1 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 政治大學公企中心必修課 課程名稱：社會科學研究方法（量化分析） 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：非線性模型、 異質變異、自我相關 參考書目： Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期： 2011 年 11 月 29 日

2 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 非線性模型 第一類模型 : 變數為非線性的，但未知參數是 線性的。 Y=αL β K γ lnY=δ+βln(L)+γln(K)

3 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 多項式和互動變數 迴歸模型中的斜率為連續性的變化。 TC=α 1 +α 2 Q+α 3 Q 2 +α 4 Q 3 +e PIZZA=β 1 +β 2 AGE+β 3 Y+e = β 2 : 在某一個所得水準之下，預期比 薩的支出會隨著年齡增加一歲而變動 β 2 的量。 PIZZA AGE

4 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 = β 3 : 在某一年齡之下，所得每增加＄ 1 預期比薩支出會增加 β 3 。 例 : 隨著一個人年齡的增長，他們對於比薩的 邊際偏好會減少。 這是一個所得的影響決定於年齡的例子 AGE × Y PIZZA=β 1 +β 2 AGE+β 3 Y+β 4 (AGE×Y) +e PIZZA Y

5 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 =β 2 +β 4 Y AGE 的影響取決於所得。 =β 3 +β 4 Age 受到所得影響下預期比薩的支出，則決定 於 AGE 。 E(PIZZA) AGE E(PIZZA) Y

6 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 下列兩條式子有何不同 Pizza= *** ***AGE ***Y Pizza= AGE **Y **(Y×AGE) AGE 本身不再是個顯著的解釋因素。 這表示 AGE 會透過與所得的互動來影響比薩的 支出 --- 也就是它會影響比薩的邊際支出傾向 估計 AGE 的邊際影響

7 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 異質變異（ Heteroskedasticity ） 問題 : 放寬這個假設 : 然後我們稱這樣的情形為異質變異 在使用橫斷面換資料（ cross-sectional data ）時常 會遇到變異數不同或質變異性，這樣的情形也同 樣會發生在時間序列資料（ time-series data ）。

8 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 最小平方估計式仍然是線性且不偏的估計式， 但它不再是最佳線性不偏估計式 (BLUE) 。 通常以最小平方估計式所計算出的標準誤是不 正確的。使用這些不正確的標準誤會誤導假設 檢定。 異質變異對最小平方估計式的影響

9 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 1. 殘差圖（ Residual Plots ） 如果誤差是同質變異的，在殘差裡不應該會有 任何種類的類型（ patterns ）。 然而，當我們有一個以上的解釋變數時 ，估計 的最小平方函數不容易被畫在一張圖上。 我們可以做的是畫出最小平方殘差相對於各解 釋變數的圖。 檢測異質變異性

10 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 2. The Goldfeld-Quandt 檢定 H 0 : homoskedasticity a. 將樣本分為大小大約相等的兩個子樣本。 若我們相信變異數與 Xt 有關，則應根據 Xt 大 小將觀察值分為兩類。 b. 計算每個子樣本的估計誤差變異數 及 。若兩個樣本之變異數相同的虛無假設不是真 的, 那麼預期 會很大。

11 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 c. 計算 GQ= 若 GQ ＞ Fc (T 1 -K, T 2 -K) 拒絕變異數相同的虛無假設 若樣本一分為二, 則 T 1 =T 2 =T /2 。

12 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 一般化最小平方 i=1,…,13 i=14,…,26 (1) (2), for i=1,…13, for i=14,…,26 經由模型轉換的一般化最小平方

13 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 ∴ 估計 LSE (1)(2) 可得到, 然後計算,, 其中 σ j 不是 σ 1 就是 σ 2, 決定於選取的那一 半觀察值。 然後應用最小平方在轉換整個變數 檢定變異數假設

14 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 自我相關（ Autocorrelation ） 橫斷面資料（ Cross-section data ） : 隨機樣本 誤差項彼此間互不相關。 時間序列資料（ Time-series data ） : 相鄰發生的 誤差是有可能會彼此相關。 當相鄰發生的誤差項互為相關時， 稱為自 我相關（ autocorrelation ）。

15 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 for t≠ s but if for t≠ s 自我相關 例:例: (0.169) (0.111) R 2 =0.706 (SE) 從課本的表和圖中可知 : 負的殘差值傾向於跟隨負的 殘差值，而正的殘差值則傾向於跟隨正的殘差值。

16 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 一階自我迴歸模型 AR(1) 若 ρ 由前一期帶到下一期的影響越大，衝擊擴散 的速度也越慢。 for t≠ s (1)-1 ＜ ρ ＜ 1 ，若 ＞1＞1 Then will ∞, as t ∞ (3) e t 也是同質變異的，因為 σ e 2 不隨時間而改變。 一階自我迴歸誤差 AR(1) 誤差的統計性質 (2)E(e t )=0

17 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 (4) k＞0k＞0 因為 ＜ 1 ∴ As t ∞

18 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 對最小平方估計式的影響 一個具有自我相關的方程式，若是忽略或沒有 察覺到這一點，就會發生下列情形： 最小平方估計式仍然是線性不偏估計式，但它 不再是最佳的。 最小平方估計式的標準誤不再是正確的 使 用這些標準誤會誤導假設檢定。

19 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 一般化最小平方（ GLS ）會比最小平方提供給 我們一個更窄、可透露多資訊的信賴區間。

20 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 只計算 (T-1) 個變數，忽略第一個觀察值 ≠> 不偏 估計 ρ 轉換第一個觀察值 先估 然後重新估計 β 0, β 1 => 在考慮 AR 下。

21 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 Durbin Watson 檢定 The Bound Test H 0 : ρ= 0 ， H 1 :ρ> 0 d Lc < d < d Uc 若 d 0 若 d > d Uc 無法拒絕 H 0 : ρ= 0 若 d Lc < d < d Uc 這個檢定是不具決定性的。 T=34 ( 觀察值個數 ) K=2( 參數個數 ) β 0 、 β 1 自我相關的檢定

22 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 H 0 : ρ= 0 ， H 1 :ρ≠0 若 DW 檢定與 LM 檢定不一致時？ DW 檢定導致型 I 錯誤。 LM 檢定導致型 II 錯誤。 Lagrange 乘數檢定 (Lagrange Mulitipler Test)

23 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 注意 : 1.Y t =β 0 +β 1 X 1 +ρe t-1 +ν t ，但 t=1,……,T e 0 =? (1) 設定 e 0 =0 (2) 忽略 e 0 2.DW 檢定在有限樣本的情況下較精確。 LM 檢定適用在近似於大樣本的情況下。 3. 若其中一個解釋變數為延遲變數 Y t-1 ，則不適合 用 DW 檢定。但 LW 檢定仍然可以用在這種情形 之下。 4. 在越多時間延遲的情況下，更適合用 LM 檢定。

24 政治大學公企中心必修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 Y T+1 =β 0 +β 1 X T+1 +e T+1 Y T+1 =β 0 +β 1 X T+1 +ρe T +ν T+1 + 若我們假設 X T+h =value 則我們就可以預測 h 期 ! 用 AR(1) 誤差做預測