Mobile Robot Kinematics سینماتیک دکتر سعید شیری قیداری & فصل 3 کتاب Amirkabir University of Technology Computer Engineering & Information Technology Department

Kinematics سینماتیک معمولا مطالعه سینماتیک نقطه شروع استاندارد درس روباتیک است. سینماتیک علاوه بر روباتیک در سایر علوم نظیر گرافیک و انیمیشن نیز کاربرد دارد. سینماتیک: عبارت است از مطالعه تحلیلی هندسه حرکت روبات: نسبت به یک محور مختصات ثابت نسبت به نیرو ها و یا گشتاوری که باعث حرکت میشوند

بحث سینماتیک برای روباتهای صنعتی Forward kinematics Given joint variables End-effector position and orientation, -Formula?

بحث سینماتیک برای روباتهای صنعتی در بحث سینماتیک مستقیم روباتهای صنعتی روشی ارائه میشود که موقعیت و جهت لینک ها و ابزار روبات را بصورت تابعی از متغیرهای مفصل ها نسبت به محور مرجع محاسبه میکند. برای اینکار فریمهای مختصاتی به هر بخش از مکانیزم روبات وصل شده و سپس ارتباط بین این محورها بیان میشود. A 3-DOF Manipulator Arm

بحث سینماتیک معکوس برای روباتهای صنعتی Given a desired position (P) & orientation (R) of the end-effector Find the joint variables which can bring the robot the desired configuration

Inverse Kinematics K-1 (q1 … qn) (x,y,z,qx,qy,qz)

بحث سینماتیک معکوس برای روباتهای صنعتی سخت تر از سینماتیک مستقیم است زیرا: معادلات حاصله غیر خطی بوده و از اینرو همیشه راه حل سیستماتیکی برای حل آنها بصورت closed form وجود ندارد. راه حل منحصر بفرد نیست. راه حل بستگی به مشخصات روبات دارد 2 solutions!

6 variables (x,y,z,qx,qy,qz) Forward and Inverse Kinematics xw Joint 1 Joint 2 Joint 3 Link 1 z1 World (Base) Coordinate Frame Tool Coordinate Frame q1 q2 zw yt zt Link Space n variables (q1 … qn) Tool Space 6 variables (x,y,z,qx,qy,qz) Forward K Inverse K

سینماتیک روباتهای متحرک مطالعه سینماتیک روباتهای متحرک در دو زمینه لازم است: طراحی مناسب روبات برای انجام عمل مورد نظر نوشتن نرم افزار کنترلی روبات ساخته شده یک اختلاف مهم بین روبات متحرک و روبات صنعتی در اندازه گیری موقعیت است. روبات صنعتی در یک نقطه ثابت است لذا میتوان موقعیت آنرا نسبت به این نقطه ثابت اندازه گرفت.

کنترل موقعیت یک روبات برای کنترل موقعیت یک روبات لازم است تا موارد زیر را بدانیم: مدل سینماتیکی/ دینامیکی روبات مدل تعامل بین چرخ و زمین تعریفی از حرکت مورد نیاز: کنترل سرعت- کنترل موقعیت قانون کنترلی که نیازمندیهای لازم را برآورده میکند.

تبدیل مختصات هنگام بررسی موقعیت یک روبات معمولا علاقمند هستیم که موقعیت آنرا نسبت به یک محور مختصات مرجع بسنجیم. در حالیکه حرکت اجزای یک روبوت نظیر چرخها، محل قرار گرفتن سنسورها، و غیره نسبت به بدنه روبات اندازه گیری میشوند. از اینرو لازم است تا موقعیت روبات ویا اهداف دیگر را که نسبت به موقعیت روبات اندازه گیری میشوند نسبت به محور مختصات مرجه بیان نمود. برای اینکار نیاز به تبدیل مختصات خواهد بود

ضرب داخلی Let and be arbitrary vectors in and be the angle from to , then Where q is the angle between the vectors and is the norm. X.Y=0 if X is perpendicular to Y.

ضرب داخلی Properties of orthonormal coordinate frame Mutually perpendicular Unit vectors O

نمایش نقطه و بردار Vector represented in OXYZ: Point represented in OXYZ: Vector represented in OXYZ: O, O’

تبدیل مختصات Point represented in O’uvw: Reference coordinate frame OXYZ Body-attached frame O’uvw O, O’ Point represented in O’uvw: Two frames coincide ==>

تبدیل مختصات حالتی که فقط دوران داشته باشیم چگونه میتوان مختصات نقاط ایندو محور مختصات را به هم ربط داد؟

حالت دوران ساده Px , Py , and Pz represent the projections of P onto OX, OY, OZ axes, respectively Since

Basic Rotation Matrix Rotation about x-axis with

Basic Rotation Matrix Rotation about x axis with

Basic Rotation Matrices Rotation about x-axis with q Rotation about y-axis with q Rotation about z-axis with q

Basic Rotation Matrix Obtain the coordinate of from the coordinate of Dot products are commutative! <== 3X3 identity matrix

Example A point is attached to a rotating frame, the frame rotates 60 degree about the OZ axis of the reference frame. Find the coordinates of the point relative to the reference frame after the rotation.

Composite Rotation Matrix A sequence of finite rotations Matrix multiplications do not commute Rules: If rotating coordinate O-U-V-W is rotating about principal axis of OXYZ frame, then pre-multiply the previous (resultant) rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix If rotating coordinate OUVW is rotating about its own principal axes, then post-multiply the previous (resultant) rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix

Example Find the rotation matrix for the following operations: Pre-multiply if rotate about the OXYZ axes Post-multiply if rotate about the OUVW axes

Coordinate Transformations position vector of P in {B} is transformed to position vector of P in {A} description of {B} as seen from an observer in {A} Rotation of {B} with respect to {A} Translation of the origin of {B} with respect to origin of {A}

Coordinate Transformations Two special cases 1. Translation only Axes of {B} and {A} are parallel 2. Rotation only Origins of {B} and {A} are coincident

Homogeneous Representation Coordinate transformation from {B} to {A} Homogeneous transformation matrix Rotation matrix Position vector Scaling

Homogeneous Transformation Special cases 1. Translation 2. Rotation

Example Translation along z-axis with h: O, O’ h

Example Rotation about the x-axis by

Example Find the homogeneous transformation matrix (T) for the following operation:

Homogeneous Representation A frame in space (geometric interpretation) Principal axis n w.r.t. the reference coordinate system

Homogeneous Transformation Translation

Homogeneous Transformation Composite Homogeneous Transformation Matrix ? Transformation matrix for adjacent coordinate frames Chain product of successive coordinate transformation matrices

Homogeneous Transformations With respect to the universal frame  , the position of    is: Figure 2.5 assumes, that the location of a cube is available via position vector and orientation matrix. Position of the corner opposite to the bodies frame is known relative to the body frame via . This procedure can be easily extended to describe more complex relations between frames

Homogeneous Transformations This equation can be reduced in a very handsome way by introducing homogenous coordinates and transformation. This equation can be reduced in a very handsome way by introducing homogenous coordinates and transformation.

Minimal Representation of Orientation There are several ways to describe rotations in three dimensions. For example any rotation can be defined by its axis and angle. This information can also be put into a mathematical object called quaternion. (This is how most computer programs and ideal with rotations.) However in physics three so-called Euler angles (or Euler's angles or Eulerian angles) are often preferred (mainly for quantum mechnical reasons) to define a rotation. The idea of Euler angles is to split the complete rotation of a cartesian coordinate system into three simpler rotations about the axes of this system. Convention 2 is used in aeronautical engineering in the analysis of space vehicles.convention 1 is used in the analysis of gyroscopic motion.

سینماتیک روباتهای متحرک هدف: توصیف عملکرد مکانیکی روبات به منظور طراحی و کنترل سینماتیک رواتهای متحرک شبیه به روباتهای صنعتی است با این تفاوت که روبات متحرک میتواند آزادانه در محیط حرکت نماید. علاوه بر آن روش مستقیمی برا یاندازه گیری موقعیت روبات نیست و موفعیت را باید در طول زمان با انتگرال گیری از حرکت های انجام شده بدست آورد. اینکار منجر به ایجاد خطا در اندازه گیری خواهد شد. مقابله با این مسئله یکی ازمباحث جدی در روبات های متحرک میباشد. برای فهم حرکت روبات باید از محدودیتهائی که چرخها بر سر راه حرکت ایجاد میکنند شروع نمود.

نشان دادن موقعیت روبات فرض میشود که روبات یک جسم صلب باشد که روی چرخها قرار گرفته و بر روی یک صفحه حرکت میکند. موقعیت روبات را میتوان با دو متغیر x,y در صفحه و یک متغیر q برای نشان دادن جهت آن مشخص نمود

نشان دادن موقعیت روبات برای اینکار از دو فریم مختصات استفاده میشود: یکی فریم مختصات مرجع و دیگری فریم محلی که بر روی روبات قرار دارد فریم مرجع بصورت زیر نشان دادن میشود فریم روبات بصورت زیر نشان داده میشود

نشان دادن موقعیت روبات اگر اختلاف زاویه بین فریم روبات و فریم مرجع برابر با q بوده و مبدا فریم روبات (P) درنقطه x,y نسبت به فریم مرجع قرار داشته باشد در اینصورت فریم روبات نسبت به فریم مرجع بصورت زیر نشان داده میشود.

نشان دادن موقعیت روبات برای توصیف حرکت روبات لازم است تا حرکت در راستای فریم مرجع به حرکت در فریم روبات نگاشت شود. برای اینکار از ماتریس دوران زیر استفاده میشود. برای مثال برای حالت شکل قبل داریم

مدل سینماتیک مستقیم هدف: اگر سرعت چرخهای روبات و ابعاد هندسی آنرا را داشته باشیم حرکت روبات چگونه خواهد بود؟ روبات شکل زیر دارای دو چرخ هر یک با شعاع r بوده و باندازه l از نقطه P که در وسط بین دو چرخ قرار دارد فاصله دارد. سرعت چرخها برابر با q1,q2 میباشد. در اینصورت مدل سینماتیک مستقیم روبات بصورت زیر خواهد بود:

مثال

محاسبه سینماتیک مستقیم برای محاسبه حرکت روبات در فریم مرجع میتوان تاثیر هر یک از چرخها در فریم روبات را محاسبه کرده و نتیجه را به فریم مرجع منتقل نمائیم. اگر فرض کنیم که روبات در جهت محور X در حرکت باشد سرعت حرکت نقطه P بازای چرخش هر یک از چرخها بصورت زیر خواهد بود: در یک روبات با درایو دیفرانسیلی میتوان این دو مولفه را با هم جمع نمود

محاسبه سینماتیک مستقیم مولفه y. این حرکت صفر خواهد بود. برای محاسبه مولفه q در نظر داشته باشید اگر فقط چرخ راست دوران کند روبات حول چرخ چپ به چرخش در خواهد آمد.سرعت زاویه ای نقطه P برابر خواهد بود با: به همین ترتیب برای چرخ چپ داریم با ترکیب این روابط مدل سینماتیکی روبات بصورت زیر خواهد بود

محاسبه سینماتیک مستقیم در این رابطه مقدار ماتریس دوران از رابطه زیر بدست میاید. در حالت کلی برای توصیف حرکت روبات مجبور خواهیم بود تا محدودیت هائی که هر چرخ بر حرکت اعمل میکند را نیز در نظر بگیریم.