連續隨機變數 連續變數：時間、分數、重量、…… 討論連續隨機變數的機率時，所討論的機率是某一段區間或某一塊區域的機率，如： P(a<X<a) 而不是某一點的機率，因為 P(X=a) = 0 依據什麼來求機率值？ 資料的分布以直方圖表示 STAT0_normal

Frequency Table for trout length 組界 midpoint Frequency Relative Frequency Cumulative frequency r.c.f. below 17.55 16.95 3 0.050 17.55 - 18.75 18.15 8 0.133 11 0.183 18.75 - 19.95 19.35 23 0.383 34 0.567 19.95 - 21.15 20.55 17 0.283 51 0.850 21.15 - 22.35 21.75 6 0.100 57 0.950 22.35 - 23.55 22.95 60 1.000 STAT0_normal

9.1 連續分配 直方圖 → 連續曲線 → 機率密度函數 (probability density function) 9.1 連續分配 直方圖 → 連續曲線 → 機率密度函數 (probability density function) → P (a<X<b) 曲線的高度代表相對發生機會 (density) 連續曲線下方介於 a 與 b 之間的面積，即是其可能值出現在 a 與 b 之間的機率。 曲線下全面積 = 1 STAT0_normal

9.2 常態分布 常態曲線的數學方程式為 常態分布 pdf 的圖形是一個鐘型曲線，中心點為μ，左右對稱 STAT0_normal

常態分布由兩個參數決定 μ：平均數，σ：標準差，記作 N(μ, σ2 ) 不論參數如何變，形狀都是鐘形，中心點是μ，σ是寬度的代表值 μ不同σ相同 μ相同σ不同 μ不同σ不同 STAT0_normal

常態分布之機率密度函數 μ= 0 ，σ= 1 時，稱為標準常態分布，此變數通常記作 Z 如何求機率值？ N(μ, σ2 ) 之 pdf STAT0_normal

標準常態分布表 附表I ：標準常態分配曲線下方，z＝0與其他 z 值之間的面積 (機率值) P(0<Z<z) STAT0_normal

標準常態機率值表， P(0<Z<z) (z-table) 小數第二位 .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 P(0<Z<0.53) = ? STAT0_normal

求標準常態的機率 P(0<Z<0.53) = 0 到 0.53 間的面積 利用對稱性求： P(-0.25<Z<0) STAT0_normal

例9.3 求介於-1.2 與 0 之間的面積 介於 -1.20 與 0 之間的面積 ＝ 介於 1.20 與 0 之間的面積 例9.3 求介於-1.2 與 0 之間的面積 解答： 介於 -1.20 與 0 之間的面積 ＝ 介於 1.20 與 0 之間的面積 查附表I ，面積 ＝ 0.3849。 STAT0_normal

範例9. 4：請找出下列標準常態分配的機率 (a) P(Z< 0. 94)； (b) P(Z > -0 範例9.4：請找出下列標準常態分配的機率 (a) P(Z< 0.94)； (b) P(Z > -0.65)； (c) P(Z >1.76)；(d) P(Z< -0.85)； (e) P( -0.87<Z<1.28)；(e) P( -0.34 <Z< 0.62)。 解答： STAT0_normal

常態分布特性 P(|Z|<1) = ？ P(|Z|<2) = ？ P(|Z|<3) = ？ STAT0_normal

常態變數與 Z 的關係 若 X ~ N (μ, σ2 ), 則 (X-μ) / σ = Z X-μ ：資料減 µ，則中心點為 0 STAT0_normal

變數標準化 標準化： STAT0_normal

求任一常態變數的機率 若 X 遵循一常態分布，μ= 5，σ = 2，求： P(5<X<8) P(7<X) STAT0_normal

P(12<X<15) = P(0.4 < Z < 1) = 0.3413－0.1554 ＝0.1859 解答： 將 x＝12與 x＝15轉換成標準單位，得到 P(12<X<15) = P(0.4 < Z < 1) = 0.3413－0.1554 ＝0.1859 (查附表I，得到0.1554與0.3413) STAT0_normal

由機率求得對應的資料 (percentile) (a) P(Z>a) = 0.2, 問 a=？ (b) 求Z 之 80 percentile (c) P(Z <b) = 0.7，問 b=？ (d) P(|Z|<c) = 0.95 ，問 c=？ (e) P(|Z|>d) =0.10，問 d=？ 範例9.6：定義 zα為其右側面積為α之 z 值，求 (a) z.01 ，(b) z.05 STAT0_normal

解答： z 0.01 表示附表 I 的數值為0.5－0.01＝0.49， 0.4901對應的 z 值為2.33，所以 z0.01＝2.33。 最接近的數值，有0.4495與0.4505， 對應的 z 值分別為1.64與1.65，所以 z0.05＝1.645。 STAT0_normal

求機率對應的 x 值 若 X 遵循一常態分布，μ= 5，σ = 2， P(X>x)=0.05，x=? STAT0_normal

9.4 常態分配的應用 STAT0_normal

(b) x = 3 與 4，z＝2.29 與 z＝0.59，對應機率為 0.4890與 0.2224， 解答： x = 5，z＝1.10，其對應值（機率）為0.3643， 超過 5 的機率 = 0.5000－0.3643＝0.1357，或大約0.14。   (b) x = 3 與 4，z＝2.29 與 z＝0.59，對應機率為 0.4890與 0.2224， 介於3 與 4 的機率為0.4890－0.2224＝0.2666，或大約0.27。 STAT0_normal

σ= 0.04 、x＝6.00，面積 = 2% 最接近的數值是 0.4798 對應的 z 值為 2.05 解答： 最接近的數值是 0.4798 對應的 z 值為 2.05 解方程式，得 μ= 6.00 + 2.05(0.04) = 6.082 STAT0_normal