מבוא לאקונומטריקה - תיאור הקורס 1. חובות הקורס א. קריאות ב. הגשת תרגילים וקבלת ציון עובר ב- 6 תרגילים לפחות (מתוך 9). ג. הגשת תרגיל סיכום 2. תנאי מעבר הקורס קבלת ציון (60) בבחינה הסופית, וקבלת ציון עובר (60) בתרגיל הסיכום. אם התלמיד קיבל ציון עובר בכל אחד מהם, הציון הסופי בקורס יחושב ממוצע משוקלל כאשר משקל הבחינה 80% ומשקל תרגיל הסיכום 20%. התרגיל תקף לשני מועדי בחינה (לא בהכרח מועדים עוקבים). פטור מהגשת תרגילים ברישום שני מותנה באישור.

רשימת קריאות ספרי הלימוד המומלצים הם:   1.  Gujarati, Damonar N., Basic Econometrics, 3rd. ed.,McGraw Hill, 1995.     2.  Pindyck R.S., and Rubinfeld D.L., Econometric Models and Economic Forcast, McGraw-Hill, 3rd ed., 1991.   פירוט הקריאות מתוך הספרים הנ"ל: קריאות (Pindyck) קריאות (Gujarati) מספר שבועות הנושא Ch. 2 1 חזרה על מושגי יסוד בסטטיסטיקה Ch. 3 Ch. 3, 4, 5 3 רגרסיה פשוטה Ch. 4, Ch. 5 110-117   Ch. 7, 8, 13 4-3 רגרסיה רבת משתנים Ch. 5 104-110, 121-123 Ch. 15 משתנים מסבירים איכותיים Ch. 7 157-158, 161-165 Ch. 17 604-605 שגיאות ספציפיקציה אמידה בעזרת משתני עזר Ch. 6 137-149 Ch. 8 190-195 Ch. 12 מודלים דינמיים Ch. 6 127-136 Ch. 11 שונות משתנה Ch. 18, 19, 20 משוואות סימולטניות

הקדמה אקונומטריקה זהו תחום של מחקר בו פותחו כלים לענות על שאלות כלכליות תוך שימוש בנתונים. מה נלמד? נלמד את שיטות המחקר הבסיסיות וניישם אותן לשאלות כלכליות כמותיות אשר עבורן נעשה מחקר כלכלי רב. בכיתה נתמקד בלימוד השיטות (כל המחקר) תוך שימוש וירטואלי בנתונים . בעבודות הבית יעשה שימוש בנתונים בנושאים מרכזיים.

הקדמה (המשך) דוגמאות לשאלות כמותיות: מהי הנטיה השולית לצרוך מתוך ההכנסה? מהי גמישות הביקוש לכסף ביחס לשער הריבית? מהי התשואה בשכר לשנת לימוד? האם קיימת אפליית נשים בשוק העבודה? האם יש יתרונות לגודל ביצור? מהי גמישות הביקוש לשימוש בטלפונים סלולריים? כדי לענות על שאלות אלו יש לבנות מודל תאורטי שניתן לקבל עבורו נתונים וקימות שיטות אקונומטריות מתאימות.

הקדמה - המשך המודל המרכזי שנלמד הינו המודל הלינארי (שקף 12). כדי לענות על השאלה:מהי התשואה בשכר לשנת לימוד? יש צורך בנתונים על שכר ושנות לימוד. אילו נתונים? חתך רוחב או סידרה עתית. יש צורך במודל אקונומטרי אשר מהנתונים הקיימים ניתן לקבל אומדן לתשואה על שנת חינוך. סיפור מבית המשפט להגבלים עסקיים על השפעת צירוף מקומוני "ידיעות אחרונות" לעיתון על תפוצת המקומון "העיר".

חזרה על מושגי יסוד בסטטיסטיקה משתנה מיקרי - x הוא משתנה מיקרי - כלומר יש לו פונקצית התפלגות ופונקצית צפיפות. תכונות פונקצית ההתפלגות ופונקצית הצפיפות התפלגות - אם x משתנה רציף - ההסתברות שהמשתנה יקבל ערך קטן או שווה ל x מתוארת ע"י פונקצית ההתפלגות של x. צפיפות - פונקצית הצפיפות היא הנגזרת של x בנקודה. תכונות: דוגמא:התפלגות נורמלית: שני פרמטרים: התוחלת והשונות

  תוחלת - מדד למיקום שבו x בשכיחות גבוהה דוגמא: התפלגות נורמלית שונות - מדד פיזור של x התפלגות נורמלית סטנדרטית – אם x הוא משתנה נורמלי אזי , z הוא משתנה נורמלי סטנדרטי שתוחלתו אפס ושונותו אחת.

אי תלות סטטיסטית - ו הם משתנים מיקריים בלתי תלויים אם הצפיפות המשותפת שלהם שווה למכפלת הצפיפויות כלומר אם היא פונקצית הצפיפות של ו היא פונקצית הצפיפות של אזי התפלגות משותפת - התפלגות תלויה - חוק בייס - w - שכר S - שנות השכלה תוחלת תלויה - אם בלתי תלוי ב

 שונות משותפת – אם בלתי תלוי ב אם - אזי יש קשר עולה בין לבין . אם - אזי יש קשר יורד בין לבין . מתאם -

 נניח שיש לנו מדגם מיקרי על ההכנסה של N פרטים x - הכנסה - משתנה מיקרי עם תוחלת , שונות ופונקצית צפיפות - ההכנסה של פרט ההסתברות למדגם - (בהנחה ש משתנים מיקריים ב"ת מאותה התפלגות). פונקצית הניראות - פונקצית הצפיפות המשותפת לאחר שמציבים בה את התצפיות . פונקצית הניראות היא הערך של הסתברות המדגם עבור ערכים שונים של הפרמטרים של

אאמידה אומדי ניראות מקסימליים - ו שיביאו למקסימום את פונקצית הניראות. אומדי ניראות מקסימליים - ו שיביאו למקסימום את פונקצית הניראות. זהו אומד ניראות מקסימלית ל . אומד זה הינו אומד חסר הטיה, כלומר . זהו אומד ניראות מקסימלית ל . אומד זה הינו מוטה. זה אומד חסר הטיה לשונות.  תכונות האומדים: 1. אומד חסר הטיה. 2. אומד ניראות מקסימלית. 3. אומד עם שונות מינימלית.

המודל הלינארי הפשוט - משתנה תלוי - אנדוגני - עבור תצפית . - משתנה תלוי - אנדוגני - עבור תצפית . (הכנסה של פרט )  - משתנה אקסוגני - בלתי תלוי עבור תצפית . (שנות לימוד של פרט) - השפעה של גורמים נוספים עליהם אין לנו תצפיות – הפרעה אקראית a ,b - הפרמטרים של המודל הלינארי.   a - קבוע b - מקדם השיפוע

מודל לוגריטמי נגדיר:   במקרה זה b זו גמישות של ביחס ל  

מודל חצי-לוגריטמי מודל זה מקובל מאוד לאמידת משוואות שכר וביקוש לכסף   שכן המשתנה המוסבר מקבל תמיד ערכים חיוביים.

ההנחה הראשונה במודל היא: לכל . ההנחה השניה: בלתי תלוי ב ולכן לכל ו . שיטות אמידה למודל הלינארי - ו הם אומדי ריבועים פחותים אם הם מביאים למינימום   את הסכום כאשר מציאת אומדי ריבועים פחותים תנאי סדר ראשון - המשוואות הנורמליות מהנגזרת לפי נקבל: מהנגזרת לפי נקבל: כלומר מתאם אפס בין ההפרעה למשתנה האקסוגני

פתרון אלגברי של אומדי ריבועים פחותים: באופן דומה: (כלומר, קו הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים)

תאור הקשר בין הפרמטרים לאומדניהם - הקשר בין ל באופן דומה, הקשר בין ל

חוסר הטיה טענה: אם וכן בלתי תלוי ב לכל ו , אזי ו הם אומדים חסרי הטיה טענה: אם וכן בלתי תלוי ב לכל ו , אזי ו הם אומדים חסרי הטיה  הוכחה:

אומדים לינאריים ואומדים חסרי הטיה   אומדים לינאריים ואומדים חסרי הטיה  אומד לינארי הוא אומד מהצורה הבאה   - משקל כלשהו על תצפית .  אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:   א. בלתי תלוי ב , ב. ג.   אזי כלומר, זהו אומד חסר הטיה ולכן -

ללא הגבלת הכלליות נניח כי אם מאחר ו אם מאחר ו אנו מחפשים אומד חסר הטיה בעל שונות מינימלית חישוב השונות של אומד לינארי חסר הטיה:

הנחה 3:   ההפרעות האקראיות אינן מתואמות. כלומר, לכל מתקיים - חוסר מתאם סידרתי  הנחה 4:   שונות שווה (זהה) - השונויות של ההפרעות האקראיות זהות כלומר, לכל מתקיים

הנחה 1 - תוחלת אפס ל -u. הנחה 2 - אקסוגניות של ה - x-ים ביחס ל - u. הנחה 3 - חוסר מתאם סידרתי בין ה u -ים. הנחה 4 – שונות זהה של ההפרעות.

משפט גאוס מרקוב (משפט קרמר - ראו) מתוך קבוצת האומדים הלינאריים הבלתי מוטים – אומד ריבועים פחותים הוא בעל השונות המינימלית אם: המודל לינארי בהנחות הבאות: 1. 2. בלתי תלויים ב - 3. לכל מתקיים 4. לכל מתקיים - שונות זהה

התפלגות האומדים של המודל הלינארי קיבלנו ש ולכן ההתפלגות של תקבע את ההתפלגות של . הנחה 5: ו אומד נראות מקסימליתMaximum Likelihood Estimator עבור נתון , ההתפלגות של היא נתאר את הצפיפות המשותפת של המדגם של עבור X-ים נתונים והפרמטרים א.ר.פ של ו גם א.נ.מ

ההתפלגות של האומדים מתפלג נורמלית מאחר והוא קומבינציה ליניארית של משתנים המתפלגים נורמלית. כל זאת כאשר ידועים. בצורה דומה גם מתפלג נורמלית. כאשר כאשר אומדן לשונות א.נ.מ ל - - א.ח.ה ל - -

הסטטיסטי המתאים לבדיקת ההשערה הוא: נערוך תקנון להתפלגות של האומד להתפלגות נורמאלית סטנדרטית – ההתפלגות של Z נבחן את ההשערה b = b0 H0: כנגד ההשערה H1: b > b0 הסטטיסטי המתאים לבדיקת ההשערה הוא: אם הערך של סטיית התקן של ההפרעה ידוע אזי ניתן לבחון את ההשערה תוך שימוש בהתפלגות Z. דוחים את H0 אם הערך המחושב ל- Z הוא גדול מערך הקריטי של Z Zc כך ש- Pr(Z > Zc) =  ,  = רמת המובהקות.

מה קורה כאשר  לא ידוע? נחשב את הסטטיסטי t(N-2) . כדי לעשות זאת נשתמש ב- Z של האומד וכן נראה את התפלגות האומד לשונות, s2 שהיא 2 . ישנם אומדנים בלתי תלויים מתוך המשוואה מקבלים תלות בין אחד לבין היתר ומהמשווה מקבלים תלות בין אחר לבין היתר ה - הם תוצאה של פתרון המשוואות הנורמליות או פתרון לפרמטרים. כמספר המשוואות, כך גם מספר ה - התלויים, ולכן נותרו u - ים בלתי תלויים. הם משתנים מיקריים כמו כאשר ולכן

הגדרה של התפלגות - סכום ריבועים של (2-N) של משתנים מקריים סטנדרטיים בילתי תלויים הגדרה של הסטטיסטי - t נניח ש וכן וכן Z בלתי תלוי ב – y אזי: כלומר, מתקבלת התוצאה הכללית: כנ"ל עבור : תוצאה זו היא הבסיס לבדיקת השערות פשוטות על המקדמים.

בדיקת השערות ההשערה: נשתמש בסטטיסטי הערך של האומדן ל- ידוע וכן האומדן ל - ידוע ולכן ניתן לחשב את הסטטיסטי דוחים את השערת האפס אם הסטטיסטי גדול מערך קריטי tc כך ש- Pr(t(N-2)>tc) = 0.05 ההסתברות השולית של השערת האפס (Marginal Significance Level = Prob (E-View) היא הערך של Pr(t(N-2)>t-statistic) . דוחים את השערת האפס אם ערך זה קטן מ- 0.05. M.S.Probability T-stat

רווח בר-סמך קטע סימטרי סביב שההסתברות ש - מצא בקטע היא אחת פחות רמת המובהקות הרצויה. אורך הרווח בר סמך שווה לגודל A. מכאן מתקבל שהקטע A = רווח בר סמך ל-

תחזית המודל נניח שידוע לנו , התחזית הטובה ביותר עבור , הערך של אותה תצפית נוספת, או התוחלת של YF , כאשר המדגם כולל את N התצפיות הקודמות בהינתן היא:   תחת הנחות המודל, כאשר ו הם א.ח.ה F Y מדוע זוהי התחזית הטובה ביותר?   1.   האומד ל הוא א.ח.ה – הוכחה מיידית. 2.   שונות האומד היא הקטנה ביותר מבין כל האומדים הליניאריים חסרי ההטיה. המשך ישיר למשפט גאוס-מרקוב.

שונות קוו הרגרסיה = שונות של הקוו הנאמד שונות התחזית = תוחלת הסטיה הריבועית מהתחזית = Mean Squared Predicted Error

נחשב את שונות התחזית: נציב ונקבל: רווח בר סמך לתחזית

הגדרה: מקדם המתאם המרובה מגדיר את איכות ההתאמה של המודל לנתונים. מקדם המתאם המרובה מגדיר את איכות ההתאמה של המודל לנתונים. הגדרות: SST = סה"כ סטיות ריבועיות של y =(סטיות ריבועיות של y מ- ) SSR = סה"כ סטיות ריבועיות של קו הרגרסיה מ - SSE = סכום הסטיות הריבועיות של ההפרעה המקרית הנאמדת הגדרה:

נוכיח שכאשר יש קבוע מתקיימת המשוואה: SST =SSE+SSR כאשר יש קבוע:   גם כאשר יש וגם כאשר אין קבוע: ולכן כאשר יש קבוע מתקיים: