אחד במחיר של שניים : גישה מאוחדת לפיתוח אלגוריתמי קירוב ראובן בר - יהודה מכללת ת " א יפו לזכרו של פרופ ' שמעון אבן מורי ורבי
בעית אופטימיזציה ידועה : מסלול זול ביותר בין 2 ערים S T Shotest path distance label S E T A B C G F
בעית אופטימיזציה ידועה : מסלול זול ביותר בין 2 ערים S T Shotest path S E T A B C G F distance label
בעית אופטימיזציה ידועה : מסלול זול ביותר בין 2 ערים S T Shotest path S E T A B C G F distance label
בעית אופטימיזציה ידועה : מסלול זול ביותר בין 2 ערים S T Shotest path S E T A B C G F distance label $14 + $30 + $16 = $60
בעית אופטימיזציה ידועה : מסלול זול ביותר בין 2 ערים S T Shotest path S E T A B C G F distance label $15+ $44 = $59
בעית אופטימיזציה ידועה : מסלול זול ביותר בין 2 ערים S T Shotest path S E T A B C G F distance label $9 + $23 + $19 = $61
בעית אופטימיזציה ידועה : מסלול זול ביותר בין 2 ערים S T Shotest path S E T A B C G F distance label $14 + $18 + $2 + $16 = $50
מסלול זול ביותר בין 2 ערים לאיזה מערכת מחירים כל המסלולי הם אופטימאליים ? S E T A B C G F distance label אפשרות טריביאלית : כולם אפסים ! יש עוד ?...
מסלול זול ביותר בין 2 ערים לאיזה מערכת מחירים כל המסלולים הם אופטימאליים ? S E T A B C G F distance label אפשרות טריביאלית : כולם אפסים ! יש עוד ?... כן ! הכבישים היוצאים מהמקור מחיר אחיד ( ולכל השאר 0)
מסלול זול ביותר בין 2 ערים לאיזה מערכת מחירים כל המסלולים הם אופטימאליים ? S E T A B C G F distance label אפשרות טריביאלית : כולם אפסים ! יש עוד ?... כן ! הכבישים היוצאים מהמקור מחיר אחיד ( ולכל השאר 0), יש עוד ??
מסלול זול ביותר בין 2 ערים לאיזה מערכת מחירים כל המסלולים הם אופטימאליים ? S E T A B C G F 0 0 distance label הצעה : הכבישים היוצאים מהמקור מחיר אחיד הכבישים הנכנסים למטרה מחיר אחיד ( ולכל השאר 0) וכביש ישיר ? +
ונחזור למערך מחירים המקורי... רוצים לעשות " מבצע הנחות " כך שלכל המסלולים תתקבל אותה הנחה S E T A B C G F =8 14-1= = distance label $14 -$1+ $18 + $2 + $16 = $50-$1
כל המסלולים הוזלו ב 9$ כולל האופטימאלי, לכן מציאת מסלול " כחול " מינימום שקול לבעיה המקורית S E T A B C G F =0 14-9=5 15-9= distance label $14 -$9+ $18 + $2 + $16 = $50-$9 = $41 למה לא יותר?
מה עושים עם כביש חינם ? S E T A B C G F =0 14-9=5 15-9= distance label $5 (+$9)+ $18 + $2 + $16 = $41 (+$9)
והבעיה החדשה... ונמשיך באותה שיטה : מבצע הנחות של 5$ S E T A B C G F =0 14-9=5 15-9= distance label $5 (+$9)+ $18 + $2 + $16 = $41 (+$9)
והבעיה החדשה... ונמשיך באותה שיטה : מבצע הנחות של 5$ S E T A B C G F =0 6-5= distance label $5-$5 (+$9)+ $18 + $2 + $16 = $41-$5 (+$9) 23-5=18
ושוב... מה עושים עם כביש חינם ? S E T A B C G F =0 6-5= distance label $5-$5 (+$9)+ $18 + $2 + $16 = $41-$5 (+$9) 23-5=18
וכן הלאה.. ( קיבלנו והוכחנו את האלגוריתם של דיקסטרה ) S E T A B C G F =0 6-5= distance label $5(+$14)+ $18 + $2 + $16 = $36(+$14) 23-5=18
Min Path פורמלית: מסלול קצר ביותר Given digraph G(V,E) s,t V and p e Z for each e E Minimize p e ·x e Subject to: x e {0,1} x e 1 s t cut P e P
VC דוגמא נוספת: כיסוי בצמתים Given a graph G=(V,E) penalty p v Z for each v V Min p v ·x v S.t.: x v {0,1} x v + x u 1 {v,u} E
Min 5x ביסלי +8x תה +12x מים +10x במבה +20x שמפו +15x פופקורן +6x שוקולד s.t. x שמפו + x מים 1 נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! = 45 פתרון פיזיבילי
Min 5x ביסלי +8x תה +12x מים +10x במבה +20x שמפו +15x פופקורן +6x שוקולד s.t. x שמפו + x מים 1 נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! = 41 פתרון פיזיבילי
Min 5x ביסלי +8x תה +12x מים +10x במבה +20x שמפו +15x פופקורן +6x שוקולד s.t. x שמפו + x מים 1 נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! = 41 פתרון פיזיבילי
נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! = 0 לאיזה מערכת מחירים כל הפתרונות הם אופטימאליים? אפשרות טריביאלית : כולם אפסים ! יש עוד ?... לא ! מה עם פשרה ??
נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! = 1 לאיזה מערכת מחירים כל הפתרונות הם כמעט אופטימאליים? פשרה : עד כדי פקטור 2
נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! = 2 לאיזה מערכת מחירים כל הפתרונות הם כמעט אופטימאליים? פשרה : עד כדי פקטור 2 נמכר ! SOLD!
נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! = פתרון פיזיבילי ונחזור למערך מחירים המקורי...רוצים לעשות "מבצע הנחות כך שלכל הפתרונות תתקבל כמעט אותה הנחה
נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! נמכר ! SOLD! = פתרון פיזיבילי ונחזור למערך מחירים המקורי...רוצים לעשות "מבצע הנחות כך שלכל הפתרונות תתקבל כמעט אותה הנחה נמכר ! SOLD!
Movie: 1 4 the price of 2
Linear Programming (LP) תכנות לינארי Integer Programming (IP)תכנות בשלמים Linear Programming (LP) תכנות לינארי Integer Programming (IP)תכנות בשלמים Given a penalty [profit] vector p נתון וקטור קנסות [ פרסים ] Minimize [Maximize] p·x מצא מינימום [ מקסימום ] Subject to: Linear Constraints F(x) תחת אלוצים לינאריים IP: where “x is an integer vector” is a constraints תכנות בשלמים : כאשר הוקטור מאולץ להיות וקטור שלמים
Example: VC דוגמא: כיסוי בצמתים Given a graph G=(V,E) and penalty vector p Z n Minimize p·x Subject to: x {0,1} n x i + x j 1 {i,j} E
Example Min Path Given digraph G(V,E) s,t V and length vector p Z |E| Minimize p·x Subject to: x {0,1} |E| x e 1 s t cut P e P
Example MST (Minimum Spanning Tree) Given graph G(V,E) and length vector p Z |E| Minimize p·x Subject to: x {0,1} |E| x e 1 cut P e P
Example Minimum Steiner Tree Given graph G(V,E) T V and length vector p Z |E| Minimize p·x Subject to: x {0,1} |E| x e 1 T’s cut P e P
Example Generalized Steiner Forest Given graph G(V,E) T 1 T 1 …T k V and length vector p Z |E| Min p·x S.t.: x {0,1} |E| x e 1 i T i ’s cut P e P
The Local-Ratio Technique:טכניקת היחס המקומי: Basic definitions הגדרות בסיסיות The Local-Ratio Technique:טכניקת היחס המקומי: Basic definitions הגדרות בסיסיות Given a penalty [profit] vector p נתון וקטור קנסות [ פרסים ] Minimize [Maximize] p·x מצא מינימום [ מקסימום ] Subject to: feasibility constraints F(x) תחת אלוצים x is r-approximation if F(x) and p·x r · p·x* An algorithm is r-approximation if for any p, F it returns an r-approximation
The Local-Ratio Theorem:משפט היחס המקומי: The Local-Ratio Theorem:משפט היחס המקומי: x is an r-approximation with respect to p 1 x is an r-approximation with respect to p- p 1 x is an r-approximation with respect to p Proof : (For minimization) p 1 · x r × p 1 * p 2 · x r × p 2 * p · x r × ( p 1 *+ p 2 *) r × ( p 1 + p 2 )*
Special case: Optimization is 1-approximation מקרה פרטי: אופטימיזציה היא 1-קירוב Special case: Optimization is 1-approximation מקרה פרטי: אופטימיזציה היא 1-קירוב x is an optimum with respect to p 1 x is an optimum with respect to p- p 1 x is an optimum with respect to p אם פתרון מסוים הוא אופטימאלי ביחס לווקטור מחירים כתום ואותו פתרון הוא גם אופטימאלי ביחס לווקטור מחירים כחול אז פתרון זה יהיה אופטימאלי גם ביחס לווקטור המתקבל מסכומם
A Local-Ratio Schema for Minimization[Maximization] problems: A Local-Ratio Schema for Minimization[Maximization] problems: Algorithm r-ApproxMin[Max]( Set, p ) If Set = Φ then return Φ ; If I Set p(I)=0 then return {I} r-ApproxMin( Set-{I}, p ) ; [If I Set p(I) 0 then return r-ApproxMax( Set-{I}, p ) ;] Define “good” p 1 ; REC = r-ApproxMax[Min]( Set, p- p 1 ) ; If REC is not an r-approximation w.r.t. p 1 then “fix it”; return REC;
The Local-Ratio Theorem: Applications Applications to some optimization algorithms (r = 1): ( MST) Minimum Spanning Tree (Kruskal) MST ( SHORTEST-PATH) s-t Shortest Path (Dijkstra) SHORTEST-PATH (LONGEST-PATH) s-t DAG Longest Path (Can be done with dynamic programming)(LONGEST-PATH) (INTERVAL-IS) Independents-Set in Interval Graphs Usually done with dynamic programming)(INTERVAL-IS) (LONG-SEQ) Longest (weighted) monotone subsequence (Can be done with dynamic programming)(LONG-SEQ) ( MIN_CUT) Minimum Capacity s,t Cut (e.g. Ford, Dinitz) MIN_CUT Applications to some 2-Approximation algorithms: (r = 2) ( VC) Minimum Vertex Cover (Bar-Yehuda and Even) VC ( FVS) Vertex Feedback Set (Becker and Geiger) FVS ( GSF) Generalized Steiner Forest (Williamson, Goemans, Mihail, and Vazirani) GSF ( Min 2SAT) Minimum Two-Satisfibility (Gusfield and Pitt) Min 2SAT ( 2VIP) Two Variable Integer Programming (Bar-Yehuda and Rawitz) 2VIP ( PVC) Partial Vertex Cover (Bar-Yehuda) PVC ( GVC) Generalized Vertex Cover (Bar-Yehuda and Rawitz) GVC Applications to some other Approximations: ( SC) Minimum Set Cover (Bar-Yehuda and Even) SC ( PSC) Partial Set Cover (Bar-Yehuda) PSC ( MSP) Maximum Set Packing (Arkin and Hasin) MSP Applications Resource Allocation and Scheduling : ….
VC (V, E, p) If E= return ; If p(v)=0 return {v}+VC(V-{v}, E-E(v), p); Let (x,y) E; Let = min{p(x), p(y)}; Define p 1 (v) = if v=x or v=y and 0 otherwise; Return VC(V, E, p- p 1 ) VC: Recursive implementation (edge by edge) כיסוי בצמתים: מימוש רקורסיבי (קשת קשת)
VC: Iterative implementation (edge by edge) מימוש איטרטיבי VC (V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
Min 5x ביסלי +8x תה +12x מים +10x במבה +20x שמפו +15x פופקורן +6x שוקולד s.t. x שמפו + x מים 1
VC: Iterative implementation (edge by edge) BarYehuda+Even 81 (V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
VC: Iterative implementation (edge by edge) BarYehuda+Even 81 (V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
VC: Iterative implementation (edge by edge) BarYehuda+Even 81(V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
VC: Iterative implementation (edge by edge) BarYehuda+Even 81(V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
VC: Iterative implementation (edge by edge) BarYehuda+Even 81(V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
VC: Iterative implementation (edge by edge) BarYehuda+Even 81(V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
VC: Iterative implementation (edge by edge) BarYehuda+Even 81(V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
VC: Iterative implementation (edge by edge) BarYehuda+Even 81(V, E, p) for each e E; let = min{p(v)| v e}; for each v e p(v) = p(v) - ; return {v| p(v)=0};
אחד במחיר של שניים : גישה מאוחדת לפיתוח אלגוריתמי קירוב ראובן בר - יהודה מכללת ת " א יפו לזכרו של פרופ ' שמעון אבן מורי ורבי מודים לכם על תשומת הלב