在发明中学习 线性代数 概念的引入 李尚志 中国科学技术大学

随风潜入夜 : 知识的引入 之一、线性方程组的解法 加减消去法  方程的线性组合  原方程组的解是新方程的解 是否有 “ 增根 ” ？  互为线性组合 : 等价变形  初等变换  高斯消去法

只用到系数的运算  行向量表示方程  数组向量 矩阵表示方程组  矩阵的初等变换 只用到系数的加减乘除  数域

之二、线性相关与线性无关 一、方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3 个 ? 2 个 ? 某个方程是其余方程的线性组合  线性相关

例 1 如下向量 u ， v ， w 是否共面 ? (1) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (3,2,6). (2) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (1,-3,13). (3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (1,-3,6). 有解 λ 1 = - 7, λ 2 = 4, -7u+4v = w 解 (1) 易见 u+v =w, 这三个向量共面. (2) 解方程组求实数 λ 1, λ 2 使

(3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w = (1,-3,6). 方程组 λ 1 u+ λ 2 v = w 无解。 还需解 λ 1 u+ λ 3 w = v, 仍无解。 还需解 λ 2 v + λ 3 w = u, 仍无解。 解三个方程太繁琐！ 只须解一个方程 λ 1 u  λ 2 v  λ 3  w  有 ( 无 ) 非零解  线性相 ( 无 ) 关

对任意向量  λ 1  λ 2  λ 3  有 ( 无 ) 非零解  线性相 ( 无 ) 关 当 λ 3 不为 0, 当 λ 2 不为 0, 当 λ 1 不为 0,

二、线性相关 ( 无关 ) 的定义 V 是数域 F 上向量空间,u 1,…,u m 是 V 中向量. 如果存在 F 中不全为 0 的数 使 (2.1) 就称向量组 u 1,…,u m 线性相关. 反之, 如果 (2.1) 仅当 成立, 就称向量组 u 1,…,u m 线性无关. (1) 可以看成关于未知数 的方程。 方程有 ( 无 ) 非零解  向量组线性相 ( 无 ) 关

例 2. 求方程的实数解 则原方程为 : u + v = w 我们有 : -7u 2 + 4v 2 = w 2 将原方程代入 : -7u 2 + 4v 2 = (u+v) 2 整理得 - 8u 2 -2uv+3v 2 = 0 分解因式得 (v-2u)(3v+4u) = 0 v=2u, 解:令解:令

 方程组线性相关  有多余的方程（是其余方程的线性组 合） 删去多余的方程 ---- 打假 将打假进行到底  极大线性无关组 剩下的方程的个数 ---- 秩 rank 三、极大线性无关组，秩

秩的唯一性 方程组 ( A 1, A 2, A 3 ) 与 ( B 1, B 2 ) 互为线性组合 A 1 = a 11 B 1 +a 12 B 2 A 2 = a 21 B 1 +a 22 B 2 A 3 = a 31 B 1 +a 32 B 2 x 1 A 1 + x 2 A 2 + x 3 A 3 = 0 : (a 11 x 1 +a 21 x 2 +a 31 x 3 ) B 1 +(a 12 x 1 +a 22 x 2 +a 32 x 3 ) B 2 = 0 未知数个数 3 > 方程个数 2  方程组有非零解 ( x 1, x 2, x 3 )  A 1, A 2, A 3 线性相关. 方程可以换成任意对象, 只要仍有加法和数乘 且满足运算律, 证明仍成立  抽象向量空间

四、线性相关 ( 无关 ) 的重要应用 --- 基、坐标与维数 在 3 维几何向量组成的空间 V 中, 我们取 3 个不 共面的向量 α 1, α 2, α 3 组成一组基, 将空间中每个向 量 u 唯一地写成 α 1, α 2, α 3 的线性组合 : α=xα 1 +yα 2 +zα 3 将 3 个系数组成的数组 (x,y,z) 称为 α 的坐标, 用来代 表 α.

为什么 V 中每个向量 α 都能写成这三个向量 α 1, α 2, α 3 的线性组合 ? 为什么系数 x,y,z 是唯一的 ? 在任意域 F 的线性空间 V 中能否类似地找到一 组向量 α 1, α 2,…, α n 组成一组基, 使得 V 中的每个向 量 α 都能唯一地写成这组向量的线性组合, 从而可 以将线性组合的系数组成坐标来代表这个向量 ? 如果能, 这组基 α 1, α 2,…, α n 应当满足什么样 的条件 ?

例 3 设 V 是数域 F 上线性空间, {u 1, u 2,…, u n } 是 V 中的向量组成的向量组. 假如 V 中向量 u 能写成 u 1, u 2,…, u n 的线性组合 u = x 1 u 1 +x 2 u 2 +…+x n u n (4.1) 在什么情况下, 由 u = x 1 u 1 +x 2 u 2 +…+x n u n = y 1 u 1 +y 2 u 2 +…+y n u n 可以推出 x i = y i, i = 1,2,…,n 从而线性组合式 (2.5) 中的系数 x 1, x 2,…, x n 由 u 唯 一决定 ?

解 当且仅当 u 1, u 2, …, u n 线性无关时, 由 (4.3) 可得 x 1 u 1 +x 2 u 2 + … +x n u n = y 1 u 1 +y 2 u 2 + … +y n u n (4.2) (x 1 -y 1 )u 1 +(x 2 -y 2 )u 2 + … +(x n -y n )u n = 0 (4.3)

由此可知, 当且仅当 u 1, u 2,…, u n 线性无关时, 凡是能由 u 1,u 2,…,u n 线性组合出来的向量 u = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x n u n, 此线性组合表达式中的系数 x 1,x 2,…,x n 就由 u 唯一 决定, 可以组成坐标 (x 1,x 2,…,x n ) 来表示向量 u. 为了将 V 中所有的向量都用坐标来表示, 还需要 选取这样的线性无关向量组 {u 1, u 2,…, u n }, 使 V 中 所有的向量都能表示成 u 1, u 2, …, u n 的线性组合.

定义 设 V 是数域 F 上的线性空间. 如果 V 上存 在一组由有限个向量组成的线性无关向量组 α=x 1 α 1 +x 2 α 2 +…+x n α n, (4.4) B ={ α 1, α 2, …, α n } 使 V 中每个 α 都能写成 B 中向量的线性组合 则 V 称为有限维线性空间, B 称为 V 的一组基, B 中向量个数 n 称为 V 的维数。表达式 (4.4) 中 的线性组合系数组成的数组 (x 1,x 2, …,x n ) 称为 α 在基 B 下的坐标。

例 4 已知向量组 u 1,u 2,u 3 线性无关. 试判断 u 1 +u 2,u 2 +u 3,u 3 +u 1 线性相关还是线性无关 解法 1 设数 λ 1,λ 2,λ 3 满足条件 (4.5) (4.6) 由于 u 1,u 2,u 3 线性无关, (4.6) 成立仅当 (4.7) 解法 2 以 u 1,u 2,u 3 为子空间的基, 将所要判 断的向量写成坐标 (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1). 方程组 (4.7) 只有零解. u 1, u 2, u 3 线性无关。

五、齐次线性方程组的解集 齐次线性方程组 可写成 (5.2) (5.1) 其中

 齐次线性方程组的解集是子空间。 解空间维数 = 未知数个数 – 方程组的秩 dim V A = n – rank A 都是 (5.2) 的解. X+Y 与  X 也都是 (5.2) 的解。

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