玻色-愛因斯坦凝聚態之數學問題 吳宗芳 國立高雄大學應用數學系

The History of BEC 光是電磁波的一種！ 但不能解決黑體輻射問題！ 磁的振動波 電的振動波 蘇格蘭學者馬克士威他建立了「電磁學」。根據馬克士威的說法，光是電磁波的一種。因此，他宣稱「光是粒子還是波」的爭論，最後由「波」獲勝。 不過，到了19世紀末，大約100多年前，物理學者遭遇到頭痛的「黑體輻射問題」。 所謂的「黑體輻射」，就是「物體加熱後射出來的光」。而馬克士威的理論，無法解釋這種「黑體輻射」現象。 那到底什麼是「黑體輻射問題」，這又要工業革命開始講起，當時對煤鐵的需求從18世紀末燃燒到19世紀，而由於鼓風爐的進步，因而發展出大規模的鋼鐵工業。 但不能解決黑體輻射問題！

About Blackbody Radiation 黑體輻射光譜 鼓風爐 計算結果 實驗結果 頻率 光 的 強 度 紅 紫 鼓風爐是一種可以熔化金屬礦石，提煉金屬的爐，將鐵礦和焦煤等等送入熱空氣，還製造生鐵，因為鼓風爐高度有幾十公尺，所以也有人稱之為高爐。 為了得到高品質的鐵，就要正確控制鼓風爐的溫度，但是在當時沒有可以用來測量熔鐵那幾千度高溫的設備，所以必須完全仰賴有長年工作經驗的工人，從爐內熔化的鐵的顏色，來判斷溫度。 想當然的，產業界希望能在不倚賴經驗與直覺的情況下，就可以知道正確的溫度，因而大量製造品質良好的鋼鐵。為了滿足這個需求，許多物理學家投入大量的心力，根據實驗，他們找到了「加熱到某個溫度，物體會發出什麼顏色的光」。 但是，這項實驗結果，卻無法用19世紀末建立完成的古典物理理論加以說明。物理學家做了很多假設，用理論導出光的顏色和強度之間的關係，但是都和實驗數據完全不符吻合。 所以，雖然根據實驗結果，可以測量出鼓風爐內的溫度，但是卻說不出道理，而這個問題，在物理學上被稱作「黑體輻射問題」。

About Blackbody 那為什麼不乾脆叫做「鼓風爐問題」，而要叫做「黑體輻射問題」。 因為物體一旦帶有顏色，研究條件就會變的很複雜，所以需要一種可以完全吸收任何光的黑體作為研究對象。但是在自然界並沒有絕對的黑體存在，那只是一種理想化的情況，所以設計了相當近似黑體的物體。 假設一個中空的球體，並在表面開個小孔，從小孔射入的光會被黑色的球體吸收，即使未被完全吸收，也會在反射過程中，漸漸被吸收。光幾乎沒有任何機會，可以再從同一個小孔跑出來，因此可以視為完全黑體。 加熱此黑體，會有各種顏色的光，從球壁上被輻射到球體內，所有的光被球壁反射、吸收、反射、吸收，最後達到平衡狀態。就可以從小孔觀察到黑體所輻射出的光。

Plank and Einstein 假設光的能量分布是不連續 光是由光量子所組成的！ 而為了解決現有理論無法解釋的「黑體輻射問題」，德國物理學者蒲朗克發表了全新學說，他提出「光的能量分布是不連續」的假設，雖然假設和推導出的公式，可以圓滿解決實驗數據，但是卻沒有人可以明確的指出，假設的真正意義為何。 到了1905年，愛因斯坦發表了篇論文，引用蒲朗克所提出的假設，並加以闡述：認為光根本是由，有限數目，不連續，不可再分割的光量子所組成的，說明光在某些場合，會呈現出像是一顆一顆粒子的性質。 但是，當時的學術界，並無法立即接受愛因斯坦的說法，對於光量子保持保留且質疑的態度。

Bose’s Idea 光子是不可分辨的！ Old <8種情況> New <4種情況> 然而，印度物理學家玻色，體驗到愛因斯坦這篇論文跨時代的貢獻，因此從另一種統計觀點，把這兩種概念結合在一起，從新討論黑體輻射的能階，而這嶄新的概念，就是「光子是不可以分辨的」。 意思就是，我們無法說明它們之間有什麼不同，也無法為它們貼上標記，這在排列組合的計算下，與很分辨的粒子，有很大的不同， 例如，要把三位同學分為兩邊，在可判斷黃綠紅三位同學之下，會發生8種分法。而要是在搞不清楚是誰的情況下，在我們的眼裡就只會有4種情況發生。因為無法說出學生的不同，所以分辨學生這件事沒有任何意義的，這就是會的到不同答案的原因，而這也是玻色統計中，最重要的精神。 因此，玻色完美的解釋黑體輻射的實驗數據。 光子是不可分辨的！

Call Help 只不過，對於一個來自印度的年輕教授玻色而言，之前沒有任何值得讓人眼睛一亮的成績，也沒有任何大師級人物幫他背書，再加上他所修改的是得獎論文，種種因素都使得他所提出的觀點，在當時並未受到重視，也因此論文慘遭退稿。

Bose-Einstein Condensation 但是玻色他不甘心，決心求助當時已享有盛名的愛因斯坦，隨後將論文寄給他，希望愛因斯坦能肯定他論文的價值，而愛因斯坦也沒有讓他失望，擴展了這篇論文，並預言現在稱為「玻色-愛因斯坦凝聚」的現象。

About BEC At Low Temperature, all Atoms assemble at The Lowest Energy Level 當時玻色及愛因斯坦表示，當原子的溫度降到極低，原子便會大量聚集在最低能階。而處於這種狀態的大量原子的行為，就像是一個超大的原子。 打個比方，就像散亂吵鬧的學生，突然接到老師「集合向前走」的命令，於是迅速的集合在一起，像一個學生整齊的向前走去。

Named A New State of Matter Higher Energy Lower Temperature 後來物理界因為這狀態和玻色與愛因斯坦有關，且是指不同能階的原子，因為製冷，而突然「凝聚」到同一個能階，所以就將這新的物質態，稱作「玻色-愛因斯坦凝聚」 不過要達到「玻色-愛因斯坦凝聚」的條件極為嚴苛：一方面需要到的極低的溫度，另一方面在極低溫度下，還需要原子團保持氣態，所以有一段時間，沒有任何物理系統認為與「玻色-愛因斯坦凝聚」現象有關。 後來，物理學家發現可以使用稀薄的金屬原子氣體當做研究對象，因為金屬原子氣體有個很好的特性：不會因為製冷而出現液態，更不會高度聚集而形成常規的固態。

First Achieve BEC June, 1995 Rubidium Atom (銣原子) Laser Cooling 而制冷技術則是到了1995年6月，兩位美國科學家魏曼和柯內爾利用雷射冷卻技術，首次將銣原子冷卻，而獲得「玻色-愛因斯坦凝聚」。 美國科羅拉斯大學 Carl E. Wieman (魏曼 ) 美國科羅拉斯大學 Eric A. Comell (柯內爾 )

Second Achieve BEC Sep, 1995 Sodium Atom (鈉原子) Evaporative Cooling 3個月過後，德國物理學家凱特勒，則以納原子作實驗，使用蒸發冷卻技術，也達成了「玻色-愛因斯坦凝聚」。 相較於傳統的低溫技術，雷射冷卻和蒸發冷卻，不需要液態氮，也不需要液態氦，實驗設備與系統處於室溫，且降溫過程也非常迅速，不單效率高，也可以達到前所未有的低溫。 因此2001年的諾貝爾物理獎獎頒發給他們三位，以表彰他們成功獲得稀薄鹼金族氣體的玻色愛因斯坦凝聚，與基本性質的研究。 美國麻省理工學院 凱特力 Wolfgang Ketterle

Laser Cooling And Trapping 雷射冷卻基本概念是讓原子吸收能量較低的光子，再釋放出能量較高的光子，為了遵守能量守恆原理，原子的動能必須降低，冷卻效果自然達成。 實驗上，空間中x,y,z軸三個方向，方別用兩道反方向行進的雷射光射向原子，讓原子不論朝空間中哪個方向運動，都會受到阻力，而阻力減慢了原子運動速度，即為降低動能，原子的溫度也跟著下降。 但是雷射光只是把原子減速，並沒有把原子抓住，所以加上個磁場，形成一個「磁阱」，把原子困在裡頭。 左圖來源: 三態以外的狀態 文/鄭仁瑋

Laser Cooling 字稿：徐琅 交通大學電子物理系徐琅教授，有個通俗的解說方式，打個比方： 利用柵欄和山谷侷限羊群的範圍，讓他們乖乖的在幕場裡吃草。 如果有羊想要逃跑，就像這隻黑羊，所以用幾隻牧羊犬在附近警戒，把逃跑或者迷失的羊抓回來。 慢慢的，羊群就會形成一個高密度低活動力的原子群，進而冷卻原子。 字稿：徐琅

<中正大學玻色-愛因斯坦凝聚實驗裝置> Experimental Device 中正大學物理系有個雷射冷卻實驗室，而這就是「玻色-愛因斯坦凝聚」的實驗裝置。 並且在2003年9月成功的產生「玻色-愛因斯坦凝聚體」。 <中正大學玻色-愛因斯坦凝聚實驗裝置> 圖片來源: 銣原子之玻色-愛因斯坦凝聚 文/韓殿軍

<磁阱中執行由涉頻波誘發之蒸發冷卻示意圖> Evaporative Cooling 蒸發冷卻的概念，以失去高能量原子，來達到冷卻的目的，因此問題就在，要如何尋找系統能量最高的原子，以及如何趕離。 一開始，將原子侷限在一個完全由磁場構成的位能陷阱裡，利用射頻波，一種可以選擇頻率的原件，讓能量較高的那些原子脫離陷阱的束縛，同時也帶走了能量，剩下的原子重新達到新的熱平衡，溫度也跟著下降，這是犧牲原子數目達到降溫的方法。 蒸發離開磁阱的原子 <磁阱中執行由涉頻波誘發之蒸發冷卻示意圖> 圖片來源: 銣原子之玻色-愛因斯坦凝聚 文/韓殿軍

Evaporative Cooling 這種蒸發冷卻，類似日常生活一杯熱水蒸發冷卻過程，當能量較高的水分子蒸發脫離水的表面，剩下能量較低的水分子重新達到熱平衡，整杯水的溫度也降跟著下降。

Rotating Bose-Einstein condensate

Rotating Bose-Einstein condensate

Application Of BEC Atomic Laser Hyper-Fine Atomic Clocks Measure The Earth Gravity 原子雷射： 玻色-愛因斯坦凝聚，是製造一個原子雷射的起源，因為原子所形成的物質波比光子有更短的波長，所以精密度更高。可以用來作為精密測量。 原子鐘： 原子鐘是利用銫原子內的電子振動，做為計時標準。當銫原子處於BEC時，其運動活動極慢，因此訊號的解析度也傳統的銫原子鐘好。這更精確的原子鐘，可以計算有史以來最短的時間間隔。科學家們預言這種時鐘可以提高航空技術、通信技術，同時可用於調整衛星運行的精確軌道等。 測量重力場強度(地心引力)： 當原子處於幾乎不動的狀態，因受到地心引力加速度的影響，會向下掉落。實驗中這現象叫做「原子噴泉」。科學家利用測量原子噴泉的速度，可以得到更精確的重力加速度。這對於探礦工作上有很大的幫助。(如果地下有礦物的話，因為質量會比土壤高，相對的地表地心引力就會大一些，其實這一些也可能只是大個幾億分之ㄧ的地心引力而已，傳統測量方式根本測不出來，不過，若是利用原子噴泉，就可以測量出那微的差異) 圖片來源: httpwww.nist.govpublic_affairsreleasesf1cesium.htm.jpg

Mathematical Model (two component) Mandel, Greiner, Widera, Rom, Hansch, Bloch, Nature 425 (2003)

Mathematical Model (two component)

Mathematical Model (two component)

Mathematical Model (two component)

Mathematical Model (Rotating)

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