計算機概論 第6章 數位邏輯設計

6-1　邏輯電路 (Logic Circuit) 兩個二元變數X、Y進行相加的結果，SUM 代表和，CARRY代表進位

SUM = ((NOT X) AND Y) OR (X AND (NOT Y)) = (X’ * Y) + (X * Y’) CARRY = X AND Y = X * Y

6-2 布林代數 (Boolean Algebra) 值為0或1的二元變數 (binary variable) 值為0或1的常數 (constant) AND、OR、NOT運算子 (operator) (、)、[、]、{、} 等括號 = 等號

舉例來說，假設有個布林函數F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z)，且X = 1、Y = 1、Z = 0，則運算過程如下： F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z) = X * Y * Z’ + (X’ * Z’) * (Y + Z) = 1 * 1 * 0’ + (1’ * 0’) * (1 + 0) = 1 * 1 * 1 + (0 * 1) * (1 + 0) = 1 + 0 * 1 = 1 + 0 = 1

6-2-1　真值表 (Truth Table) 布林函數F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z) 的真值表推算如下： 欄數為二元變數的個數，加上一個存放結果的欄位，故有n+1欄。 每個二元變數有0、1兩種值，所以n 個二元變數會有 2n 種組合，故有 2n 列。 將X、Y、Z的值代入F（X、Y、Z），就可以算出這個欄位的值。

6-2-2　文氏圖 (Venn Diagram)

以文氏圖來表示F(X, Y, Z) = X’Z’ + XY

6-2-3 布林代數恆等式 一、公設 P1. 0與1的存在 (a) X + 0 = X (b) X * 1 = X 6-2-3　布林代數恆等式 一、公設 P1. 0與1的存在 (a) X + 0 = X (b) X * 1 = X P2. 交換律 (a) X + Y = Y + X (b) X * Y = Y * X P3. 結合律 (a) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z (b) X * (Y * Z) = (X * Y) * Z

二、定理 P4. 分配律 (a) X + (Y * Z) = (X + Y) * (X + Z) (b) X * (Y + Z) = P5. 互補 (a) X + X’ = 1 (b) X * X’ = 0 二、定理 T1.冪次 (a) X + X = X (b) X * X = X

T2. 0與1的特性 (a) X + 1 = 1 (b) X * 0 = 0 T3. Absorption (a) X + XY = X (b) X * (X + Y) = X (c) X + X’Y = X + Y (d) X * (X ‘ + Y) = X * Y T4. 狄摩根 (a) (X + Y)’ = X’ * Y’ (b) (X * Y)’ = X’ + Y’

T5. 反身律 (X’)’ = X T6. Consensus (a) XY + X’Z + YZ = XY + X’Z (b) (X + Y) * (X’ + Z) * (Y + Z) = (X + Y) * (X’ + Z)

6-3　邏輯閘 (Logic Gate) 6-3-1　AND閘

6-3-2　OR閘

6-3-3　NOT閘

6-3-4　XOR閘

6-3-5　NAND閘

使用NAND閘來模擬AND閘 使用NAND閘來模擬OR閘

使用NAND閘來模擬NOT閘

6-3-6　NOR閘 使用NOR閘來模擬AND閘

使用NOR閘來模擬OR閘 使用NOR閘來模擬NOT閘

6-3-7　XNOR閘

6-4 邏輯簡化 (Logic Minimization) 6-4-1　標準形式 (Standard Form) 積項 (product terms) 和項 (sum terms) 最小項 (miniterms) 最大項 (maxiterms) 最小項之和 (sum of miniterms)

最大項之積 (product of maxterms)

Mi’ = mi 且 mi’ = Mi

將布林函數F(X, Y, Z) = X’Y + XZ表示成最小項之和 (1）首先，將F(X, Y, Z) = X’Y + XZ的真值表寫出來 （2）以OR運算子連接所有布林值等於1的最小項 F (X, Y, Z) = m2 + m3 + m5 + m7 = Σ m (2, 3, 5, 7)

將布林函數F(X, Y, Z) = X’Y + XZ表示成最大項之積 （2）以 AND 運算子連接所有布林值等於 0 的最大項 F (X, Y, Z) = M0 + M1 + M4 + M6 = ΠM (0, 1, 4, 6)

以卡諾圖將F(X, Y) = XY + XY’ 簡化為積項之和 6-4-2　卡諾圖 (Karnaugh Map) 兩個二元變數的卡諾圖 以卡諾圖將F(X, Y) = XY + XY’ 簡化為積項之和 （1）F(X, Y) = XY + XY’ = m3 + m2 = Σ m (2, 3)

（2） （3） （4）找出矩形涵蓋的積項並求取其和， XY’ + XY = (X)(Y’ + Y) = X

以卡諾圖將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z簡化為積項之和 三個二元變數的卡諾圖 以卡諾圖將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z簡化為積項之和 （1）F (X, Y, Z) = Σm (2, 3, 5, 7)

（2） （3）

四個二元變數的卡諾圖 （4）X’YZ + X’YZ’ = (X’Y)(Z + Z’) = X’Y，XY’Z + XYZ = XZ(Y’ + Y) = XZ，兩者相加於是 得到X’Y + XZ 四個二元變數的卡諾圖

以卡諾圖將F(W, X, Y, Z) = Σm (0, 2, 4, 6, 8, 10, 13, 15) 簡化為積項之和 （1）

例有三個矩形，W’Z’ + WXZ + X’Z’ （2） （3）找出矩形涵蓋的積項並求取其和，本 例有三個矩形，W’Z’ + WXZ + X’Z’

F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z以卡 諾圖將布林函數簡化為和項之積 以卡諾圖將布林函數簡化為和項之積 F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z以卡 諾圖將布林函數簡化為和項之積 （1）F(X, Y, Z) = Σm(2, 3, 5, 7) （2）

（3） （4）找出矩形涵蓋的積項並求取其和得到X’Y’ + XZ‘ （5）F(X, Y, Z) = (X’Y’ + XZ’)’ = (X + Y)(X’ + Z)

無所謂情況 (Don’t Care Condition)

找出矩形涵蓋的積項並求取其和，得到W’Y’ + WY

6-4 組合電路 (Combinational Circuit)

半加法器