第二十二讲 第七章 第二节 窗函数法设计 FIR 滤波

学习目标  理解窗函数法设计 FIR 滤波器的思路  了解吉布斯效应  了解各种窗函数  掌握窗函数的设计方法

窗函数法设计 FIR 滤波的思想 一般是先给所要求的理想的滤波器的频率响 应 ，要求设计一个 FIR 滤波器频率响应 来逼近 。但是设计是在时域进行的，因而 先由 的傅立叶变换导出 ，即

但一般情况下， 是逐段恒定，在边界频率处有 不连续点，因而 是无限时宽的，且是非因果序列， 而我们要设计的是 FIR 滤波器，其 必然是有限长的， 这时我们只有将 截取一段，用一个有限长度线 性 相位滤波 器逼近无限长的, 并保证截取的一段对 对称。设截取的一段用 表示。 即 是一个矩形序列，长度为 。

1 、设计思路分析 逼近误差取决于窗函数序列 w(n) ： 要选择合适的形状和长度 理想滤波器 的频响 冲激响应无限长 且非因果，物理 无法实现

以低通滤波器为例讨论： 线性相位理想低通滤波器的频率响应： 其理想单位抽样响应： 中心点为 的偶对称无限长非因果序列

线性相位理想低通滤波器及矩形窗函数的 频率响应图解 矩形窗谱的特点， N 越大主 瓣越窄，波动越密。

实现过程如图所示 以上就是用窗函数法设计 FIR 滤波器的思路。

取矩形窗： 则 FIR 滤波器的单位抽样响应： 按第一类线性相位条件，得 2. 窗函数设计法的数学描述 :

加窗处理后对理想频率响应的影响： 时域乘积相当于频域卷积 而矩形窗的频率响应： 相位函数

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结论： 加窗处理对理想矩形频率响应产生以下几点 影响。 （ 1 ）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过 渡带，过渡带宽等于窗的频率响应 的主瓣宽 度 。 （ 2 ）带内增加了波动，最大的峰值在 处。阻带 内产生了余振，最大的负峰在 处。通带与阻 带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。 波动 愈快（加大时），通带、阻带内波动愈快， 旁瓣 的大小直接影响 波动的大小。

吉布斯（ Gibbs ）效应 改变截取长度 N ，只能改变窗谱的主瓣宽度、 的坐标比例以 及改变 的绝对值大小，但是不能改变主瓣与旁瓣的相对比 例。这个比例是由窗函数的形状来决定的。 上述用矩形窗加窗后频域的变化称为吉布斯效应。 这种效应直接影响滤波器的性能。通带内的波动影 响滤波器通带中的平稳性，阻带内的波动影响阻带 内的衰减，可能使最小衰减不满足技术要求。一般 滤波器都要求过渡带愈窄愈好。 ？：如何减少吉布斯效应的影响

降低吉布 斯 效应对窗函数的要求 从以上讨论可看出，一般希望窗函数满足两项要求： （ 1 ）窗谱主瓣尽可能的窄，以获得较陡的过渡带。 （措施：加大窗长即增加 N ） （ 2 ）尽量减小窗谱的最大旁瓣的幅度，也就是能量尽量 集中在主瓣，这样使肩峰和波纹减小，可以增大阻带 的衰减。 （措施：选择合适的窗函数） 下面介绍各种常用的窗函数：

（ 1 ）矩形窗 (Rectangle Window) 主瓣宽度最窄 ，旁瓣幅度大。 窗谱： 幅度函数： 特点： 3. 各种常用的窗函数

（ 2 ）三角形窗 (Bartlett Window) 主瓣宽度宽 ，旁瓣幅度较小。 窗谱： 幅度函数： 特点：

（ 3 ） 汉宁 (Hanning) 窗 —— 升余弦窗 主瓣宽度宽 ，旁瓣幅度小。 幅度函数： 特点：

（ 4 ）哈明 (Hamming) 窗 —— 改进的升余弦窗 主瓣宽度宽： ，旁瓣幅度更小。 幅度函数： 特点 :

（ 5 ）布莱克曼（ Blackman ）窗 —— （二阶升余弦窗） 主瓣宽度最宽： ，旁瓣幅度最小。 幅度函数： 特点 :

(6) 凯塞 — 贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window) ：第一类变形零阶 贝塞尔函数

五种窗函数的波形

（ a ）矩形窗；（ b ）巴特利特窗（三角形窗）；（ c ）汉宁窗； （ d ）哈明窗；（ e ）布莱克曼窗 五种窗函数的幅度特性

理想低通加不同类型窗后频谱幅度特性比较 ＝ 51 ， ＝ 0.5 ） ＝ 51 ， ＝ 0.5 ） （ a ）矩形窗；（ b ）巴特利特窗（三角形窗）；（ c ）汉宁窗； （ d ）哈明窗；（ e ）布莱克曼窗

六种窗函数的基本参数 此表是设计过程中选择的 主要依据！

4 、窗函数法的设计步骤 1) 给定理想的频率响应函数 及技术指标 2) 求出理想的单位抽样响应 3) 根据阻带衰减选择窗函数 6) 计算频率响应 ，验算指标是否满足要求 4) 根据过渡带宽度确定 N 值 5) 求所设计的 FIR 滤波器的单位抽样响应

公式法： IFFT 法： 计算其 IFFT ，得： 对 M 点等间隔抽样： 由 的方法

例 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计 FIR 低通滤波器，设 N=11,ω c =0.2πrad 。 解 用理想低通作为逼近滤波器

 用汉宁窗设计： 用布莱克曼窗设计：

图 例 的低通幅度特性

解：解： 1 ）求数字频率 补充例题：设计一个线性相位 FIR 低通滤波器， 给定抽样频率为 ， 通带截止频率为 ， 阻带起始频率为 ， 阻带衰减不小于 -50dB ，幅度特性如图所示

2 ）求 h d (n)

4 ）确定 N 值 3 ）选择窗函数：由 确定海明窗（ -53dB ）

5 ）确定 FIR 滤波器的 h(n) 6 ）求 ，验证 若不满足，则改变 N 或窗形状重新设计

窗函数算法计算中的主要问题： （ 1 ）当 很复杂或不能直接计算积分时，则 必须用求和代替积分，以便在计算机上计算。 （ 2 ）窗函数设计法的另一个困难就是需要预先 确定窗函数的形状和窗序列的点数 ，以满足 给定的频率响应指标。这一困难可利用计算机 采用累试法加以解决。 窗函数法的优点是简单，有闭合形式的 公式可循，因而很实用。缺点是通带、阻带 的截止频率不易控制。