דוגמאות לגלים סטציונריים איריס רוגר פרקים בתנודות וגלים לא לינארייםמנחה: פרופ' לזר פרידלנד

Ion-Acoustic Waves לינאריזציה של המשוואות –נחפש יחס נפיצה של הגל מקרה כללי –נחקור התנהגות של קווזי חלקיק בפוטנציאל אפקטיבי

Ion-Acoustic Waves הנחות העבודה: פלסמה תדרים נמוכים - האלקטרונים מתפלגים התפלגות מקסוול בבור הפוטנציאל. גל אלקטרוסטטי B=0)) ולכן ניתן להשתמש במשוואת פואסון. בעיה חד מימדית יונים קרים:

גל אלקטרוסטטי חוק Faraday

משוואות.... משוואת הרצף משוואת התנועה משוואת פואסון *משוואות אלה הן עבור היונים.

לינאריזציה של המשוואות נניח הפרעה קטנה לשיווי משקל. שיווי משקל? מצב בו נגזרת של הגדלים המדידים היא 0. הערכים הם ערכים המקיימים ש"מ, וגם את המשוואות המתארות את הבעיה.

לינאריזציה של המשוואות נניח הפרעה קטנה לש"מ: כאשר הערכים הם קטנים.

לינאריזציה של המשוואות הזנחת איברים מסדר 2 פיתוח טיילור

לינאריזציה של המשוואות קיבלנו סט של משוואות דיפרנציאליות: נחפש פתרון מהצורה הבאה: קבועים

לינאריזציה של המשוואות

חילוץ יחס הנפיצה

לינאריזציה של המשוואות מהירות אקוסטית נגדיר רדיוס debye טמפ' אלקטרונים מסת יונים

לינאריזציה של המשוואות עבור kr d <<1 ניתן לפתח בטור ולקבל: זהו יחס הנפיצה שממנו גזרנו משוואת KDV מסקנה: עבור לינאריזציה של הבעיה יש סוליטונים של KDV יחס הנפיצה:

משוואת KDV ממשוואת האנרגיה קיבלנו משוואה דיפרנציאלית עבור u תנועת קווזי חלקיק בפוטנציאל אפקטיבי: פתרון בהפרדת משתנים נתן:

המקרה הכללי נניח פתרון של גל סטציונרי: נסמן ונניח:

המקרה הכללי: טיפול במשוואות קיבלנו סט של משוואות דיפרנציאליות רגילות.

המקרה הכללי: טיפול במשוואות אינטגרציה בפרט, עבור שיווי משקל : v =0,  =    אינטגרציה בפרט, עבור שיווי משקל : v =0,  = 

המקרה הכללי: טיפול במשוואות

תנועת קווזי חלקיק בפוטנציאל אפקטיבי מעבר לגדלים חסרי יחידות:

פוטנציאל אפקטיבי הפוטנציאל ניתן לכיול שרירותי. בכיול זה אינטגרציה תיתן לנו:

פוטנציאל אפקטיבי U=1.1 U=1.2U=1.3 U>1

פוטנציאל אפקטיבי נקודות אקסטרמליות: נקודת מקסימום עבור U>1 נקודת מינימום

פוטנציאל אפקטיבי

תנועת חלקיק בבור הפוטנציאל פתרון סוליטון יתקבל עבור E=0, בתנאי ש Veff(  0 )>0. U 1 =1.3 U 2 =1.58

Veff(  0 )>0 אפשר לפתור נומרית ומקבלים:

סוליטון מתוך משוואת האנרגיה מוצאים משוואה דיפרנציאלית שמקיים הסוליטון. מחלצים את  ’:

סוליטון פתרון נומרי של המשוואה נותן:

  1.3 U1U1 U 1 <U 2 <U max U max =1.6 U גדל הצפיפות עולה הפולס מתחדד

סיכום ניתחנו את התנהגותם של ion-acoustic waves כאשר עושים לינאריזציה למשוואות מקבלים אותו יחס נפיצה ממנו נגזרת משוואת KDV. טיפלנו במקרה הכללי, חקרנו התנהגות של קווזי- חלקיק בפוטנציאל אפקטיבי קיים תנאי לקבלת פתרון סוליטוני. כמו שראינו קודם, גלים מהירים יותר הם בעלי אמפליטודה גבוהה יותר, אך קיים גבול לאמפליטודה.