單因子變異數分析 多重比較 雙因子變異數分析 統計分析方法 單因子變異數分析 多重比較 雙因子變異數分析

變異數分析(ANOVA) 變異數分析(Analysis of Variance)可比較不同族群的反應是否不同。 透過實驗設計取得嚴格管控下各處理的資料的，可以證實因果關係 例如：某種特定處理組合下，可以取得最佳的反應值。 問卷調查的資料，或是其他觀察性資料，只能做各種處理組合之見是否有差異，無法證實為因果關係。 例如：不同年齡層對特定議題的支持率是否有差別。

變異數分析模式 根據變數的特質，可以討論下列分析模式： 單因子變異數分析； 雙因子變異數分析； 多因子變異數分析； 主因子效應及多重比較。 主因子效應、交互作用。 多因子變異數分析； 一般多因子、2k因子、 3k因子等效應。

單因子變異數分析實例 四家公司分別生產之輪胎平均壽命是否有顯著性差異？ 每一家公司之輪胎將分別觀察10 次。 實驗設計中，各實驗順序以隨機方式進行。 實驗順序隨機，各輪胎壽命之觀察平均結果比較不因實驗時間，地點及氣候等因素產生偏誤。 各觀察值之間，可假設為統計獨立。

資料 資料如下： 總平均為 83.325

資料圖示

並列盒型圖

單因子實驗設計模式 Yij 為第 i 家輪胎(組)第 j 次之觀察值， i = 1,.., k, j =1,..., ni 。 假設 m 為總效應，ai為第 i 家輪胎的主效應，eij 為觀察誤差，則模式為 Yij = m + ai + eij 假設 eij 服從常態 N(0, s2)，且互相獨立。

單因子實驗設計模式 以 mi = m + ai 代表第 i 家輪胎的平均壽命，則可檢定各家平均壽命是否相同： H0: m1 = m2 = … = mk v.s. H1: not H0 或直接以 ai 檢定各家效應是否為零： H0: a1 = a2 = … = ak = 0 v.s. H1: not H0

單因子模式參數之估計 第 i 家輪胎的平均壽命 mi ，主效應 ai 及總平均壽命 m 的估計值分別為 其中

平方和的分解 則

平方和的分解(續) 定義組間平方和(B) 組內平方和(W) 總平方和 則

ANOVA table

各參數估計的分配 假設 則

平方和的分配 SSE 的分配： SSTr 的分配： (在H0 之下)則

處理間等效檢定 則各均方和的期望值為

Minitab 變異數分析表

殘差分析 在隨機、常態、相同變異數的假設下，變異數分析的 F 統計量服從非中心 F 分配。 在 H0為真的情形下， F 統計量服從 (中心) F 分配。檢定結果才能保證推論錯誤率的控制。 在做推論之前要先確認模式假設並不違背，我們以誤差項的估計值–殘差做分析，又稱為殘差分析。 包括：常態性檢定、裨益數齊一檢定及隨機獨立性檢定等。

殘差分析-簡易圖解

殘差分析-常態性

變異數齊一性之檢定 變異數分析是在各組變異數相等的假設下，檢定各組處理效果是否相等。 假設各組變異數分別為 ，哈雷在樣本數相等(或很接近)提出哈雷檢定法，檢定之假說為： v.s. H1:至少有兩組變異數不相等。

哈雷檢定法 假設各組樣本變異數分別為 ，在 H0為真時， 接近1。 檢定統計量 H > Hk,n,a 時拒絕 H0。其中臨界點 Hk,n,a 由哈雷提出，可藉由查表取得。在實用上，樣本數很接近時，n 為各組樣本數平均。

哈雷檢定法(例)

多重比較 多重比較(Multiple Comparison Procedures 簡稱MCP) 的比較方法 建立同質性的聯合信賴區間 (Simultaneous Confidence Intervals) 使用多重步驟的檢定方法 (Multiple stage testing procedures) 多重比較方法的特點為錯誤率的控制。

錯誤率(Error Rates) F :一組統計敘述族(family of statements) 極保守的統計學者也許會把他一生所一下的統計決策當作一個整體，而試圖控制整體的誤差率 另一極端的情形，則是將每個個別的統計敘述獨立作決策，即使每次有興趣的是多個相關的統計決策。 常用的統計敘述族為與均值檢定的H0等價的敘述，即與 H0: m1 = m2 = … = mk等價的敘述。

常用的多重比較的型態 與均值檢定的H0 : m1 = m2 = … = mk等價的敘述。 配對比較的型態 特定組合比較 全配對比較、與控制組比較、與最佳組比較。 特定組合比較 對照contract比較。

配對多重比較方法 全配對的比較(all pair-wise multiple comparisons, MCA：，mi-mj i ≠ j Fisher’s least significant、Bonferroni、Tukey、Scheffe 與控制組的比較(multiple comparisons with the control, MCC)：mi-m0 ,i = 1,2,…,k Dunnett 與最佳組的比較(multiple comparisons with the best, MCB)：mi-max(1≦j≦a) mj Hsu

全配對比較檢定 與控制組比較檢定 與最佳組比較檢定 多重比較檢定 全配對比較檢定 與控制組比較檢定 與最佳組比較檢定

Fisher’s 檢定 Fisher’s Least Significant Distance Test B/w MS = 2.6750, df =16

Tukey’s MCA檢定 Tukey’s H Significant Distance Test B/w MS = 2.6750, df =16

Bonferroni’s MCA檢定 Bonferroni’s MCA Test B/w MS = 2.6750, df =16

Scheffe’s MCA檢定 Scheffe’s MCA Test B/w MS = 2.6750, df =16

Dunnett’s MCC檢定 Dunnett’s MCC Test B/w MS = 2.6750, df =16 (蘋果為控制組) (柳丁為控制組)

各處理與控制組的多重比較

各處理與最佳組的多重比較

各處理所有配對的多重比較

雙因子模式中的交互作用 兩個主因子模式就有可能會有兩因子間的交互作用。 以廣告與陳列對產品購買意願的雙因子變異數分析模式為例，分別探討兩因子間之交互作用的情形。 沒有交互作用、正向交互作用、逆向交互作用。

沒有交互作用 沒有交互作用之例： 廣告與陳列對咖啡購買意願之交互作用。 咖啡購買意願 咖啡購買意願 有廣告 有陳列 6 6 4 4 3 3 沒廣告 沒陳列 1 1 沒陳列 沒廣告 有廣告 有陳列

正向交互作用 有正向交互作用之例： 廣告與陳列對餅乾購買意願之正向交互作用。 餅乾購買意願 餅乾購買意願 14 14 有廣告 有陳列 6 6 5 5 沒陳列 沒廣告 2 2 沒陳列 沒廣告 有廣告 有陳列

逆向交互作用 有逆向交互作用之例： 廣告與陳列對奶昔購買意願之逆向交互作用。 奶昔購買意願 奶昔購買意願 8 8 有陳列 有廣告 7 7 4 沒廣告 沒陳列 1 1 沒陳列 有陳列 沒廣告 有廣告

交互作用對分析的影響 有交互作用之資料，不應討論個別因素的主效用，只能直接討論各種配方組合的差異性。

雙因子變異數分析 雙因子變異數分析模式： 在常態獨立誤差 的假設下，各因子效應估計值服從常態。 Yijk = m + ai + bj +abij + eijk ， i = 1,…,a, j = 1,…,b, k = 1,…,r。 在常態獨立誤差 的假設下，各因子效應估計值服從常態。

雙因子變異數分析 總平方和可分解為 SST = SSA + SSB + SSAB + SSE, 各因子效應平方和服從卡方分配； 其中各平方和為 各因子效應平方和服從卡方分配； 主因子效應、交互作用效應平方和與誤差平方和互相獨立。 兩獨立均方和相除服從 F 分配。

雙因子模式之變異數分析表

雙因子模式之交互作用檢定假說 交互作用之檢定假說： 在 H0為真之下，檢定統計量 FAB 服從 F 分配。

主因子之檢定假說 如果交互作用不存在，則可 檢定主效用 A 是否顯著： 檢定主效用 B 是否顯著： 在 H01為真之下，檢定統計量 FA 服從 F 分配。 檢定主效用 B 是否顯著： 在 H02為真之下，檢定統計量 FB 服從 F 分配。 交互作用不存在之下，可進一步做主因子各水準間的多重比較。

雙因子之變異數分析表實例

雙因子變異數分析之殘差