עיבוד תמונות ואותות במחשב 1 תרגול2 אותות ומערכות חד ממדיים דיסקרטיים

עיבוד תמונות ואותות במחשב 2 דוגמאות לאותות בדידים מדד משתנים - ממוצע משוקלל של שערי המניות בבורסה. DJ(n)  R + Bit Stream: סידרה...x(n)  {0,1} … Sampled Signal: דוגמים אות חשמלי (v(t בפרקי זמן קבועים: ( t n =nT x(n)=v(t n

עיבוד תמונות ואותות במחשב 3 תכונות של אותות האות x(n)=n mod k, k  N n  Z חסום: לא סופי: מחזורי:

עיבוד תמונות ואותות במחשב 4 טרנספורמציות בסיסיות של אותות הפוך זמן x[-n].פעולה זו הופכת את ציר הזמן סביב 0. scaling בזמן x[an] ( a|| טבעי) הזזה בזמן y[n]=x[n-p]. בצורה דומה לשלושת הטרנספורמציות בציר הזמן יש שלוש טרנספורמציות באמפליטודה (היפוך,scaling,הזזה): y[n]=-x[n], y[n]=ax[n], y[n]=x[n]+p

עיבוד תמונות ואותות במחשב 5 טרנספורמציות בסיסיות של אותות-דוגמא y[n]=3-2x[2-n]

עיבוד תמונות ואותות במחשב 6 מערכת - פונקציה הפועלת על אות ומוציאה אות דוגמה: חיובי בנק במבצע “ שלם רק חצי ” המחזיק בכרטיס אשראי משלם רק חצי מהחיובים שהצטברו: למשל: אם פלוני הוציא 1000 ש”ח בכל חודש 1,2,3 ובשאר לא בזבז אז: Y(n)=0.5[Y(n-1)+X(n)]X(n) ההוצאות בחודש n Y(n) החיוב בחודש n n X(n) Y(n) אם הבנק גם לוקח ריבית על החוב ( נגיד 10 % בחודש ) אז : Y(n)=0.5[1.1*Y(n-1)+X(n)]X(n)Y(n)

עיבוד תמונות ואותות במחשב 7 תכונות של מערכות - זיכרון מערכת היא חסרת זיכרון אם התגובה שלה אינה תלויה בערכי אות הכניסה פרט לזמן הנוכחי. ((y(n)=sin(x(n מערכת חסרת זיכרון. ((y(n)=exp(-x(n)+cos(n-3 מערכת חסרת זיכרון. ((1-y(n)=sin(x(n מערכת בעלת זיכרון. (y(n)=x(n)*x(3 מערכת בעלת זיכרון.

עיבוד תמונות ואותות במחשב 8 תכונות של מערכות - סיבתיות מערכת נקראת סיבתית אם לכל בחירה של n 0 יציאת המערכת ברגע n 0 תלויה אך ורק באות הכניסה ברגעים n  n 0. קיום של תנאי זה גורם, למשל, לכך שאם (x 1 (n)=x 2 (n לכל n  n 0 אזי גם (n)([(T[x 1 ])(n)=(T[x 2 לכל n  n 0. דוגמאות: מערכת y n =x n+1 - x n (גזירה קדימה) - היא לא סיבתית מערכת y n =x n - x n-1 (גזירה אחורה) - היא כן סיבתית מערכת [y n =3[2y n-1 + x n - היא גם כן סיבתית מערכת y n =x n + x 3 - היא לא סיבתית

עיבוד תמונות ואותות במחשב 9 תכונות של מערכות - יציבות BIBO מערכות יציבות: y n =sin(x n ), y n = x n+1 -x n-1, מערכת לא יציבה, למשל : y n =  i  [1,n] x i נורמת -p של האות היא הערך מערכת היא יציבה במובן “ הכניסה חסומה - תוצאה חסומה ” BIBO)) אם אות כניסה חסום גורר שגם התוצאה חסומה: if ||x||  <   ||y||  < 

עיבוד תמונות ואותות במחשב 10 מערכות קבועות בהזזה ( Shift\Time Invariant) מערכת היא קבועה בהזזה אם הזזת אות הכניסה גורמת להזזה זהה באות היציאה. איך לבדוק האם מערכת היא קבועה בהזזה? א) נזיז את אות הכניסה ונחשב את המוצא החדש: ב) נזיז את אות המוצא, כלומר נציב: נבדוק אם שני אותות המוצא זהים.

עיבוד תמונות ואותות במחשב 11 מערכות קבועות בהזזה ( דוגמאות) y(n)=5[x(n-1)+3] x(n)y(n) y(n)=n x(n) x(n)y(n) מסקנה : המערכת קבועה בהזזה. מסקנה : המערכת אינה קבועה בהזזה.

עיבוד תמונות ואותות במחשב 12 מערכות ליניאריות מערכת נקראת ליניארית אם תגובתה לסכום ממושקל של אותות כניסה שווה לסכום הממושקל של התגובות לאותות האלה T[  x 1 +  x 2 ] =  T[x 1 ]+  T[x 2 ] דוגמאות: המערכת (T[x])[n]=5היא לא ליניארית [(T[2x])(n)=5  2T[x המערכת (T[x])(n)=x(n)+3 היא גם כן לא ליניארית מערכת (T[x])(n)=2x(n)+x(2) היא מערכת ליניארית מערכת שהיא צרוף ליניארי של אותות כניסה ללא איבר חופשי - ליניארית

עיבוד תמונות ואותות במחשב 13 דוגמה (חלון נע) ליניארית קבועה בהזזה לא חסרת זיכרון אלא אם k 1 =k 2 =0 סיבתית אמ”מ k 2 =0 יציבה BIBO x(n) y(n) k1,k2>=0

עיבוד תמונות ואותות במחשב 14 דוגמה (ממוצע ממושקל בזמן) x(n) y(n) ליניארית לא קבועה בהזזה: למשל אפילו אם k 1 =k 2 =0 אז (y(n)=n x(n לא חסרת זיכרון אלא אם k 1 =k 2 =0 סיבתית א”םם k 2 =0 לא יציבה BIBO k1,k2>=0

עיבוד תמונות ואותות במחשב 15 מערכות לינאריות קבועות בהזזה LSI נוכל לרשום למערכת LSI : (y(n)=(T[x])(n)=  i x(i)h(n-i כאשר [h(n)=T[  0 נקראת תגובת המערכת T להלם. הפעולה (y(n)=  i x(i)h(n-i נקראת קונבולוציה ומסומנת: y(n) = (x * h )(n)

עיבוד תמונות ואותות במחשב 16 תכונות הקונוולוציה קומוטטיביות : קומוטטיביות : אסוציאטיביות : אסוציאטיביות : דיסטירבוטיביות : דיסטירבוטיביות : משמעות האסוציאטיביות : חיבור מערכות שתגובות ההלם שלהן y ו -z בטור שקול למערכת שתגובת ההלם שלה הוא y*z. שקול למערכת שתגובת ההלם שלה הוא y*z. משמעות הדיסטירבוטיביות : חיבור מערכות שתגובות ההלם שלהן y ו -z במקביל שקול למערכת שתגובת ההלם שלה הוא y+z. במקביל שקול למערכת שתגובת ההלם שלה הוא y+z.

עיבוד תמונות ואותות במחשב 17 דוגמה: חיבור מערכות LSI במקביל T1T1T1T1 T2T2T2T2  x(n)x(n)x(n)x(n) y(n)y(n)y(n)y(n) סכום של תגובות הלם

עיבוד תמונות ואותות במחשב 18 תכונות הנובעות מתכונות הקונבולוציה הזזה בזמן : הזזה בזמן : גזירה :

עיבוד תמונות ואותות במחשב 19 דוגמה: "המבצע של הבנק" (המשך) תגובת ההלם של המערכת : מערכות כמו המערכת הזאת נקראות Infinite Impulse Response (IIR) – כשתגובת ההלם אין סופית המערכת בצורה מפורשת : זו מערכת LSI

עיבוד תמונות ואותות במחשב 20 דוגמה: "המבצע של הבנק" (המשך) נחשב כעת את החיובים באמצעות קונבולוציה : אות כניסה - הוצאות ב 1,2,3: