第2章 激光器的工作原理 回顾 ——产生激光的三个必要条件： 1. 工作物质 2. 激励能源 3. 光学谐振腔 第2章 激光器的工作原理 回顾 ——产生激光的三个必要条件： 1. 工作物质 2. 激励能源 3. 光学谐振腔 前瞻 —— 研究谐振腔的几何理论和衍射理论 §2-1 光学谐振腔结构与稳定性 一.光腔的作用: 1.光学正反馈: 建立和维持自激振荡。 (提高间并度) 决定因素: 由两镜的反射率、几何形状及组合形式。 2. 控制光束特性: 包括纵模数目、横模、损耗、输出功 率等。

二.光腔 —— 开放式共轴球面光学谐振腔的构成 1.构成:在激活介质两端设置两面反射镜(全反、部分反)。

三.光腔按几何损耗(几何反射逸出)的分类: 2.   开放式: 除二镜外其余部分开放 共轴: 二镜共轴 球面腔: 二镜都是球面反射镜(球面镜) 三.光腔按几何损耗(几何反射逸出)的分类: 光腔 (光腔中存在着伴轴模,它可在腔内多次传播而不逸出腔外) (几何光学损耗介乎上二者之间) (伴轴模在腔内经有限数往返必定由侧面逸出腔外,有很高的几何光学损耗)

2.1.1共轴球面谐振腔的稳定性条件 一.光腔稳定条件: 1.描述光腔稳定性的g参量,定义: L 其中 L ---- 腔长(二反射镜之间的距离) , L＞0 ; Ri ---- 第i面的反射镜曲率半径(i = 1,2); 符号规则: 凹面向着腔内时(凹镜) Ri＞0 , 凸面向着腔内时(凸镜) Ri＜0。 对于平面镜， s——物距 s´——象距 成像公式为: f ——透镜焦距

2.光腔的稳定条件: (1)条件:使傍轴模(即近轴光线)在腔内往返无限多次不逸 出腔外的条件, 即近轴光线几何光学损耗为零, 其 数学表达式为 (2)据稳定条件的数学形式, 稳定腔: 非稳腔: 或 临界腔: 或 g1 g2=0

2.1.2 共轴球面谐振腔的稳定图及其分类 一。常见的几类光腔的构成: *(以下介绍常见光腔并学习用作 图方法来表示各种谐振腔)

由两个凹面镜组成的共轴球面腔为双凹腔。这种腔的 稳定条件有两种情况。 (一）稳定腔: 1.双凹稳定腔: 由两个凹面镜组成的共轴球面腔为双凹腔。这种腔的 稳定条件有两种情况。 其一为： 且 证明： ∵ R1＞L ∴ 即：0＜g1＜1 ，同理 0＜g2＜1 所以：0＜g1g2＜1 其二为： R1＜L R2＜L 且 R1+R2＞L 证明：∵R1＜L ∴ 即 g1＜0

同理：g2＜0 ，∴g1g2＞0 ；又∵ L＜R1+R2 ∴ 即 g1g2＜1 0＜ g1g2＜1 如果 R1=R2 ，则此双凹腔为对称双凹腔，上述的两种稳 定条件可以合并成一个，即： R1=R2=R＞L/2

2.平凹稳定腔: 由一个凹面发射镜和一个平面发射镜组成的谐振腔称为平 凹腔。其稳定条件为：R＞L 证明：∵ R1＞L , ; R2　　∞, g2= 1 ∴

3.凹凸稳定腔: 由一个凹面反射镜和一个凸面反射镜组成的共轴球面 腔为凹凸腔.它的稳定条件是: R1＜0, R2＞L , 且 R1+R2＜L . 或者:R2＞L , 可以证明: 0＜g1 g2＜1. (方法同上)

(二).非稳腔 : g1 g2＞1 或 g1 g2＜0 1. 双凹非稳腔: 由两个凹面镜组成的共轴球面腔为双凹非稳腔.这种腔的稳定条件有两种情况. 其一为: R1<L, R2>L 此时 所以 g1 g2＜0

其二为: R1+R2＜L 可以证明: g1 g2＞1 (证明略) 2.平凹非稳腔 稳定条件: R1＜L , R2= ∞ 证明 : ∵g2=1, g1＜0 ∴ g1 g2＜0

3.凹凸非稳腔 凹凸非稳腔的非稳定条件也有两种: 其一是: R2＜0, 0＜R1＜L 可以证明: g1 g2＜0 其二是: R2＜0, R1+R2＞L 可以证明: g1 g2＞1 4.双凸非稳腔 由两个凸面反射镜组成的共轴球 面腔称为双凸非稳腔. ∵ R1＜0, R2＜0 ∴g1 g2＞1

临界腔属于一种极限情况,其稳定性视不同的腔而不同. 在谐振理论研究和实际应用中,临界腔具有非常重要的意义. 5.平凸非稳腔 由一个凸面反射镜与平面反射镜 组成的共轴球面腔称为平凸腔。平 凸腔都满足g1 g2＞1 。 (三)临界腔: g1 g2 = 0 , g1 g2= 1 临界腔属于一种极限情况,其稳定性视不同的腔而不同. 在谐振理论研究和实际应用中,临界腔具有非常重要的意义. —— 共焦腔焦点在腔内，它是双凹腔 ——共焦腔焦点在腔外，它是凹凸腔

1.对称共焦腔——腔中心是两镜公共焦 点且： R1= R2= R = L=2F F——二镜焦距 ∵ g1 = g2 = 0 ∴ g1 g2 = 0 可以证明，在对称共焦腔内，任意傍轴光线可往返多次而不 横向逸出，而且经两次往返后即可自行闭合。这称为对称共 焦腔中的简并光束。整个稳定球面腔的模式理论都可以建立 在共焦腔振荡理论的基础上，因此，对称共焦腔是最重要和 最具有代表性的一种稳定腔。

2.半共焦腔——由共焦腔的任一个凹面反射镜与放在公共 焦点处的平面镜组成 R = 2L g1 = 1 , g2 = 1/2 故 g1 g2 =1/2＜1 （稳定腔） 3.平行平面腔——由两个平面反射镜组成的共轴谐振腔 R1=R2=∞，g1=g2=1， g1 g2=1

4.共心腔—— 两个球面反射镜的曲率中心重合的共轴球 面腔 实共心腔——双凹腔 g1＜ 0 ，g2＜ 0 虚共心腔——凹凸腔 g1＞ 0 ，g2＞ 0 都有 R1+R2= L g1 g2 =1 （临界腔） 光线即有简并的，也有非简并的

1.作用:用图直观地表示稳定条件,判断稳定状况 *(光腔的) 二.稳定图: 稳定条件的图示 1.作用:用图直观地表示稳定条件,判断稳定状况 *(光腔的) 2.分区: 图上横轴坐标应为 ,纵轴坐标应为 稳定区: 由 (二直线) g1= 0、g2= 0 和 *(二支双曲线) g1g2 = 1 线所围区域(不含边界) *(图上白色的非阴影区) 临界区: 边界线 非稳区: 其余部份 *(阴影区) 图(2-2) 共轴球面腔的稳定图 *一球面腔(R1 ,R2 , L)相应的(g1 ,g2) 落在稳定区, 则为稳定腔 *一球面腔(R1 ,R2 , L)相应的(g1 ,g2)落 在临界区(边界线), 则为临界腔 *一球面腔(R1 ,R2 , L)相应的(g1 ,g2)落 在非稳区(阴影区), 则为非稳腔

3.利用稳定条件可将球面腔分类如下: (1) 稳定腔 (0<g1 g2 <1) 双凹稳定腔，由两个凹面镜组成，对应图中 图(2-2) 共轴球面腔的稳定图 3.利用稳定条件可将球面腔分类如下: (1) 稳定腔 (0<g1 g2 <1) 双凹稳定腔，由两个凹面镜组成，对应图中 l、2、3和4区. (0＜g1＜1 ，0＜g2＜1 ; g1＜0, g2＜0) 平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成， 对应图中AC、AD段（0<g1<1 ,g2=1; 0<g2<1 ,g1=1) 凹凸稳定腔，由一个凹面镜和一个凸面镜组成，对应图中5区和6区。 (g1>1,g2<1; g2>1,g1<1) 共焦腔，R1＝R2＝L，因而，g1=0，g2=0，对应图中的坐标原点。 半共焦腔，由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组成的腔,对应图中E和F点g1=1，g2=1/2 (2) 临界腔 :g1 g2 = 0 , g1 g2= 1 平行平面腔，对应图中的A点。只有与腔轴平行的光线才能在腔内往返g1=1，g2=1 共心腔， 满足条件R1＋R2＝L，对应图中第一象限的g1g2＝1的双曲线。 半共心腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成，对应图中C点和D点。 g1=1，g2=0 (3) 非稳腔 :g1 g2＞1 或 g1 g2＜0 对应图中阴影部分的光学谐振腔都是非稳腔。

1——平行平面腔 2——半共焦腔 3——半共心腔 4——对称共焦腔 5——对称共心腔 稳区图

2.1.3 稳定图的应用 一.制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取值范围如何确定？ 由于对称稳定腔有: R1= R2= R 即: g1 = g2 图(2-2) 共轴球面腔的稳定图 所以对称稳定腔的区域在稳定图的A、B的连线上. A点: g1 = g2 1 R1= R2　　　　∞ B点: g1 = g2 - 1 R1= R2　　　　 因此,反射镜曲率半径的取值范围: 最大曲率半径R1= R2　　　　∞ 是平行平面腔; 最小曲率半径R1= R2　　　　 是共心腔

二.给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的曲率半径，其取值范围如何确定? 图(2-2) 共轴球面腔的稳定图 例如: R1 = 2L 则 g1 =0.5 在稳定图上找到C点,连接CD两点, 线段CD就是另外一块反射镜曲率半径的取值范围.

三.如果已有两块反射镜，曲率半径分别为R1、R2，欲用它们组成稳定腔，腔长范围如何确定？ 令k =R2/R1 例k =2 得直线方程 图(2-2) 共轴球面腔的稳定图 在稳定范围内做直线AE、DF， 在AE段可得 0<L<R1 同理：在DF段可得 2R1<L<3R1

例: 某稳定腔两面反射镜的曲率半径分别R1=-1m 及 (1)这是哪一类型谐振腔? (2)试确定腔长L的可能取值范围, 并作出谐振腔的简 单示意图。 (3)请作稳定图并指出它在图中的可能位置范围。 解.(1)R1＜0 (凸镜)而R2＞0 (凹镜)且稳定, 是凹凸稳定腔。 (2)稳定腔应满足

（A） 先考虑(A)式左边的不等号即 时 ∴ ∵ 又∵ (因 且 ) 再考虑(A)式右边的不等号即 时 ∴ ∵ 即 ∴ 故得腔长取值范围为

z R2=1.5m R1=-1m L

(3)把腔长取值范围 分别代入 和 的表达式可得 和 可见此腔位于稳定图中的可能范围是第一象限内由 三条直线 、 、 、 以及双曲线 的一支所围成区域(不包括 边界)。即下图阴影区内:

g1 g2 g1=2.5 g2=1.5 g1g2=1 g2=2/3