1/108 随机信号分析
2/116 第 2 章 随机信号
3/ 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号 目 录
4/ 定义与基本特性 概念与定义 1. 典型例子 （ 1 ）贝努里实验 : 其样本空间只有两个样本点，即 只有两个可能结果 : A 和 。 在掷币实验中，贝努里随机变量 可以表示为 :
5/116 有概率 若重复在 t = n ( n=1, 2, …) 时刻上，独立进行相 同的掷币实验, 构成一随机变量序列 n
6/116 则有 其概率
7/116 n n 0 1 所有随机变量序列的集合就是随机信号。 每一个随机变量序列称为一个样本， 也叫一个实现。
8/116 （ 2 ）时间连续的随机现象 观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。 每一个波形称为样本函数，也叫一个实现。 所有波形的集合就是随机信号。
9/ 随机信号的定义 定义 : 设随机实验的样本空间 ，对于空间 的每一个样本 ，总有一个时间函数 与之对应, 对于空间的所有样 本 ，可有一族时间函数 与之 对应，这族时间函数称为 随机信号 。 定义 : 设 是随机实验 E 的样本空间，若对于每 个样本点, 都有唯一的实数 与之对应, 且对于任意实数 ，都有确定 的概率与之对应，则称 为 随机变量 。
10/ 随机信号的表征 ( 数学模型 ) （ 1 ）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量 随机信号可视为许多随机变量的集合； X(t,ξ 1 ) X(t,ξ 2 ) X(t,ξ 3 ) X(t,ξ 4 ) X(t1,ξ)X(t1,ξ)X(t2,ξ)X(t2,ξ)X(t n,ξ) X(t,ξ) t
11/116 n n 0 1
12/116 （ 2 ）随机信号可视为所有样本函数的集合； X(t,ξ 1 ) X(t,ξ 2 ) X(t,ξ 3 ) X(t,ξ 4 ) X(t,ξ) t
13/116 n n 0 1
14/116 （ 3 ）当时刻 t 与样本 都固定时，随机信号是 一个实数，称之为状态； X(t,ξ 1 ) X(t,ξ 2 ) X(t,ξ 3 ) X(t,ξ 4 ) X(t,ξ) t t1t1 n
15/116 （ 4 ）当时刻 t 与样本 都发生变化时，就构成随 机信号的完整概念。 X(t,ξ 1 ) X(t,ξ 2 ) X(t,ξ 3 ) X(t,ξ 4 ) X(t,ξ) t n
16/ 随机信号的分类及举例 （ 1 ）时间离散、取值离散 D.R.Seq. 例：贝努里 r.s. n
17/116 例：一脉冲信号发生器传送的信号 （ 2 ）时间连续、取值离散 D.R.P.
18/116 （ 3 ）时间连续、取值连续 C.R.P. 例：正弦型信号 ①② ③
19/116 （ 4 ）时间离散、取值连续 C.R.Seq. 例：每隔单位时间对噪声电压抽样 n
20/ 基本概率特性 1. 例子
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23/ 一阶（维）概率分布和密度函数 一阶概率分布函数定义： 一阶概率密度函数定义：
24/116 t x f X (x; t)
25/
26/116 联合密度函数： 联合分布函数 ： 离散型二维随机向量的概率特性
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28/ 二阶（维）概率分布和密度函数 二阶概率分布函数定义： 二阶概率密度函数定义： 4. 分析随机过程本质上就是分析相应的随机变量
29/ 基本数字特征 任取 t 时，随机变量 X(t) 的统计平均，定义为 t1t1 t2t2 t3t3 1. 随机信号的均值 t4t4
30/116 对 R.Seq. :
31/116 例：求随机过程正弦波 的数学期 望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是 区间 [0 ， ] 上均匀分布的随机变量。 解：由题可知： （1）（1） ＝ 同理
32/116 （2）（2） ＝ ＝ ＝ 可知
33/116 （3）（3） ＝ ＝ ＝
34/ 随机信号的自相关函数 任取 时，两个随机变量 的相 关矩，定义为 C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。
35/116 自相关函数的性质： （ 1 ）相关的概念表征了随机信号在两时刻之间 的关联程度； （ 2 ）同一时刻之间的相关性大于等于不同时刻 之间的相关性； （ 3 ）实际中的大多数随机信号，当两观察时刻 越远，相应随机变量的相关性通常越弱； （ 4 ）自相关函数具有功率的量纲。
36/ 随机信号的协方差函数与方差函数 (1) 协方差函数 联 任取 时，两个随机变量 的联合 中心矩，定义为 C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。
37/116 当 时，协方差函数退化为方差函数 (2) 方差函数 C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。
38/116 X(t) 的均方差（或标准差）函数为
39/ 相关系数 类似于随机变量的相关系数，定义为 同样，有关系式： 当 时，
40/ 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号 目 录
41/ 典型信号举例 随机正弦信号 电路与系统中，几乎总要产生、发送与接收 正弦振荡信号，它本质上都是随机的。 部分或全部是随机变量。
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43/116 随机相位信号（随相信号）： 讨论随相信号 X(t) 的基本特性： 1. 均值
44/ 自相关函数
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46/116 都服从一维高斯分布： 4. 一阶概率密度函数
47/ 伯努利随机序列
48/116 n X （ n,ξ n ） 0 1 …… X（9，ξ）X（9，ξ） n X （ n,ξ 1 ） 数字通信中，串行传输的二进制比特流是 伯努利序列，是通信中最常用的数学模型之一。
49/ 均值 2. 自相关函数 讨论伯努利随机序列 X(n) 的基本特性：
50/ 一阶概率密度函数
51/ 半随机二进制传输信号
52/116 t t t
53/116 D1D1D1D1 D2D2D2D2 D3D3D3D3 t t t
54/ 均值 ， 讨论半随机二进制传输信号 X(t) 的基本特性：
55/ 自相关函数令 若位于同一时隙 ，有 ， 若位于同一时隙 ，有 ， ， 若位于不同时隙 ，有, 合并两种情况，有 则 则
56/116 当 ， 有
57/ 一阶密度函数
58/116 随机信号还可以分为： 可预测随机信号（或称确定的随机信号）： 可预测随机信号（或称确定的随机信号）： 信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过 去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。 信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过 去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。 不可预测随机信号（或称不确定的随机信号）： 不可预测随机信号（或称不确定的随机信号）： 信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过 去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。 信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过 去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。
59/ 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号 目 录
60/ 一般特性与基本运算 1. n 维概率分布与密度函数 n 个随机变量 的 n 维联合概 率分布函数为： n 阶概率特性 t1t1 t2t2 t3t3 tntn X(t) t
61/116 则称 为其 n 维概率密度函数。 如果存在 ，使 2. n 维特征函数 任取 与
62/ 随机信号的 n ＋ m 维联合概率分布和密度函数 两个不同 r.s.X(t) 与 Y(t) 之间的联合概率特性。 对随机信号 X(t) 任取 时，获得 n 个 随机变量 ; 联合特性 对随机信号 Y(t) 任取 时，获得 m 个 随机变量 。
63/116 t1t1 t2t2 t3t3 tntn X(t) t s1s1 s2s2 s3s3 smsm Y(t) t
64/116 定义 n ＋ m 维联合概率分布函数为 : 定义 n ＋ m 维联合概率密度函数为 :
65/ 随机信号的互相关函数与互协方差函数 两个不同随机信号 X(t) 与 Y(t) 的联合矩特性 互相关函数定义为 : 互协方差函数定义为 :
66/116 互相关系数定义为 :
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68/ 两个随机信号正交、线性无关与统计独立 (1) 正交 : 对于任意时刻, 都有 则称 X(t) 与 Y(t) 正交。 (2) 线性无关 : 对于任意时刻, 都有 则称 X(t) 与 Y(t) 线性无关。
69/116 （ 3 ）统计独立 : 对于 X(t) 和 Y(t) 的任一组随机 变量, 都有 则称 X(t) 与 Y(t) 彼此统计独立。 两个随机信号的正交、线性无关与统计独立 三者关系与两个随机变量间的完全相同。
70/116 ★ 统计独立性，线性无关性和正交性的关系 1. 两个随机信号统计独立，它们必然是线性无关的； 2. 两个随机信号线性无关，不一定互相独立； 3. 在两个随机信号中任一均值为零时，线性无关 性与正交性是等价的； 4. 在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零 时，它们不是线性无关的，也不是相互正交的。
71/116 (a) 一般情况下 统 计 独 立 线 性 无 关 相 互 正 交 相 互 正 交 任一随机信号 均值为零
72/116 当 和 均为高斯随机信号时 : 统计独立性和线性无关性是等价的； (b) 高斯随机信号 线 性 无 关 统 计 独 立 进一步，且有一个均值为零时 : 独立性、线性无关性和正交性三者是等价的。 (c) 高斯随机信号，且 有一个均值为零 线 性 无 关 统 计 独 立 相 互 正 交
73/116 若 X(t) 与 Y(t) 正交，则 若 X(t) 与 Y(t) 无关，则 解:解:
74/ 相关函数与协方差函数的性质 性质 1 ：随机信号 X(t) 的自相关函数等满足 （ 1 ）对称性 （ 2 ）均方值为非负实数 （ 3 ）方差为非负实数 （4）（4）
75/116 （2）（2） （3）（3） 对信号进行中心化与归一化处理，则有 性质 2 ：随机信号 X(t) 与 Y(t) 的联合矩特性满足 （ 1 ）对称性
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78/ 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号 目 录
79/ 多维高斯分布与高斯信号 多维高斯分布 一维高斯分布 记为 1. 一维与二维高斯分布
80/116 一维高斯分布的特征函数为
81/116 二维高斯分布 记为
82/116 二维高斯分布的特征函数为
83/ 高斯随机信号 1. 定义 若对任意正整数 及， 元随机 的联合分布为 高斯分布，则称 该信号为高斯信号（或正态 变量维 信号）。
84/ 高斯随机信号的概率特性与数字特征 均值函数： 自相关函数： 协方差函数： 方差函数： 记为
85/116 概率密度函数： 特征函数： 一阶
86/116 （ 1 ）所有分布由其 和 决定； （ 2 ）经过线性变换 ( 或线性系统 ) 后仍然是高 斯信号； （ 3 ）它是独立信号的充要条件是 3. 高斯随机信号的性质
87/ 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号 目 录
88/ 独立信号 1. 定义 指它自身的任意随机变量之间彼此统计独立。 2. 概率特性 其 n 维概率分布 ( 或密度、特征 ) 函数满足：
89/116 自相关函数： 协方差函数： 自相关系数： 3. 数字特征 均值函数：方差函数：