1 Slide Slide 第 2 章 敘述統計I：表格與圖形法

2 Slide Slide 敘述統計 I ：表格與圖形法 類別資料的彙總 定量資料的彙總 探究性資料分析：莖葉圖 交叉表格與散佈圖

3 Slide Slide 定性資料的彙總  次數分配  相對次數分配  百分比次數分配  長條圖  圓形圖

4 Slide Slide 次數分配 (frequency distribution) 是資料集合的一種 表格彙總方式，用以顯示不相重疊的各個資料組別中各自含有的觀察值次數。。 表格彙總方式，用以顯示不相重疊的各個資料組別中各自含有的觀察值次數。。 次數分配的優點是提供了一個比原始資料更容易瞭解 的資料彙整方式，我們能瞭解 50 個購買紀錄在 5 種產 品間的分佈情形。次數分配的優點是提供了一個比原始資料更容易瞭解 品間的分佈情形。 次數分配

5 Slide Slide 次數分配  以下列例子說明定性資料次數分配的建立與解釋。 Coke Classic 、 DietCoke 、 Dr. Pepper 、 Pepsi-Cola 和 Sprite 是 5 種廣受歡迎的清涼飲料。表 2.1 列舉 了 50 個清涼飲料的購買成本。

6 Slide Slide 次數分配

7 Slide Slide 次數分配  為求得這些資料的次數分配， 我們計算每種飲料在資料集合 的總出現次數， Coke Classic 出 現 19 次， Diet Coke 出現 8 次， Dr. Pepper 出現 5 次， Pepsi- Cola 出現 13 次， Sprite 出現 5 次。  我們彙整了這些次數，並列示 於表 2.2 的次數分配表。

8 Slide Slide 一個資料組的相對次數 (relative frequency) 即 代表該類別之觀察值次數與所有觀察值次數的比率。 代表該類別之觀察值次數與所有觀察值次數的比率。 屬於該組觀察值次數 屬於該組觀察值次數 一個組別的相對次數 = n 相對次數

9 Slide Slide 相對次數分配  相對次數分配 (relative frequency distribution) 是 一個資料集的表格化彙總，顯示資料集裡每個 組別的相對次數。

10 Slide Slide 百分比次數分配 百分比次數分配 (percent frequency distribution) 也是資料集的表格化彙總。 百分比次數分配 (percent frequency distribution) 也是資料集的表格化彙總。 百分比次數分配顯示每一個組別的百分比次 數。 數。

11 Slide Slide 百分比次數分配  表 2.3 是購買清涼飲料的相對次數和百分比次數，可看出 Coke Classic 的相對次數是 19/50 ＝ 0.38 ， Diet Coke 的相對 次數則是 8/50 ＝ 0.16 等等。由百分比次數分配，我們可發 現 38 % 的購買者選擇 Coke Classic ， 16% 選擇 Diet Coke 等等，也可看出前三名佔全體的比例為 38% ＋ 26% ＋ 16% ＝ 80% 。

12 Slide Slide 長條圖  長條圖 (bar graph 或 bar chart) 是一種圖形，用以 描述經過彙總 ( 如次數分配、相對次數分配、或百 分比次數分配 ) 的定性資料。  圖形的一軸 ( 通常是橫軸 ) 是用來表示組別名稱的 標記或符號。圖形的另一軸 ( 通常是縱軸 ) 則表示 次數、相對次數或百分比次數。  各個組別名稱上方有固定寬度的長條，以長條的 高度表示次數、相對次數或百分比次數。  對定性資料而言，每個組別應有所分隔不相鄰接， 表示每個組別 ( 或類別 ) 是有所區隔的。

13 Slide Slide 長條圖  圖 2.1 為 50 筆清涼飲料購買資料的次數分配長條 圖。在圖形中可看出 Coke Classic 、 Pepsi-Cola 與 Diet Coke 為最受歡迎的品牌。

14 Slide Slide 圓形圖  圓形圖 (pie chart) 也是一種用來表示 定性資料相對次數及百分比次數分 配的圖形。  圓形圖的畫法是，由一個圓形的圓心依照各資料 組的相對次數所對應的圓心角而劃分。  例如 Coke Classic 之相對次數為 0.38 ，因此 Coke Classic 所佔圓形的部分相當於圓心角 0.38×360 ＝ 度的扇形。同理，其他四種品牌亦可得到相 對應的扇形部分，結果如圖 2.2 所示。扇形內的 數值可以是次數、相對次數或百分比次數。

15 Slide Slide 圓形圖

16 Slide Slide 評註 1. 通常，次數分配的組數和資料集的類別總數是相 同的。就如同本節表 2.1 的資料顯示，該資料集 裡有 5 種清涼飲料，每一種品牌便是次數分配裡 的一個組別。如果這個資料集包括了所有的清涼 飲料，則將有資料個數非常少的組別出現在次數 分配裡 ( 甚至有購買次數為 0 的清涼飲料產品 ) 。 大部分的統計學家建議這些觀察值次數非常少的 組別彙整為同一組，組名可取為「其他」。次數 在 5% 以下的組別，通常會依上述方式處理。 2. 次數分配的總次數應等於資料集的資料總數；相 對次數的總和必須為 1.00 ；百分比次數分配的百 分比總和則應為 100 。

17 Slide Slide 定量資料的彙總  次數分配  相對次數分配與百分比次數分配  直方圖  累積分配

18 Slide Slide 次數分配  為定量資料做次數分配，必須完成以下三個步驟： 1. 決定不相重疊的組別數目。 2. 決定每一組的組寬。 3. 決定每一組的組界。

19 Slide Slide 組數 (number of classes)  組數 (number of classes) 的制定可經由資料集合裡 資料值的範圍來規定。 一般而言，我們建議將資料集合分成 5 至 20 組。較小 的資料集合，通常分成 5 組或 6 組即可，較大的資料集 合需要較多的組數。 分組時，我們希望使用夠多的 組數來表示資料集的變化性， 但也不希望組數太多，而每組 卻只包含很少的資料次數。 由於表 2.5 的資料較少 (n ＝ 20) ， 我們將分成 5 組來建構次數分配。

20 Slide Slide 組寬 (width of the classes)  建構定量資料的次數分配需要選定每組的寬度。 建議每組均採用相同的寬度。

21 Slide Slide 組寬 (width of the classes)  稽核天數的資料顯示，最大值與最小值分別為 33 與 12 ，由於已事先決定組數為 5 ，利用式 (2.2) 得 出近似的組寬為 (33 － 12)/5 ＝ 4.2 。  因此我們決定採用 5 天為次數分配的組寬。

22 Slide Slide 組界 (class limits)  選定組界 (class limits) 後，要讓每個資料只屬於唯 一一組。下組界 (lower class limit) 用以確認該分 組的最小可能值；上組界 (upper class limit) 則是 確認最大可能值。  如果是定性資料的次數分配，不必特意決定組界， 因為每個資料會自然歸屬於一個組別 ( 類別 ) 。

23 Slide Slide 組界 (class limits)  運用表 2.5 的資料，我們以 10 天為第一組的下組 界， 14 天為第一組的上組界。  表 2.6 將第一組標示為 。資料集的最小值 12 ， 落在 這組。第二組的下組界是 15 ，上組界 是 19 。  整個資料集被分為 5 組，分別是： 10-14, 15-19, 20-24, 25-29, 。  資料集的最大值是 33 ，落在 該組中。  兩個相鄰組別的下組界之間的差異便是組寬。  利用前兩個組別的下組界 10 及 15 ，我們知道組 寬為 15 － 10 ＝ 5 。

24 Slide Slide 組界 (class limits)  一旦決定組數、組寬以及組界， 便可經由計數落於每組內的資料 個數來建構一個次數分配表。  由此次數分配我們可知： 1. 次數最多的稽核時間介於 天 。 20 個稽核時間有 8 個是屬於這一 組。 2. 僅有一個稽核時間超過 30 天以上。

25 Slide Slide 組中點 (class midpoint)  在某些應用中，我們也許希望求出定量資料次數 分配的組中點，組中點 (class midpoint) 指的是上 組界及下組界的中間值，在稽核時間的資料中， 5 個組中點分別是 12, 17, 22, 27 及 32 。

26 Slide Slide 相對次數分配與百分比次數分配  定量資料的相對次數與百分比次數分配的定義， 與前述定性資料的作法相同。首先，所謂的相對 次數乃資料集裡某資料組的資料個數佔資料總數 的比率。對一個包含 n 個資料的資料集而言， 而百分比次數則是相對次數乘上 100 。

27 Slide Slide 相對次數分配與百分比次數分配  根據表 2.6 中的次數分配和 n ＝ 20 ，表 2.7 顯示稽 核時間資料集的相對次數分配與百分比次數分配。  其中，有 0.40 或 40 % 的稽核需要 15 至 19 天。  僅 0.05 或 5% 的稽核需要 30 天以上。  與未經彙整的原始資料相比，表 2.7 可以讓我們 進一步解釋資料。

28 Slide Slide 相對次數分配與百分比次數分配

29 Slide Slide 累加次數分配 值

30 Slide Slide 直方圖  另一個常見的定量資料圖形表示是直方圖 (histogram) 。  建構直方圖之前，資料須先經過在前述的彙整， 如次數分配、相對次數分配或百分比次數分配。  直方圖之建構是將我們感興趣之變數置於橫軸上， 而次數、相對次數或百分比次數則置於縱軸上。  每一分組的次數、相對次數或百分比次數以一個 矩形圖表示，其寬度是該組別之組寬，高度則是 相對應之次數、相對次數或百分比次數。

31 Slide Slide 直方圖

32 Slide Slide 直方圖  但在畫直方圖時，刪除了這些間隔。刪除組間間 隔有助於看出：即使資料值被歸整為整數，稽核 時間可能是介於第一組的下組界及最後一組的上 組界之間的任何數值。  直方圖最重要的用處之一是，讓我們瞭解資料分 布的形狀或形式。圖 2.5 中有 4 個相對次數分配的 直方圖。

33 Slide Slide 直方圖顯示不同程度的偏態  圖 A 顯示資料的分布呈現 左偏 (skewed to the left) ， 這是指分布形狀的左尾 ( 左端 ) 延伸得較遠。  此種直方圖常見於考試成 績的次數分配。因為分數 不會高於 100% ，大部分 的成績通常高於 70% ，很 低的分數則比較少見。

34 Slide Slide 直方圖顯示不同程度的偏態  圖 B 則是適度右偏 (skewed to the right) 的 直方圖，這是指分布 形狀的右尾 ( 右端 ) 延 伸得較遠。  購屋價格就是此種直 方圖的常見例子，少 數的豪宅會使資料的 右尾延伸。

35 Slide Slide 直方圖顯示不同程度的偏態  圖 C 是對稱的直方圖， 此圖中的左尾是右尾 的鏡射。實務中的直 方圖不會完全對稱， 但會大致對稱。  諸如 SAT 成績、身高 或體重之類的資料都 是大致對稱的形式。

36 Slide Slide 直方圖顯示不同程度的偏態  圖 D 則是高度右偏， 此圖的資料來自某女 性服飾店的顧客一日 採購金額。  商業經濟的實際應用 中，常可見此種向右 偏態的直方圖，例如， 購屋價格、薪水、採 購金額等等。

37 Slide Slide 累積次數分配 (cumulative frequency distribution) 是 次數分配的變形，它提供定量資料另一種表格化的彙總。 次數分配的變形，它提供定量資料另一種表格化的彙總。 累積次數分配利用次數分配的組數、組寬，以及組界來進行資料的表格化彙總。累積次數分配利用次數分配的組數、組寬，以及組界來進行資料的表格化彙總。 並不列出每個組別的資料次數，而是列出小於或等於上組界的總資料次數。並不列出每個組別的資料次數，而是列出小於或等於上組界的總資料次數。 累積分配

38 Slide Slide 累加次數分配  表 2.8 中的累加相對次數分配 (cumulative relative frequency distribution) 和累積百分比次數分配 (cumulative percent frequency distribution) 分別代表 小於或等於每一個組別上組界的資料個數佔資料 集合總數的相對比率和百分比。  累加相對次數分配的計算可由相對次數分配的比 率值相加總而得，也可由累積次數除以資料集的 資料總數而得。

39 Slide Slide x y  探究性資料分析：莖葉圖  交叉表格與散佈圖

40 Slide Slide 探究性資料分析 探究性資料分析 (exploratory data analysis) 的技 巧 ， 包括簡單的算術與可以快速彙總資料且容易 繪製的圖形。 有種稱為莖葉圖 (stem-and-leaf display) 的方法 可同時顯示資料的順序及形狀。

41 Slide Slide 莖葉圖實例  為了說明莖葉圖的用法，以表 2.9 的資料為例。 這些資料是 50 位哈斯肯斯公司 (Haskens Manufacturing) 的應徵者參加能力測驗的結果，這 項測驗共有 150 道題目，這些資料代表應徵者答 對的題數。  為了繪製莖葉圖，我們首先將每一個資料的十位 數安排到垂直線的左邊，且由小至大依序排列； 垂直線的右邊則記錄每一個資料的個位數，所放 的位置須對應十位數的位置。

42 Slide Slide 莖葉圖實例

43 Slide Slide 莖葉圖實例  將資料重新安排如上述的形式後，資料排序就非 常簡單。排序完成後，即完成莖葉圖如下。

44 Slide Slide 莖葉圖實例  直線左邊的數字 (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 與 14) 是莖 (stem) ， 線右邊每一個數字是葉 (leaf) ，例如，第一列的 6 是莖， 8, 9 是葉。 第 2 章敘述統計 I ：表格與圖形法 Part B ( ) 第 頁

45 Slide Slide 莖葉圖實例  這表示有兩個資料值的第一位數字是 6 ，葉的數值 顯示兩個資料是 68 與 69 。同理，第二列是 表示第一位數是 7 的資料有 6 筆： 72, 73, 73, 75, 76 以及 76 。  為了強調莖葉圖的形狀，我們利用長方形將每一 個莖的葉之部分框起來。如此一來，我們便可以 得到以下的表示圖。 第 2 章敘述統計 I ：表格與圖形法 Part B ( ) 第 42 頁

46 Slide Slide 莖葉圖實例  將上面的圖形依逆時針方向旋轉 90 度，則得到一 個組界為 60-69, 70-79, 等的直方圖。

47 Slide Slide 莖葉圖的優點 1. 莖葉圖容易繪製。 2. 在一個分類組別區間內，由於莖葉圖列出所有實 際資料值，故能提供比直方圖更詳細的資訊。

48 Slide Slide 莖葉圖  莖葉圖沒有絕對的列或莖的數目。  可將原始資料的第一個數字再分成兩個或兩個以 上的莖，如此一來，可以輕易地擴充莖葉圖。  莖葉圖以單一個數字來定義葉的值，葉單位顯示 莖葉圖的數字應乘上的適當倍數。如此一來，莖 葉圖即可以近似原始資料。葉單位可以是 100, 10, 1, 0.1 等等。

49 Slide Slide 莖葉圖實例  以下列資料為例，這是速食餐廳 15 週的漢堡銷售 量。  這些資料的莖葉圖如下。 以第一列的莖為 15 、 葉為 6 來說明，兩者合 起來是 156 。為得到原 始資料的估計值，我 們必須乘以 10 ，也就 是乘上葉單位。因此 156 ×10= 1,560 是原始 觀察值的近似值。

50 Slide Slide 交叉表格與散佈圖 交叉表格與散佈圖即彙總兩變數之資料的方法。 管理者或決策者通常也需要有助於瞭解兩變數間 關係的表格化與圖形化方法。 至目前為止，我們介紹的都是針對一次一個變數 的表格與圖形化彙總方法。

51 Slide Slide 表的最左欄與最上列的標記為表中兩個變數的 各種類別 。 交叉表格可以使用在： 一個定性變數，其他類別為定量變數 兩個變數都是定性變數 兩個變數都是定量變數 交叉表格 (cross tabulation) 可同時彙整兩變數 的資料。 交叉表格

52 Slide Slide 交叉表格實例  Zagat’s Restaurant Review 會刊出全世界各地餐廳 的相關資料，各種變數的資料諸如餐廳品質評等、 餐點價格等均有報導。  品質評等是一個定性變數，其類別有好 (good) 、 非常好 (very good) 、卓越 (excellent) 三個等級， 餐點價格為定量變數，範圍從 $10 到 $49 之間。  品質評等與餐點價格資料來自洛杉磯地區的 300 家餐廳所構成的樣本，表 2.10 顯示前十家餐廳。

53 Slide Slide 交叉表格實例

54 Slide Slide 交叉表格實例  此應用例子的交叉表格在表 2.11 。  表的最左欄與最上列的標記為表中兩個變數的各種類別， 在表的左邊第一欄中有三個等級 ( 好、很好、特優 ) 對應品 質評等變數的三個類別。  在表的上方，行的標示分類 ($10-19, $20-29, $30-39 ，以及 $40-49) 分別對應餐點價格的四種類別

55 Slide Slide 交叉表格實例  每一個餐廳均提供品質評等與餐點價格之資料。因此，每 一個餐廳將可歸屬於交叉表格中的某一格子 (cell) 。  例如，第 5 家餐廳的品質評等是非常好，餐點價格則是 $33 。這家餐廳應該落在表 2.11 中第二列與第三欄的格子 內。在建構交叉表格時，我們只要計算格子裡之餐廳數目。 定量變數 定性變數

56 Slide Slide 交叉表格實例 品質評等的次數分配 餐點價格的次數分配

57 Slide Slide 交叉表格實例  將交叉表格右方欄位的次數除以總次數，即得到 品質評等的相對次數以及百分比次數分配。 由百分比次數分配可以看出， 28% 的餐廳得到的 評等是「好」， 50% 是「很好」， 22% 是「特 優」。

58 Slide Slide 交叉表格實例  將交叉表格下方欄位的次數除以總次數，則可以 得到餐點價格的相對次數及百分比次數分配。 各個欄位的加總並未恰好等於總和，這是因為經過四捨五入的運算而產生的結果。由百分比次數分配 ，可以很快看出， 26% 的餐廳的餐點價格是在最低 價 ($10-19) 的組別， 39% 的餐廳則落在下一組。

59 Slide Slide 一般的散佈圖型態與其變數相關形式，如圖 2.8 。 一個變數顯示在縱軸而其他變數則顯示在橫軸。 散佈圖 (scatter diagram) 是一種表示兩定量變數 間關係的圖形 。 趨勢線 (trendline) 則是提供近似關係的直線。 散佈圖與趨勢線

60 Slide Slide 散佈圖與趨勢線  正相關，此處的 y 會隨著 x 的增加而遞增。 x y

61 Slide Slide 散佈圖與趨勢線  負相關 : 此處的 y 會隨著 x 的增加而遞減。 x y

62 Slide Slide 散佈圖與趨勢線  不相關 : 顯示變數間無明顯的相關 x y

63 Slide Slide 散佈圖與趨勢線實例  以舊金山地區立體音響設備店的銷售與廣告關係 為例來說明。在過去三個月內，商店利用週末的 電視廣告進行促銷推廣的次數為 10 次，經理要調 查廣告出現次數與接下來一週的銷售量是否有關。 表 2.13 為 10 週的銷售量樣本，單位是百元。

64 Slide Slide 散佈圖與趨勢線實例

65 Slide Slide 散佈圖與趨勢線實例

66 Slide Slide 散佈圖與趨勢線實例  圖 2.7 為表 2.13 資料的散佈圖與趨勢線 * 。橫軸 為廣告次數 (x) ，而縱軸為銷售量 (y) 。  以第 1 週而言， x ＝ 2 且 y ＝ 50 。依此類推，在散 佈圖上正確地標示出對應的點，注意，為期 10 週 的觀察中，廣告次數為 1 次的有 2 週，廣告次數 為 2 次的也有 2 週等等。

67 Slide Slide 散佈圖與趨勢線實例  圖 2.7 的散佈圖顯示廣告次數與銷售量呈正向的 關係，較高的銷售量對應於較高的廣告次數。  由於散佈圖上的點並非全在同一條直線上，銷售 量與廣告次數並非完全的正比關係。  從一般型態來說，銷售量與廣告次數的關係仍是 正向的。

68 Slide Slide 圖 2.9 彙總資料的表格法與圖示法 定性資料定性資料定量資料定量資料 表格法 表格法 圖示法圖示法圖示法圖示法 次數分配 相對次數分配 百分比次數分配 交叉表格 長條圖 圓形圖 次數分配 相對次數分配 百分比次數分配 累積次數分配 累積相對次數分配 累積百分比次數分配 交叉表格 點圖 直方圖 肩形圖 莖葉圖 散佈圖 資料資料

69 Slide Slide End of Chapter 2