תוחלת ושונות בהתפלגויות אחרות התפלגות בינומית : X~B(n,p) E(X)=np, σ 2 (x)=np(1-p) התפלגות היפרגיאומטרית : X~H(N,n,M) E(X)=n*M/N, σ 2 (x)=n*M/N(1-M/N)[(N-n)/N-1)] התפלגות פואסון : X~P(λ) E(X)= λ, σ 2 (x)= λ

דוגמאות מהי התוחלת של מספר הנפסלים לשרות במשטרה אם ידוע שההסתברות להיפסל היא 0.4 ומספר הנבדקים 830. מהי סטית התקן ? 8 ילדים הוצאו מתוך כתה שבה 15 בעלי שיער שחור, 4 בעלי שיער חום ו - 7 בעלי שיער בהיר. מהי התוחלת של מספר הילדים עם שיער לא שחור במידגם ? תוחלת מספר הפריצות שעבריין מוכר עושה בשנה הוא 36. אם עבריין עשה בחודש מספר פריצות הגדול ביותר משתי סטיות תקן מעל לתוחלת. לפחות כמה פריצות עשה בחודש זה ?

תכונות התוחלת תוחלת של מספר קבוע היא המספר הקבוע תוחלת של משתנה המוכפל בקבוע היא התוחלת מוכפלת באותו קבוע. למשל אם (5,1) X~N ו - Y=5X אז : E(Y)=5E(X)=25 תוחלת של סכום משתנים היא סכום התוחלות : E(X+Y)=E(X)+E(Y)

דוגמאות בתוחלת, חקלאי קוטף ב - 10 דקות 8 אשכוליות. מה תהיה התוחלת של היבול שיקטפו שלושה חקלאים בשעה ? תוחלת הדיג של דייג מבוגר היא שלושה דגים לשעה. תוחלת הדיג של דייג צעיר היא שני דגים. המינימום ל " חפלה " הוא 15 דגים. האם תוחלת התפוקה של שלושה דייגים צעירים ואחד מבוגר שדגים שעה וחצי מספיקה לחפלה ? האם תהיה חפלה אחרי הדיג ?

תכונות השונות שונות של מספר קבוע היא אפס. שונות של משתנה המוכפל בקבוע היא השונות מוכפלת בריבוע של אותו קבוע. למשל אם (5,2) X~N ו - Y=5X אז : σ 2 (Y)= 5 2 * σ 2 (X)=25*2=50 שונות של סכום משתנים בלתי תלויים היא סכום השונויות : σ 2 (X+Y)= σ 2 (X)+ σ 2 (Y)

דוגמאות למה שונות יותר גדולה ? לגובה של תלמיד בכיתה הנבחר באופן אקראי, או לסכום הגבהים של שני תלמידים הנבחרים אקראית ? למה שונות יותר גדולה ? לגובה של תלמיד בכיתה הנבחר באופן אקראי, או לממוצע הגבהים של שני תלמידים הנבחרים אקראית ?

משפט הגבול המרכזי אם למשתנה כלשהו X יש תוחלת μ ושונות 2 σ, ואנו דוגמים מן המשתנה n תצפיות, אז הממוצע x מקיים: E(x)=E(x)= μ (x)/n 2 σ (x)= 2 σ וההתפלגות של המשתנה החדש X, שהוא ממוצע המידגם, שואפת להתפלגות הנורמלית.

דוגמה אם תוחלת גיל האוכלוסיה היא 50 וסטיית התקן של גיל זה היא 20, מהי ההסתברות שממוצע שהגילים של 25 אנשים הנבחרים מקרית, יהיה קטן מ - 40 ? האם גיל האנשים מתפלג נורמלית ? Z=(40-50)/ = -2 P(Z 2)=1- P(Z<2)= 0.023

מעבר מבינומית לנורמלית בהתפלגות בינומית אנו מודדים את מספר ההצלחות מתוך n ניסיונות. אם k הוא מספר ההצלחות אז k/n יהיה אומד ל -P. מהי התוחלת של k/n? np/n=p מהי השונות של k/n? [np(1-p)]/n 2 =p(1-p)/n לפי חוק המספרים הגדולים : Z=(k-p)/[p(1-p)/n] 0.5 ~N(0,1)

דוגמה ההסתברות לבת בכיתה היא 0.6. מהי ההסתברות לקבל פחות מ - 2 בנות במדגם מקרי בן 4 חברים ? P(X<2)=p(x=0)+p(x=1)= 4!/(0!4!) !/(1!3!) =0.179 E(X)=np=4*.6=2.4, VAR(X)=npq=4*0.6*0.4=0.96, σ=0.98 P(x<2)=p(x<1.5)=p(Z<( )/0.98)= P(Z.92)=0.181