OTTO VON GUERICKE UNIVERSITÄT MAGDEBURG Professorin: apl. Prof. Dr. rer. nat. habil. Heidemarie Bräsel Graphentheorie in der Schule Graphentheorie in der Schule „Eulerkreise/-wege & Hamiltonkreise/-wege“ Vorstellung von Anna-Lisa Köthke Magdeburg,

Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 2 Graphentheorie in der Schule Aufgabenstellung Stellen Sie für 4 Unterrichtseinheiten zum Thema „Eulerkreise/-wege & Hamiltonkreise/-wege“ Anregungen, graphentheoretische Grundgedanken und Aufgaben mit Lösungen für die Anwendung im Unterricht zusammen, der Jugendlichen einen Zugang in die Denkweise der heutigen mathematischen Basisgebiete ermöglicht.

Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 3 Übungsblatt 1: Eulerwege In einem Einkaufszentrum befinden sich 4 Eingänge zum Besuch verschiedener Passagen. Die Eingänge zu den Passagen stellen die Knoten dar bzw. die Kanten die Einkaufsstraßen. a) Um alle Passagen besuchen zu können und möglichst nur jede Einkaufsstraße einmal zu benutzen soll auf dem gegebenen Graphen ein Eulerweg gefunden werden. Nehmen Sie Ihre Formelsammlung zur Hilfe. b) Ist es möglich, zum gewählten Eingang zurückzukehren, auch wiederum möglichst nur jede Einkaufsstraße einmal benutzen? Wie nennt sich solch ein spezieller Weg? Tipp: Überlegen Sie, welcher Startknoten am sinnvollsten zu wählen ist. Graphentheorie in der Schule

Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 4 Übungsblatt 2: Eulerkreise Es sind mehrere Graphen gegeben. Überprüfen Sie, ob in den Graphen ein Eulerkreis existiert. Graphentheorie in der Schule

Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 5 Graphentheorie in der Schule Übungsblatt 3: Hamiltonwege 1. Die 'klassische' Variante: Finde eine Rundreise mit dem Start FDCBG 2. Es werden drei Startorte und der Zielort für eine nicht geschlossene Reise vorgegeben: starte mit FDC und ende bei T 3. Einige Startorte sind vorgegeben, dann soll es nach einer gewissen Anzahl von Zügen keine Möglichkeit der Reisefortsetzung mehr geben (Sackgasse): starte mit QXYT, nach 6 weiteren Stationen soll die Fortsetzung unmöglich sein. 4. Reisen mit ausgeschlossenen Städten: der Beginn der Reise lautet FDC, B soll die letzte Station sein, der Knoten M darf nicht besucht werden.

Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 6 Graphentheorie in der Schule Übungsblatt 4: Hamiltonkreise Für Schachspieler: Auch auf dem Schachbrett kann man die Graphentheorie anwenden. Wenn man sich die Frage stellt, ob ein Turm so ziehen kann, dass er alle Felder durchläuft und wieder am Ausgangsfeld ankommt, können Graphen bei der Beantwortung der Frage helfen. Zur Vereinfachung kann man die Situation zunächst mit einem 4x4-Schachbrett betrachten. Die einzelnen Felder werden jetzt durch Knoten, die Zugmöglichkeiten von jeweils einem Schritt als Kanten dargestellt. Die Aufgabe lautet: Finden Sie in dem entstandenen Graphen einen Hamiltonkreis! Gibt es auf dem 4X4-Schachbrett für den Springer einen Hamiltonkreis ?