BAB 1 - MANTIK Pembelajaran kaedah dan prinsip untuk membezakan di antara hujah yang baik dengan yang lemah. Memudahkan penyusunan idea-idea dengan teratur, menyelesaikan masalah dan mengenalpasti kesilapan dalam sesuatu hujah.

MANTIK (samb.) Ilmu cara berfikir (menaakul) Sama ada cara penaakulan itu BETUL/SALAH melalui perhubungan di antara pernyataan. Item penting : PERNYATAAN, PENGGABUNG, BENAR dan PALSU Logic is a science of the necessary laws of thought, without which no employment of the understanding and the reason takes places. (Immanuel Kant, 1785)

PERNYATAAN Pembolehubah yang asas dalam Mantik. Merupakan satu ayat penyata yang ringkas atau ayat pengisytiharan Mempunyai nilai kebenaran - BENAR atau PALSU (tidak kedua-duanya serentak) Nilai kebenaran : T(True), B(Benar), 1 (binari) F(False), P(Palsu), 0 (binari)

PERNYATAAN (samb.) Pernyataan boleh disimbolkan atau diwakilkan dengan huruf kecil; p, q, r … Contoh: Nama saya Ahmad. 1+1=2 Baju Ali merah.

PERNYATAAN (samb.) Contoh ayat BUKAN pernyataan Awas! Dilarang merokok. Di manakah pejabat awak? Siapakah pemilik bola itu? ARAHAN SOALAN

PENGGABUNG Pernyataan boleh digabungkan menggunakan penggabung. Juga dikenali sebagai operator, pengait, fungtor atau “connectives” Penggabung DAN ATAU NEGASI IMPLIKASI

PENGGABUNG (samb.) Pernyataan yang digabungkan menggunakan penggabung akan membentuk Pernyataan Gabungan (Compound Statements). Pernyataan yang tidak mempunyai penggabung disebut pernyataan mudah.

PENGGABUNG (DAN) Penggabung DAN Konjungsi (conjunction) Penggabung binari (melibatkan dua objek) Bersifat diadik Simbol

PENGGABUNG (DAN) Nilai kebenaran pernyataan gabungan tersebut bergantung kepada setiap pernyataan yang digabungkan. Pernyataan gabungan adalah BENAR jika kedua-dua pernyataan itu BENAR. Dapat dilihat melalui jadual kebenaran.

PENGGABUNG (DAN) JADUAL KEBENARAN p q p^q B P ** p^q - dibaca “p dan q” atau disebut sebagai konjungsi p dan q

PENGGABUNG (DAN) Contoh p : Hari ini hari Rabu. q : Hari ini hujan. p^q : Hari ini hari Rabu dan hari ini hujan. Pernyataan gabungan ini BENAR jika p dan q benar.

PENGGABUNG (ATAU) Penggabung ATAU Disjungsi (disjunction) Penggabung binari (melibatkan dua objek) Bersifat diadik Simbol

PENGGABUNG (ATAU) Nilai kebenaran pernyataan gabungan tersebut bergantung kepada setiap pernyataan yang digabungkan. Dapat dilihat melalui jadual kebenaran Terdapat 2 jenis ATAU ATAU Inklusif (INCLUSIVE-OR) ATAU Eksklusif (EXCLUSIVE-OR)

PENGGABUNG (ATAU) JADUAL KEBENARAN - ATAU INKLUSIF p q p q B P

PENGGABUNG (ATAU) p q ATAU INKLUSIF pernyataan gabungan ini dikira benar jika salah satu p atau q atau kedua-duanya benar. Pernyataan gabungan ini dikira palsu jika kedua-dua p dan q palsu.

PENGGABUNG (ATAU) JADUAL KEBENARAN - ATAU EKSKLUSIF p q p q B P

PENGGABUNG (ATAU) p q ATAU EKSKLUSIF pernyataan gabungan ini dikira benar jika salah satu p atau q benar. Pernyataan gabungan ini dikira palsu jika kedua-dua p dan q palsu atau benar.

PENGGABUNG (NEGASI) Penggabung NEGASI Penafian (negation) Penggabung uniair (melibatkan satu objek) Bersifat monadik Simbol ¬p atau ~p atau p

PENGGABUNG (NEGASI) Nilai kebenaran dapat dilihat melalui jadual kebenaran. p B P

Contoh DAN, ATAU dan NEGASI Tentukan nilai kebenaran pernyataan gabungan berikut jika: p : FTSM terletakdi Bangi, Selangor. q : Petaling Jaya merupakan ibu negeri Selangor. r : 3 > 5

Contoh DAN, ATAU dan NEGASI p v q p ^ r ~r v q ~p ^ ~r ~q q v ~p

PENGGABUNG (IMPLIKASI 1- jika … maka) Jika p dan q merupakan pernyataan, maka pernyataan gabungan yang menggunakan penggabung implikasi: Jika p maka q Dikenali sebagai pernyataan bersyarat (conditional statements) Simbol p merupakan hipotesis, p syarat cukup untuk q q merupakan kesimpulan, q syarat perlu untuk p

PENGGABUNG (IMPLIKASI 1) Contoh: Jika Jabatan Matematik menerima tambahan RM 20 000, maka Jabatan Matematik akan mengambil seorang pensyarah baru. p : Jabatan Matematik menerima tambahan RM 20 000. q : Jabatan Matematik mengambil seorang pensyarah baru. p = hipotesis , q = kesimpulan

PENGGABUNG (IMPLIKASI 1) JADUAL KEBENARAN - jika…. maka …. p q pq B P

PENGGABUNG (IMPLIKASI 1) Pernyataan gabungan “jika p maka q” mempunyai nilai kebenaran PALSU jika: Hipotesis (p) : BENAR Kesimpulan (q) : PALSU Selain daripada itu, pernyataan gabungan “jika p maka q” mempunyai nilai kebenaran BENAR.

PENGGABUNG (IMPLIKASI 1) CONTOH: katakan : p = 1 > 2 q = 4 < 8 pernyataan p adalah PALSU pernyataan q adalah BENAR Oleh itu: p  q adalah BENAR q  p adalah PALSU

PENGGABUNG (IMPLIKASI 2 – jika dan hanya jika) Jika p dan q merupakan pernyataan, maka pernyataan gabungan yang menggunakan penggabung implikasi: p jika dan hanya jika q Dikenali sebagai pernyataan dwisyarat (biconditional statements) Simbol p  q

PENGGABUNG (IMPLIKASI 2) JADUAL KEBENARAN – jika dan hanya jika B P p  q q p

PENGGABUNG (IMPLIKASI 2) Pernyataan gabungan “p jika dan hanya jika q” mempunyai nilai kebenaran BENAR jika: kedua-dua p dan q adalah BENAR dan kedua-dua p dan q adalah PALSU Selain daripada itu, pernyataan gabungan itu mempunyai nilai PALSU.

PENGGABUNG (IMPLIKASI 2) CONTOH: Pernyataan : 1 < 5 jika dan hanya jika 2 < 8 boleh diwakili dengan p  q dimana p = 1 < 5 , q = 2 < 8 p  q adalah BENAR kerana p dan q kedua-duanya BENAR.

KESETARAAN Misalkan Pernyataan Gabungan P dan Q terdiri daripada penyata-penyata: p1, p2, …., pn Secara mantik, P dan Q adalah setara dan diwakili dengan P = Q

KESETARAAN Dengan syarat, pada sebarang nilai kebenaran bagi p1, p2, …., pn, sama ada P dan Q kedua-duanya PALSU atau kedua-duanya BENAR

Akas (Converse) Akas bagi jika p maka q: Secara simboliknya: jika q maka p Secara simboliknya: Akas bagi p  q ialah q  p

Songsang(Inverse) Songsang bagi jika p maka q : Secara simboliknya: Songsang bagi p  q ialah ~p  ~q

Akas dan Songsang Pernyataan bersyarat dan akasnya adalah tidak setara. Pernyataan bersyarat dan songsangnya adalah tidak setara. Akas dan songsang bagi satu pernyataan bersyarat adalah setara di antara satu sama lain.

Kontrapositif Kontrapositif bagi jika p maka q: Secara simboliknya: jika ~q maka ~p Secara simboliknya: Kontrapositif bagi p  q ialah ~q  ~p Pernyataan bersyarat adalah setara dengan kontrapositifnya.

Kontrapositif dan Akas Akas akan ‘reverse’ nilai p dan q Kontrapositif akan ‘reverse’ nilai p dan q dan menegasikan setiap satunya. Contoh: Jika 1 < 4 maka 5 > 8 p: 1< 4 , q: 5 > 8 Simboliknya : p  q

Kontrapositif dan Akas Akas: q  p Jika 5 >8 maka 1 < 4 Kontrapositif: ~q  ~p Jika 5 < 8 maka 1 > 4. p  q (PALSU) q  p (BENAR) ~q  ~p (PALSU)