東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 1 左順序付き柔軟ラベリングの実 装 Implementation of Left-part ordered Flexible Labeling 東北大学大学院 情報科学研究科 ◎小池 敦 徳山 豪

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 2 地図へのラベル配置問題とは ? 地図上の点, 辺, 領域に対し ラベル ( 文字情報 ) を付加する 東北大学 広瀬川 仙台駅 今回は点へのラベリングを扱う 地理情報処理の 重要問題 ⇒ユーザの要求毎に 迅速にラベリングする必要性 青葉城址

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 3 ラベリングに対する要求 1. ラベルは標的点の近くに貼りたい ⇒予め各標的点に対しラベル候補集合を定め る 2. ラベル同士が重なって欲しくない 3. 障害物と重なって欲しくない 青葉城址 東北大学 バス停 ここにはラベルを 貼って欲しくない ( 道が判らない ) 文字が重なると 読めない ラベル配置問題 = 2,3 を満たすようにラベル候補集合からラベルを選ぶ

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 4 とうほく 各標的点に どちらかのラベルを配置 とうほく ラベル候補集合

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 5 背景 ラベル配置問題は 多くの場合 NP-hard である ⇒ラベル候補集合に 強い制限が必要 本論文では ラベルの形状に 自由度を持たせたモデル (LOFL; Left-part Ordered Flexible Labeling ) を扱う 東北大学 東北大学東北大学

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 6 本論文の成果 1. LOFL のアルゴリズムに対する Red-black tree を用いた高速実装 実用的なラベル配置問題では より自由度の高いラベル候補集合に対して ヒューリスティクスを用いて 高速に解く必要性がある ⇒ 2. LOFL を組み合わせた two-position LOFL モデルに対する高速ヒューリスティク ス

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 7 発表の流れ LOFL について ⇒ラベル候補集合が left-part ordered set である時のラベル配置問題 定式化 アルゴリズムと計算時間の解析 two-position LOFL モデルに対する ヒューリスティクス 実験

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 8 LOFL の定式化 ラベル の left-part の標的点の左側の部分 のとき ≤ と定義する

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 9 LOFL の定式化 ラベル候補集合 L が left-part ordered set or つまりどの 2 つのラベルの left-part も包含関係にある left-part ordered set left-part ordered set ではない

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 10 LOFL (Left-part Ordered Flexible Labeling) の定式化 入力 n 個の標的点集合 各標的点に対し left-part ordered set であるようなラベル候補集合 合計 m 辺からなる多角形障害物の集合 出力 各標的点に配置されるラベル スケール係数 σ の最大値 ( 各ラベルは σ により拡大 / 縮小され配置される ) ⇒ σ の最大値は σ での配置可能判定問題を用いて 二分探索を行うことで求める 目的 : できるだけ大きなラベルを配置すること

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 11 とうほく 入力 標的点集合 各標的点に対するラベル候補集合 障害物集合 とう ほく left-part ordered set とうほく より大きいラベルを配置したい 障害物

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 12 とうほく 入力 標的点集合 各標的点に対するラベル候補集合 障害物集合 とう ほく left-part ordered set とうほく とう ほく とうほく とう ほく とう ほく スケール係数 σ により 拡大 出力 ラベル配置 スケール係数

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 13 判定問題に対するアルゴリズ ム 平面走査法を用いる できるだけ left small なラベルを 配置する left small = 左の標的点に与える影響が少ない ⇒これによりアルゴリズムの正当性を証明できる 例 2 種類のラベル候補で考える smallerlarger

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 14 計算時間の解析 各標的点での交差判定 ( 障害物無しの 時 ) ⇒ frontier を定義する データ構造に red-black tree を用いる 交差判定 O(log n) 更新 O(log n) 更新回数 O(n) 回 ⇒全体で O(n log n) 時間 障害物があるときは O((n+m)log(n+m)) 同様に

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 15 LOFL を用いたヒューリスティ クス left-part ordered set ではない ⇒これを用いて ヒューリスティクスを設計する これらは left-part ordered set two-position モデル

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 16 LOFL を用いたヒューリスティ クス 1. 各標的点のラベル候補を 6 枚に限定し LOFL を解き, σ の最大値を求める 2. 各標的点で得られたラベルに対し two-position モデルのラベル候補集合 を作る 3. two-position を解き, σ の最大値を求める で得られたラベルに対し 新たにラベル候補集合 を作る から 4. を繰り返す

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 17 実験 (LOFL と two-LOFL のスケール係数を比べ る ) × の領域上のランダムな n 個の標的点に以下のモデルでラベリン グ ( 障害物は無し ) 1. fixed model : 3 σ ×4 σ 2. two-position model 3. LOFL : 1×12,2×6 3×4,4×3,6×2,12×1 4. two-position LOFL

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 18 実験 計算機環境 CPU : Intel Pentium4 1.6GHz Memory : 256MB プログラミングには C++ のライブラリである LEDA を使用

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab 回の平均値 fixed model と比べ 2-position は 6 倍 LOFL は 3 倍 2-LOFL は 9 倍 くらい大きい n = 800 の時 ヒューリスティクスの方が 2-position より 1.5 倍くらい大きい [ 標的点の数 ] [ スケール係数 ] 実験結果 ( スケール係数 )

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 20 実験結果 ( スケール係数 ) 100 回の平均値 fixed model と比べ 2-position は 20 倍 LOFL は 7 倍 2-LOFL は 22 倍 くらい大きい n = の時 ヒューリスティクスの方が 2-position より 11% くらい大きい ヒューリスティクスは n が小さい時は特に有効である [ スケール係数 ] [ 標的点の数 ]

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 21 実験結果 ( 計算時間 ) 100 回の合計値 データ構造に red-black tree を用いず 単純な list を用いた場合との比較 n=1600 の時 (sec) 理論値 O(n log n) の 曲線になっている [sec] [ 標的点の数 ] ⇒大幅に計算時間が短縮された

東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻 TOKUYAMA Lab. 22 結論 LOFL のアルゴリズムを red-black tree を用いて高速実装することによ り 計算時間の大幅な改善を行った LOFL でないより一般的な問題に対し LOFL の解法を用いたヒューリスティクスを設 計し 解の品質 ( ラベルサイズ ) が向上することを示し た 今後の課題 様々なラベル候補集合で実験を行い， より品質の良いものを見つける．