| do –if S i ≥ 2 then T  T * (S i +n-1) –else T  T *T n –end if end for return T

האם ההתנהגות רגולרית? קיום חסמי מלרע ומלעיל – התכנסות יותר מהירה

if n ≤ n 0 then –T  MoveFew(n) else –S  MoveFew(n 0 ) –T  ε –for i  1 to |S| do if S i ≥ 2 then –T  T * (S i +n-n 0 ) else –T  T * MoveAny(n-n 0 +1) end if –end for end if return T

שאלות האם מספר המהלכים עולה מעריכית? מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים הארוכה ביותר? האם ההתנהגות רגולרית? מציאת חסמי מלרע ומלעיל –מלעיל –מלרע מה התלות במספר העמודים?

כיצד לקבל חסם מלעיל? נבחן פתרון (ל-4 עמודים, תזוזה מעמוד לשכנו): –עם 2 טבעות :  –עם 3 טבעות : 

כיצד לקבל חסם מלעיל? כדאי לקבץ מהלכים של טבעת מס' 1 נגדיר את המטריצה: טענה:

כיצד לקבל חסם מלעיל? – הוכחה Alg: RevMoveAny(n,k) if n < n 0 then –T  (MoveFew(n))k else –T  RevMoveFew(k) –If n > n 0 then S  T; T  ε for i  1 to |S| do –if S i  {1 1, 1 2, …, 1 h-1 } then »T  T * RevMove Any(n-n 0 +1, jpeg(S i )) –else »T  T * (S i + n-n0) return T

כיצד לקבל חסם מלעיל? – הוכחה

כיצד לקבל חסם מלעיל? – דוגמא נבחן כעת את הפתרון ל-4 עמודים ו-2 טבעות (עבור תזוזה מעמוד לכל אחד משכניו): –לעמוד הבא: –שני עמודים: –שלושה:

כיצד לקבל חסם מלעיל טוב יותר? נבחן אלגוריתם 'לא רע' עבור h-1 טבעות המטריצה שמתקבלת חוסמת את האמיתית חסם מלעיל ע"ס משפט גרשגורין

כיצד לקבל חסם מלרע? נבחן את המצב הבא: 4 עמודים, טבעת 1 על עמוד 4. פתרון אופטימלי עבור n+1 טבעות מוליך לפתרון עבור n טבעות

כיצד לקבל חסם מלרע? הרחבה: נבחן את כל הסדרות כך שמספר התזוזות של m הטבעות הקטנות לא עולה על f (נסמן ב-b את האורך המירבי) :

כיצד לקבל חסם מלרע לא רע? (אבל כנראה לא הכי טוב...) טבעת חוסמת אחת h תזוזות

שאלות האם מספר המהלכים עולה מעריכית? מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים הארוכה ביותר? האם ההתנהגות רגולרית? מציאת חסמי מלרע ומלעיל מה התלות במספר העמודים? –מונוטוניות –חסמי מלרע ומלעיל שואפים ל-1

מה התלות במספר העמודים? נהפוך פתרון מינימלי ל-h עמודים לפתרון ל- h+1 עמודים