מבנה מחשבים תרגול מספר 3

טענה על עצים משפט: בעץ שדרגת כל קודקודיו חסומה ב-3, מספר העלים ≤ מספר הקודקודים הפנימיים + 2. הוכחה: באינדוקציה על n, מספר הקודקודים בעץ. בסיס: n=1 עץ ריק. הטענה טריוויאלית. אחר-כך נוסיף עוד מקרה לבסיס. צעד: נניח כי לכל עץ עם עד n קודקודים ודרגה חסומה ב-3, הטענה נכונה, נוכיח ל n+1 קודקודים.

טענה על עצים (המשך) הוכחה ע"י פירוק למקרים, נראה על הלוח את כל המקרים (אפשר קצת לקצר את ההוכחה שנראה). –קווים כלליים להוכחה: –נפריד מהעץ שכן של עלה, וננתח את המקרים לפי דרגתו. – נספור כמה עלים\קודקודים פנימיים יש בעץ הקטן יותר. –נראה שאם דרגתו היא 2 הטענה תתקיים (שני מקרים). –נראה שאם דרגת כל השכנים של העלים היא 3, אזי או שהעץ בגודל 4, או שקיים קודקוד שהוא שכן של 2 עלים, ועליו הטענה תתקיים.

משפט המאסטר a,b are two constants  1.  is a constant > 0. f(n) is a function. T(n) = aT(n/b) + f(n) 1.If f(n) = O(n (log b a -  ) ) then T(n) =  (n (log b a) ) 2.If f(n) = O(n log b a ) then T(n)=  (n (log b a) logn) 3.If f(n) = O(n (log b a +  ) ) and af(n/b)  cf(n) for some c < 1, then T(n) =  (f(n))

משפט המאסטר - דוגמאות T(n) = 9T(n/3) +n.  =1  T(n) =  (n (log 3 9) ) =  (n 2 ) מקרה 1: T(n) = T(2n/3) + 1. a=1, b=3/2, log(1) = 0  f(n) =  (n 0 )  T(n) =  (n 0 logn) =  (logn). מקרה 2:

משפט המאסטר – טכניקת ההוכחה ראשית בונים עץ רקורסיה למקרה שבו n = b k. את עץ הרקורסיה, מנתחים ע"י הצבה חוזרת. לאחר מכן מרחיבים ל- n כלשהוא (חלק טכני). באלגוריתמים בדרך אפשר להחליף את החלק השני של ההוכחה, בדיפון של הקלט.

–Given a decoder with n inputs (2 n out’s). Prove that: c(n) ≥  (2 n ) d(n) ≥  (log n) –We assume constant fan-in, and unbounded fan-out. –Claim: Each output is non-trivial, hence connected to a gate. –Proof: Assume otherwise, but by checking we see that: No output is constant. No output is connected directly to an input. חסם תחתון למעגל Decoder

–From this claim we obtain a bound on the size since: Each output is different, so it must be the output of a unique gate. חסם תחתון למעגל Decoder (המשך)

–The delay is proved using cone arguments. Examine the output[0]. In order to decide it, we must examine all n- bits. This is the key argument. But since the fan-in is constant, any function that depends on n-bits can be calculated using a cone of delay ≥ log(n). (A theorem proved in class). חסם תחתון למעגל Decoder (המשך 2)