第七章計算複雜度概論：排序問題 7.1計算複雜度 7.2插入排序與選擇排序 7.3每次比較至多移除一個導致之演算法的下限

Slides:

Advertisements

Similar presentations

Divide-and-Conquer. 什麼是 divide-and-conquer ？ Divide 就是把問題分割 Conquer 則是把答案結合起來.

Advertisements

Chapter 10 馬可夫鏈緒言如果讀者仔細觀察日常生活中所發生的諸多事件，必然會發現有些事件的未來發展或演變與該事件現階段的狀況全然無關，這種事件稱為獨立試行過程 (process of independent trials) ；而另一些事件則會受到該事件現階段的狀況影響。

布林代數的應用--- 全及項(最小項)和全或項(最大項)展開式

第七章抽樣與抽樣分配蒐集統計資料最常見的方式是抽查。這牽涉到兩個問題：抽出的樣本是否具有代表性?是否能反應出母體的特徵?

資料的搜尋搜尋的基本概念循序搜尋法(Sequential Search) 二元搜尋法(Binary Search)

: A-Sequence 星級 : ★★☆☆☆ 題組： Online-judge.uva.es PROBLEM SET Volume CIX 題號： Problem D : A-Sequence 解題者：薛祖淵解題日期： 2006 年 2 月 21 日題意：一開始先輸入一個.

:Word Morphing ★★☆☆☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 10508:word morphing 解題者：楊家豪解題日期： 2006 年 5 月 21 日題意：第一行給你兩個正整數, 第一個代表下面會出現幾個字串,

Section 1.2 Describing Distributions with Numbers 用數字描述分配.

指導教授：陳淑媛學生：李宗叡李卿輔.  利用下列三種方法 (Edge Detection 、 Local Binary Pattern 、 Structured Local Edge Pattern) 來判斷是否為場景變換，以方便使用者來找出所要的片段。

1.1 線性方程式系統簡介 1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法 1.3 線性方程式系統的應用(-Skip-)

1 Advanced Chemical Engineering Thermodynamics Appendix BK The Generalized van der Waals Partition Function.

亂數產生器安全性評估之統計測試 SEC HW7 姓名：翁玉芬學號：

Lecture 8 Median and Order Statistics. Median and Order Statistics2 Order Statistics 問題敘述在 n 個元素中，找出其中第 i 小的元素。 i = 1 ，即為找最小值。 i = n ，即為找最大值。 i = 或，即為找中位數。

Graph V(G 1 )={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} E(G 1 )={(0, 2), (0, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 6), (3, 7), (4, 7), (5, 6), (5,

:New Land ★★★★☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 11871: New Land 解題者：施博修解題日期： 2011 年 6 月 8 日題意：國王有一個懶兒子，為了勞動兒子，他想了一個辦法，令他在某天早上開始走路，直到太陽下山前，靠.

: OPENING DOORS ? 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 10606: OPENING DOORS 解題者：侯沛彣解題日期： 2006 年 6 月 11 日題意： - 某間學校有 N 個學生，每個學生都有自己的衣物櫃.

: ShellSort ★★☆☆☆ 題組： Problem D 題號： 10152: ShellSort 解題者：林一帆解題日期： 2006 年 4 月 10 日題意：烏龜王國的烏龜總是一隻一隻疊在一起。唯一改變烏龜位置的方法為：一隻烏龜爬出他原來的位置，然後往上爬到最上方。給你一堆烏龜原來排列的順序，以及我們想要的烏龜的排列順序，你.

Chapter 2 聯立線性方程式與矩陣緒言線性方程式組 (systems of linear equations) 出現在多數線性模式 (linear model) 中。根據以往解題的經驗，讀者們也許已發現方程式的解僅與該方程式的係數有關，求解的過程也僅與係數的運算有關，只要係數間的相關位置不改變，

Chapter 3 Growth of Functions Asymptotic notation Θ-notation: f(n) = Θ(g(n)) ， g(n) is an asymptotically tight bound for f(n) 。 Θ(g(n)) = {f(n)|

STAT0_sampling Random Sampling  母體： Finite population & Infinity population  由一大小為 N 的有限母體中抽出一樣本數為 n 的樣本，若每一樣本被抽出的機率是一樣的，這樣本稱為隨機樣本 (random sample)

5.1 Rn上之長度與點積 5.2 內積空間 5.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 5.4 數學模型與最小平方分析

MATLAB 程式設計第 11 章多維陣列多維陣列的定義在 MATLAB 的資料型態中，向量可視為一維陣列，矩陣可視二維陣列，對於維度 (Dimensions) 超過 1 的陣列則均可視為「多維陣列」 (Multidimesional Arrays ，簡稱 N-D Arrays)

8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除

McGraw-Hill/Irwin © 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc.,All Rights Reserved. 肆資料分析與表達.

Monte Carlo Simulation Part.2 Metropolis Algorithm Dept. Phys. Tunghai Univ. Numerical Methods C. T. Shih.

第一章演算法：效率、分析與量級 1.1演算法 1.2發展有效率演算法的重要性 1.3演算法的分析 1.4量級(Order)

© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008 第 6 章製造流程的選擇與設計.

第 1 章 PC 的基本構造. 本章提要 PC 系統簡介 80x86 系列 CPU 及其暫存器群記憶體： Memory 80x86 的分節式記憶體管理 80x86 的 I/O 結構學習組合語言的基本工具.

1 第四章多變數函數的微分學 § 4.1 偏導數定義定義極限值 ■. 2 定理極限值的基本定理 (1) 極限值的唯一性 : 若存在，則其值必為唯一。 (2) 若且 ( 與為常數 ) ，則且為常數且.

Introduction to Java Programming Lecture 17 Abstract Classes & Interfaces.

:Problem D: Bit-wise Sequence ★★★☆☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 10232: Problem D: Bit-wise Sequence 解題者：李濟宇解題日期： 2006 年 4 月 16.

: The largest Clique ★★★★☆ 題組： Contest Archive with Online Judge 題號： 11324: The largest Clique 解題者：李重儀解題日期： 2008 年 11 月 24 日題意：簡單來說，給你一個 directed.

第三部分：研究設計 ( 二）：研究工具的信效度與研究效度（第九章之第 306 頁 -308 頁；第四章）

計算機概論 - 排序 1 排序 (Sorting) 李明山編撰 ※手動換頁.

: Happy Number ★ ? 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 10591: Happy Number 解題者：陳瀅文解題日期： 2006 年 6 月 6 日題意：判斷一個正整數 N 是否為 Happy Number.

Chapter 2 Getting Started Insertion Sort: 能有效率地排序小數字的演算法範例 :

: Ahoy, Pirates! ★★★★☆ 題組： Contest Archive with Online Judge 題號： 11402: Ahoy, Pirates! 解題者：李重儀解題日期： 2008 年 8 月 26 日題意：有一個海盜島有 N 個海盜，他們的編號 (id)

: Multisets and Sequences ★★★★☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 11023: Multisets and Sequences 解題者：葉貫中解題日期： 2007 年 4 月 24 日題意：在這個題目中，我們要定義.

:Nuts for nuts..Nuts for nuts.. ★★★★☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 10944:Nuts for nuts.. 解題者：楊家豪解題日期： 2006 年 2 月題意：給定兩個正整數 x,y.

資料結構實習-一參數傳遞.

Lecture 7 Sorting in Linear Time. Sorting in Linear Time2 7.1 Lower bounds for sorting 本節探討排序所耗用的時間複雜度下限。任何一個以比較為基礎排序的演算法，排序 n 個元素時至少耗用 Ω(nlogn) 次比較。

公用品.  該物品的數量不會因一人的消費而受到影響，它可以同時地被多人享用。角色分配  兩位同學當我的助手，負責：  其餘各人是投資者，每人擁有 $100 ，可以投資在兩種資產上。  記錄  計算  協助同學討論.

: A-Sequence ★★★☆☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 10930: A-Sequence 解題者：陳盈村解題日期： 2008 年 5 月 30 日題意： A-Sequence 需符合以下的條件， 1 ≤ a.

: Beautiful Numbers ★★★★☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 11472: Beautiful Numbers 解題者：邱經達解題日期： 2011 年 5 月 5 日題意：若一個 N 進位的數用到該.

Section 4.2 Probability Models 機率模式. 由實驗看機率實驗前先列出所有可能的實驗結果。 – 擲銅板：正面或反面。 – 擲骰子： 1~6 點。 – 擲骰子兩顆： (1,1),(1,2),(1,3),… 等 36 種。決定每一個可能的實驗結果發生機率。 – 實驗後所有的實驗結果整理得到。

函式 Function Part.2 東海大學物理系‧資訊教育施奇廷. 遞迴（ Recursion ）函式可以「呼叫自己」，這種動作稱為「遞迴」此程式的執行結果相當於陷入無窮迴圈，無法停止（只能按 Ctrl-C ）這給我們一個暗示：函式的遞迴呼叫可以達到部分迴圈的效果.

JAVA 程式設計與資料結構第二十章 Searching. Sequential Searching Sequential Searching 是最簡單的一種搜尋法，此演算法可應用在 Array 或是 Linked List 此等資料結構。 Sequential Searching 的 worst-case.

資料結構實習-二.

演算法 8-1 最大數及最小數找法 8-2 排序 8-3 二元搜尋法.

1 第七章植基於可調整式量化表及離散餘弦轉換之浮水印技術. 2 Outlines 介紹介紹灰階浮水印藏入灰階浮水印藏入灰階浮水印取回灰階浮水印取回實驗結果實驗結果.

845: Gas Station Numbers ★★★ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 845: Gas Station Numbers. 解題者：張維珊解題日期： 2006 年 2 月題意：將輸入的數字，經過重新排列組合或旋轉數字，得到比原先的數字大，

Chapter 2. Recurrence Relations (遞迴關係)

Structural Equation Modeling Chapter 6 CFA 根據每個因素有多重指標，以減少測量誤差並可建立問卷的構念效度驗證性因素分析.

Learning Method in Multilingual Speech Recognition Author : Hui Lin, Li Deng, Jasha Droppo Professor: 陳嘉平 Reporter: 許峰閤.

Chapter 10 m-way 搜尋樹與B-Tree

Cluster Analysis 目的 – 將資料分成幾個相異性最大的群組基本問題 – 如何衡量事務之間的相似性 – 如何將相似的資料歸入同一群組 – 如何解釋群組的特性.

: Wine trading in Gergovia ★★☆☆☆ 題組： Contest Volumes with Online Judge 題號： 11054: Wine trading in Gergovia 解題者：劉洙愷解題日期： 2008 年 2 月 29 日題意：在 Gergovia.

McGraw-Hill/Irwin © 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc.,All Rights Reserved. 壹企業研究導論.

函式 Function 東海大學物理系‧資訊教育施奇廷. 函式簡介當程式越來越大、越複雜時，程式的維護、除錯會變得更困難，此時必須引入函式來簡化程式或將程式分段，將程式重複的部分改寫為函式，將程式「模組化」這種作法有下列優點：節省程式發展的時間、邏輯容易瞭解、程式容易除錯、可分工合作完成程式.

1 Introduction to Java Programming Lecture 3 Mathematical Operators Spring 2008.

: Finding Paths in Grid ★★★★☆ 題組： Contest Archive with Online Judge 題號： 11486: Finding Paths in Grid 解題者：李重儀解題日期： 2008 年 10 月 14 日題意：給一個 7 個 column.

:Problem E.Stone Game ★★★☆☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 10165: Problem E.Stone Game 解題者：李濟宇解題日期： 2006 年 3 月 26 日題意： Jack 與 Jim.

:Rings and Glue ★★☆☆☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 10301: Rings and Glue 解題者：施博修解題日期： 2011 年 5 月 18 日題意：小約翰有了個大麻煩，他不小心將 rings.

幼兒行為觀察與記錄第八章事件取樣法.

1 Chemical and Engineering Thermodynamics Chapter 1 Introduction Sandler.

CH 14-可靠度工程之數學基礎探討重點失效時間之機率分配指數模式之可靠度工程.

第 1 章 PC 的基本構造. 本章提要 PC 系統簡介 80x86 系列 CPU 及其暫存器群記憶體： Memory 80x86 的分節式記憶體管理 80x86 的 I/O 結構學習組合語言的基本工具.

: How many 0's? ★★★☆☆ 題組： Problem Set Archive with Online Judge 題號： 11038: How many 0’s? 解題者：楊鵬宇解題日期： 2007 年 5 月 15 日題意：寫下題目給的 m 與 n(m

McGraw-Hill/Irwin © 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc.,All Rights Reserved. 肆資料分析與表達.

Presentation transcript:

第七章計算複雜度概論：排序問題 7.1計算複雜度 7.2插入排序與選擇排序 7.3每次比較至多移除一個導致之演算法的下限第七章計算複雜度概論：排序問題 7.1計算複雜度 7.2插入排序與選擇排序 7.3每次比較至多移除一個導致之演算法的下限 7.4再探合併排序 7.5再探快速排序 7.6堆積排序 7.6.1堆積與基本的堆積副程式 7.6.2實作堆積排序

7.7合併排序、快速排序、堆積排序的比較 7.8僅利用Key的比較進行排序的下限 7.8.1提供排序演算法使用的決策樹(decision tree) 7.8.2最差情況下的下限 7.8.3平均情況下的下限 7.9分堆排序(基數排序法, Radix Sort)

7.1計算複雜度計算複雜度：研究解決一個給定問題之所有可能演算法的領域，而這個領域與演算法的設計及分析關聯性很高。排序工作：重排紀錄，使得紀錄會根據Key值的大小依序排好。

原地置換排序(in-place sort)

7.2 插入排序與選擇排序

演算法7.1插入排序(Insertion Sort)

分析演算法7.1 最差情況下，以key比較次數為準的時間複雜度分析(插入排序) 基本運算：比較S[ j ]與x 輸入大小：n，被拿來排序的key之個數

分析演算法7.1 平均情況下，以key比較次數為準的時間複雜度分析(插入排序)

分析演算法7.1 額外空間的使用情況(插入排序) 分析演算法7.1 額外空間的使用情況(插入排序) 唯一會隨著n的增加而增加的使用空間的是輸入陣列S的大小。因此，該演算法屬於原地置換排序，而額外使用空間的複雜度在中

表7.1 交換排序、插入排序、與選擇排序的分析摘要表7.1 交換排序、插入排序、與選擇排序的分析摘要

演算法7.2 選擇排序(Selection Sort)

7.3 每次比較至多移除一個倒置之演算法的下限

定理7.1

7.4再探合併排序

圖7.2 對一個順序顛倒的執入進行合併排序

分析演算法7.2 額外空間的使用情況(合併排序2) 分析演算法7.2 額外空間的使用情況(合併排序2)

演算法7.3 合併排序3(動態規劃版)

演算法7.4 合併排序4(鏈結版)

分析演算法7.4 額外空間的使用情況分析(合併排序4) 分析演算法7.4 額外空間的使用情況分析(合併排序4) 在一般的情況下，使用的額外空間在個鏈結中。“在個鏈結中”代表鏈結的個數在中

7.5再探快速排序

額外空間的使用情況分析 (改良式快速排序) 額外空間的使用情況分析 (改良式快速排序) 在這個版本中，最差情況發生在當partition每次都把陣列切成一半的時候，造成堆疊的深度約為lgn。因此最差的空間使用情況為

7.6 堆積排序 7.6.1 堆積與基本的堆積副程式

完整二元樹(complete binary tree) 所有內部節點都有兩個子節點所有leaf節點的深度均為d

本質完整二元樹 (essentially complete binary tree) 如果從根節點看到d-1層是一顆完整二元樹在第d層的節點盡量靠左邊

堆積(heap) 屬於本質完整二元樹儲存於節點中的值均來自於一個有序集合節點的值大於或等於其子節點的值。這點稱作堆積特性(heap property)

圖7.6

圖7.6的高階虛擬碼

移除位於根節點的key並回覆堆積特性函式之高階虛擬碼

給定一個具有n個key的堆積，負責將排序好的序列放進陣列s函式的高階虛擬式

圖7.7

圖7.7的高階虛擬碼

堆積排序(Heapsort)的高階虛擬碼

7.6.2實作堆積排序

堆積(heap)的資料結構在一般的情況下，使用的額外空間在個鏈結中。“在個鏈結中”代表鏈結的個數在中

演算法7.5 堆積排序

分析演算法7.5 以key的比較次數來看，最差情況的時間複雜度分析基本運算：在副程式siftdown中，key的比較次數輸入大小：n，將被排序key的數目

分析Makeheap

分析removekeys

圖7.10

前兩個分析的總結

堆積排序的平均情況時間複雜度

分析演算法7.5 額外空間的使用情況分析(堆積排序) 分析演算法7.5 額外空間的使用情況分析(堆積排序) 堆積排序是一種原地置換排序，意味著他使用的額外空間在中

7.7 合併排序、快速排序、堆積排序的比較

表7.2

7.8 僅利用key的比較進行排序的下限

7.8.1 提供排序演算法使用的決策樹(decision tree)

圖7.11

圖7.12

7.8.2 最差情況下的下限

定理7.2 任一僅靠key的比較來排序n個相異key的必然式(deterministic)演算法在最差情況下必須作至少 [log(n!)]次key的比較證明：由輔助定理7.1，任一種僅靠key的比較來排序n個相異key的必然式(deterministic)演算法都對應到一顆有效且被修剪過，並含有n!個leaf節點的二元決策樹。由輔助定理7.3，該樹的深度大於或等於[log(n!)]。由輔助定理7.2我們得知任意決策樹最差情況的比較次數為該樹的深度，因此本定理得證

定理7.3 任一僅靠key的比較來排序n個相異key的必然式(deterministic)演算法在最差情況下必須做至少 [nlgn-1.45n]次key的比較證明：這個證明可由定理7.2及輔助定理7.4推導而來

7.8.3 平均情況下的下限

圖7.13

定理7.4

7.9分堆排序(基數排序法,sort)

演算法7.6基數排序

分析演算法7.6 所有情況的時間複雜度(基數排序法) 分析演算法7.6 所有情況的時間複雜度(基數排序法)

分析演算法7.6 額外空間的使用情況(基數排序法) 分析演算法7.6 額外空間的使用情況(基數排序法)