כל הזכויות שמורות לחברת MostlyTek Ltd. מצגת זו תכלול כנראה דיון של הקהל, אשר יביא ליצירת פריטי פעולה. השתמש ב- PowerPoint כדי לעקוב אחר פריטי פעולה אלה במהלך המצגת. בהצגת שקופיות, לחץ באמצעות לחצן העכבר הימני. בחר באפשרות “מפקח הישיבות”. בחר בכרטיסיה “פריטי פעולה”. הקלד את פריטי הפעולה כאשר הם מופיעים. לחץ על אישור כדי להסיר תיבה זו. פעולה זו תיצור אוטומטית שקופיות לפריטי פעולה בסוף המצגת, והנקודות שהעלית יוזנו בתוכה. מבוא לתורת הצפינה 51078 ד"ר משה רן כל הזכויות שמורות לחברת MostlyTek Ltd. אין לצלם, לשכפל או להעתיק בכל צורה שהיא ללא קבלת אישור בכתב מד"ר משה רן

Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2 נושאי לימוד פרק 1 מבוא: מבוא לתורת האינפורמציה, קיבול ערוץ גאוסי לפי שנון, סכמת תקשורת עם מקודד-מפענח, קיום קודים טובים, אסטרטגיות לבקרת שגיאות: FEC, ARQ, קודי בלוק, קודי קונוולוציה, הגבר קידוד CODING GAIN, ביצועים של קודים מול חסם שנון. פרק 2 מושגי יסוד: 3 דוגמאות פשוטות, אלף-בית, קוד בלוק מעל אלף-בית, פרמטרים של קוד (n,M,d), מרחק Hamming , יכולת גילוי של קוד, יכולת תיקון של קוד, מודלים לערוצים - BSC, ערוץ עם מחיקות, ערוץ סימטרי q-ary, ערוץ גאוסי, ערוץ עם דעיכות, מפענח סבירות-מקסימלית, מפענח חסום-מרחק. פרק 3 חזרה באלגברה: חבורה, חבורה קומוטטבית, תת-חבורה, חבורה ציקלית, פרוק לקוסטים, חוגים, שדות סופיים, מרחב וקטורי, צרוף ליניארי במרחב ווקטורי, אי תלות, תת מרחב ליניארי, בסיס, מרחב וקטורי סופי, מימד של מרחב ווקטורי, מרחב דואלי, מטריצות, פעולות שורה על מטריצה, מטריצה מסוג RRE, ייצוג סיסתמטי. פרק 4 קודים ליניאריים: מבנה של קודים ליניארים, G,H, קוד דואלי, יצוג סיסתמטי לקוד ליניארי, חסם סינגלטון, MDS, מערך סטנדרטי, פענוח עם מערך סטנדרטי, סינדרום שגיאה, פענוח בעזרת סינדרום. פרק 5 דוגמאות לקודים ליניאריים: קודי Hamming, קודים מושלמים, טכניקות לבניית קודים-הרחבה, קיצור, ניקוב, בניות של קודים, קודי Reed-Muller, פענוח לפי לוגיקת רוב. 6 שו"ת 4 שו"ת 4 שו"ת 4 שו"ת 4 שו"ת Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2 נושאי לימוד פרק 6 קודים ציקליים –מבוא: תאור בעזרת חוג פולינומים מודולו xn-1, פולינום יוצר ומטריצה יוצרת, פולינום בדיקה ומטריצת בדיקה, ייצוג סיסתמטי לקוד ציקלי, פולינום סינדרום, טכניקות פענוח פשוטות (Megit Decoder) פרק 7 מבנה של שדות סופיים: אלמנט פרימיטיבי, פולינומים מינימליים, שדה הרחבה, שדה פיצול, השורשים של היחידה, מבט על קוד ציקלי מכוון של שדה הרחבה. פרק 8 דוגמאות קודים ציקליים: תאור מטריצי בשדה הרחבה, קוד Hamming כקוד ציקלי, קודים ציקליים לתיקון שתי שגיאות, קוד לתיקון שלוש שגיאות Golay פרק 9 קודי BCH: הגדרות בסיסיות, דוגמאות. מפענח PGZ לקוד BCH. פרק 10 קודי Reed-Solomon: הגדרות בסיסיות, דוגמאות. פרק 11 מבוא לקודי קונוולוציה, שרשור קודי RS עם קודי קונוולוציה 4 שו"ת 4 שו"ת 4 שו"ת 4 שו"ת 4 שו"ת 4 שו"ת Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

3 דוגמאות פשוטות (ילוו אותנו בהמשך להמחשת המושגים) בכל הדוגמאות להלן נניח ערוץ תקשורת BSC=binary symmetric channel קוד :A בדיקת זוגיות בינרי באורך n=8 ומימד k=7 (8,7) מתאים להגנה על תווי .ASCII יש מילות קוד (תווים) ורק 7 ביטים נושאי מידע. הביט השמיני בדיקת זוגיות. למשל: גילוי שגיאה: אם מתקבלת שמיניית ביטים עם זוגיות אי זוגית – יש שגיאה. שגיאה בודדת: תמיד תתגלה. שגיאה כפולה – לא ניתנת לגילוי (למה?!) קצב הקוד (rate): הקוד יעיל למקרים בהן שגיאה כפולה נדירה. ניתן להכליל את הדוגמא לקוד בדיקת זוגיות כללי (n,n-1) שאלה: האם ניתן לתקן שגיאה בודדת, ואיך?! Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2 המשך דוגמאות פשוטות קוד :B קוד חזרה בינרי באורך n=3 ומימד k=1 (6,3) יש רק שתי מילות קוד: גילוי שגיאה: אם התקבלה שלשה עם 1 בודד או שני 1 (6 אפשרויות). הקוד יתקן - שגיאה בודדת וחלק מהשגיאות הכפולות קצב הקוד (rate): קוד חזרה כללי מצורה (n,1) וכאן n הוא אי-זוגי. המפענח בנוי על רעיון של החלטה לפי קריטריון רוב. הערה: קוד חזרה הוא אחד הקודים הכי שימושיים והראשונים בתקשורת. Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

קוד :C קוד בינרי באורך n=6 ומימד k=3 (6,3) המשך דוגמאות פשוטות קוד :C קוד בינרי באורך n=6 ומימד k=3 (6,3) יש 8 מילות קוד. תאור מילת קוד: X הוא ביט בדיקת זוגיות של a,b וכו' z y x c b a 1 גילוי שגיאה ב a תנאים c1,c2 לא מתקיימים גילוי שגיאה ב b תנאים c1,c3 לא מתקיימים גילוי שגיאה ב c תנאים c1,c2 לא מתקיימים גילוי שגיאה ב x תנאי c1 לא מתקיים גילוי שגיאה ב y תנאי c2 לא מתקיים גילוי שגיאה ב z תנאי c3 לא מתקיים ניתן לגלות ולתקן (כי יודעים מיקום שגיאה) כל שגיאה בודדת. בנוסף ניתן לגלות כל שתי שגיאות (איך?! – סימפטום שגיאה כפולה במידע כמו שגיאה בודדת בביט בדיקה) Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2 מודלים לערוצי תקשורת לסוג ערוץ התקשורת חשיבות מרכזית בתכנון מערכת לתיקון שגיאות ערוץ. יכולת התיקון של הקוד תלויה בפרמטרים של הקוד וקריטריון הפענוח, וכן בסוג ערוץ התקשורת! א. מודל כללי – "מתמטי" עקרוני של שנון (המודולטור והגלאי הם חלק ממקודד ערוץ ומפענח ערוץ, בהתאמה). Source Encoder Channel Decoder sink ב. כאשר הערוץ בדיד (בינרי, q-ary) ומפענח מקבל בתור כניסה את יציאת הגלאי לאחר החלטה – המפענח נקרא מפענח בהחלטה קשה ((Hard decision decoding . כאשר הערוץ רציף ( לדוגמא AWGN או Rayleigh) ומפענח מקבל בכניסה אות מיציאת הגלאי לפני מעגל החלטה הפענוח נקרא "בהחלטה רכה".לדוגמא: Mapping 0->+1 1->-1 Soft Decoder Source Encoder sink Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2 מודלים לערוצי תקשורת Source Encoder Channel Decoder sink ערוץ בינרי סימטרי (BSC) input output הסתברות לשגיאה בביט (חילוף ערוץ) הסתברות לביט תקין Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

2. ערוץ תקשורת סימטרי מעל אלף-בית עם q תווים (q-ary) נניח אוסף התווים הסתברות לשגיאה בתוו הסתברות לקבלת תוו תקין הסתברות לחילוף ערוץ היא סימטרית Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2 3. ערוץ גאוסי רציף AWGN ערוץ מאופיין ע"י מודל רעש מתחבר לבן (AWGN) עם ממוצע 0 ושונות N0/2 המשותף לדוגמאות 1 – 3 : הערוצים כולם "חסרי זכרון" בערוץ חסר זכרון היציאה הנוכחית (תוו ( תלויה אך ורק בכניסה הנוכחית Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2

ערוץ תקשורת עם דעיכות Flat Rayleigh Fading Source Encoder Decoder sink Mapping 0->+1 1->-1 Flat Fading: דעיכה בה כל מרכיבי האות הספקטרליים עוברים אותה פונקציית תמסורת. (הדעיכה אינה סלקטיבית בתדר ולכן נקראת Flat ). בצורה הפשוטה ביותר – נתאר דעיכה כזו ע"י מכפלה של האות במ.א עם n רכיבים ב"ת ופונקצית צפיפות פילוג: בהמשך, מתחבר לאות המונחת רעש לבן לפי מודל AWGN Dr. Moshe Ran / מבוא לתורת הצפינה – פרק 2