主讲教师：陈殿友 总课时： 124 第十一讲 极限的运算法则

第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §5 极限运算法则

本节将讨论极限的求法，主要是建立极限运算的四则 运算法则和复合函数的运算法则，利用这些法则，可以求 某些函数的极限. 以后我们将逐步介绍求极限的的其他方法. 在下面的讨论中，记号 “lim” 下面没有标明自变量的变 化过程，实际上，下面的定理对 x→x 0 及 x →∞ 都是成立的. 在论证时, 我们只证明了 x→x 0 的情形, 只要把 δ 改成 X ，把 0＜|x-x0|＜ 0＜|x-x0|＜ δ 改成 |x| ＞ X ，就可得 x →∞ 情形的证明.

时, 有 一、 无穷小运算法则 定理 1. 有限个无穷小的和还是无穷小. 证 : 考虑两个无穷小的和. 设 当 时, 有 当 取 则当 因此 这说明当时,时, 为无穷小量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明 : 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 解答见课件第三讲 例 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证 : 有限个无穷小之和仍为无穷小.

定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证: 设证: 设 又设 即当 时, 有 取 则当 时, 就有 故即 是 时的无穷小. 推论 1. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 2. 有限个无穷小的乘积是无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 1. 求 解:解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是的渐近线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 极限的四则运算法则 则有 证 : 因 则有 ( 其中为无穷小 ) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理, 知定理结论成立. 定理 3. 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论 : 若 且 则 ( P45 定理 5 ) 利用保号性定理证明. 说明 : 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形. 提示 : 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 4. 若 则有 提示 : 利用极限与无穷小关系定理及本节定理 2 证明. 说明 : 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形. 推论 1. ( C 为常数 ) 推论 2. ( n 为正整数 ) 例 2. 设 n 次多项式 试证 证:证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

为无穷小 ( 详见 P44) 定理 5. 若 且 B≠0, 则有 证: 因证: 因有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理, 得 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 6. 若 则有 提示 : 因为数列是一种特殊的函数, 故此定理 可由 定理 3, 4, 5 直接得出结论. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x = 3 时分母为 0 ! 例 3. 设有分式函数 其中都是 多项式, 试证 : 证:证: 说明 : 若 不能直接用商的运算法则. 例 4. 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 5. 求 解 : x = 1 时分母 = 0, 分子 ≠0, 但因 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 求例6. 求 解:解: 时,时, 分子 分子分母同除以则 分母 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 7 求 解 先用 x 3 除分母和分子，然后求极限，得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 8 求 解 应用例 7 的结果并根据定理，即得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一般有如下结果： 为非负常数 ) ( 如 例 6 ) ( 如例 7 ) ( 如 例 8 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

主讲教师：陈殿友 总课时： 124 第十二讲 极限的运算法则

三、 复合函数的极限运算法则 定理 7. 设 且 x 满足 时,时, 又则有 证:证: 当 时, 有 当 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 7. 设 且 x 满足时,时, 又 则有 说明 : 若定理中则类似可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 9. 求 解: 令解: 令 已知 ( 见 P46 例 3 ) ∴ 原式 = ( 见 P33 例 5 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 10. 求 解 : 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对型, 约去公因子 时, 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头 ” (2) 复合函数极限求法设中间变量 Th1Th2Th3Th4Th5Th7 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考及练习 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答 : 不存在. 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在, 与已知条件 矛盾. 解:解: 原式 2. 问 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 求 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4. 试确定常数 a 使 解 :解 : 令则 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此

作业 P 第六节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 设 解:解: 利用前一极限式可令 再利用后一极限式, 得 可见 是多项式, 且 求 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束